ilin1 (947407), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Саа К 4'. Производи а я фу н к ц и и у=с1дх. Так как с1йх=— 51п х то в силу правила дифференцирования частного и соотношений (5.32) и (5.33) в любой точке х, в которой 5(их~О, / СОБХ ! (СО5Х) 5!ПХ вЂ” (5!ПХ) ССЕХ ипх 51П Х Гл. 3. Дифференциальное исчисление Из существования предела (5.37) и из непрерывности функции у=!оа,х в точке х=е* вытекает, что предел в правой части ! (5.36) существует и равен — )он е. х Итак, (!од, х)' = — !оде е х (5.38) (для любых 0<ачь! и х>Р). В частности, при а=е (1п х)' = — (для любого х ) О).
3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций. Для вычисления производных указанных функций используем теорему 5.4 о дифференцировании обратной функции, доказанную нами в п. 2 Э 3 настоящей главы. 1. Производная функции у=а' (0<ачь1). Так как функция у=а«, определенная на всей бесконечной прямой — со<х<+оо, является обратной для функции х=!оц у, определенной на полупрямой 0<у<+со, и для функции х=!од,у в окрестности лчобой точки у полупрямой 0<у<+ос выполнены все условия теоремы 5.4, то в силу этой теоремы функция у=а" дифференцнруема в любой точке х=!оцеу и для ее производной в этой точке справедлива формула «1 1 у (ах) Рока у)' 1 !оке е — 1ояд е у (Мы использовали выражение (5.38) для производной логарифмической функции.) Из полученного равенства в силу элементарного соотношения 1 — =1па и соотноц1ения у=а«окончательно получим 1оке е (а") '= а" 1п а (5.39) (для любой точки х бесконечной прямой).
В частности, при а=е (е«) е« е В П. 2 4 3 ГЛ. 4 дОКаЗаНО, Ч«О фуНКНИя у=1ОК Х НЕПрЕрЫВНа Н ЛЮбОВ точке х)0. 2'. Производная функции у=агсыпх, Так как функция у=агсыпх, определенная на интервале — 1<х<1„является обратной для функции х=ып у, определенной на интервале — — < у С 2 $5. Производные простейших элементарных фунхцвй 209 п (-!- —, и для функции х=япд в окрестности любой точки д 2 интервала — ' — ( д( + — выполнены все условия теоремы 2 2 5.4, то по этой теореме функция д=агсз1пх дифференцируема в любой точке х=япд и для ее производной в этой точке справедлива формула (агсз1п х)'— 1 1 1 (5.40) (э!пр)' с!мр у 1 — в!и р Мы использовали равенство (5.32) и взяли перед корнем знак + в силу того, что созд положителен всюду на интервале 2 <д< + —.
2 Учитывая, что з!пд=х, мы окончательно получим из (5.40) (агсяп х)' = у' ! — хс (для всех х нз интервала — 1<х<+1). 3'. Производи ая фун кци н д=агссозх. Так как функция д=агссозх, определенная на интервале — 1<х<+1, является обратной для функции х= сов д, определенной на интервале 0<д<п, и для функции х=созд в окрестности любой точки д интервала 0<у<!с выполнены все условия теоремы 5.4, то по этой теореме функция д=агссозх дифференцируема в любой точке х=созд и для ее производной в этой точке справедлива формула (агссоз х)'— 1 1 1 (соэ р)' ( — э!и у) — у 1 — соэ' у Мы использовали равенство (5.33) и взяли перед корнем знак— в силу того, что япд положителен всюду на интервале 0<д<я.
Учитывая, что сов д=х, мы окончательно получим из (5.41) ! (агссоз х)' =-— у 1 — хс (для всех х из интервала --1<х<+1). 4'. Производная функции д=агс1пх. Так как функция д=агс1цх, определенная на бесконечной прямой — ос<х<+оо, является обратной для функции х=1пд, определенной на интервале — — (д( — ", и для функции х=1яд в окрестности каждой 2 2 ' (5.41) точки у интервала — — ( д ( — выполнены все условия теоремы л Я 2 2 5.4, то по.этой теореме функция д=агс1пх дифференцируема в каждой точке х=1пд н для ее производной в этой точке справедлива формула й)О Гл. 5.
Дифференниальнсе исчисление 1 1 1 (агс(ях)'— (1иу) 1+ 1К~ у 1+ к' (Мы использовали соотношение (5.34).) Итак, (агс1дх)' = ! +х' (для любой точки х бесконечной прямой). Б'. Производная функции у=агсс1нх. Так как функции у=агсс1их, определенная на бесконечной прямой — со<х<+со является обратной для функции х=с1ду, определенной на интервале 0<у<и, и для функции х=с1ду в окрестности каждой точки интервала 0<у<я выполнены все условия теоремы 3.4, то по этой теореме функция у= агсс1д х днфференцируема в каждой точке х=с(ну и для ее производной в этой точке справедлива формула 1 1 ! (агсс1а х)'— (с1ну)' — (1+с1неу) 1+х' (Мы использовали соотношение (5.35).) Итак, (агсс10 х) = —— 1 1+ хе (для любой точки х бесконечной прямой).
4. Производная степенной функции. Пусть у=х, где а — любое вещественное число, х — любая точка полупрямой 0<х<+со. В гл. 4 мы уже рассматривали степенную функцию у=х как су. перпозицию логарифмической и показательной функций у = Ха = (аынае)а „а!%Р (где а — любое фиксированное число 0<аФ1). По правилу дифференцирования сложной функции у=а", где и = а 1оне х, получим у' = (а")' (ск! ой, х)' = а".1п а а — 1он е = к а иа а — =х" а — =сека — !, а!онх 1, 1 х х Итак, окончательно (х") '= ох (для любого х>О).
5. Таблица производных простейших элементарных функций. Соберем теперь в таблицу все вычисленные нами производные простейших элементарных функций. 1'. (ха)'=ах' — ' (х>0). й З Производные простейших элементарных функций 211 В частности, 11 — ~ = — —, (у х)'= 1 х, хе ' 2утх 2'. ()оя, х)' = — 1од,е (О < а ф 1, х ) 0). Х В частности, (1пх)' = —. 3'. (а )'=а'!па (0<аФ1). В частности, (е")'=е', 4'. (ыпх)'=созх.
б'. (созх)'= — ыпх. 6'. (ах)'= =1+1яах (х~ — "+пп; и=О, ~1,...~ Сез' Х 2 7'. (с1их)'= — ' — = — (1+с(пах) (х~пи; п=О, ~-1, ...). 51п' х 8". (агсз!пх)'=14~'1 ~— ха ( — 1 < х< + 1). 9". (агссозх)'= — — 1Д'1 — х' ( — 1<х<+1). 10". (агс1я х) ' = 1+ х' 11'. (агсс1д х) ' = —— 1+ха В гл. 4 мы ввели в рассмотрение четыре гиперболические функции у=з)1 х, у=с)1х, у=й х и у=с(11 х, являющиеся простыми комбинациями показательных функций. Из представления этих функций через показательные функции элементарно вытекают следующие выражения для их производных: 12'.
(51тх)'=с(тх. 13 . (с(1 х) '= зй х. 14'. (Йх)'=— спзх ' 13'. (с()1х)'= — — (хФО). ап х Установленная нами таблица производных вместе с правилом дифференцирования сложной функции (установленным в п. 1 2 3) и правилами дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (установленными в $4) составляет вычислительный аппарат той части математического анализа, которую принято называть дифференциальным и сч и слепнем.
В гл. 1 и 4 мы уже ввели понятие элементарной функции, как такой функции, которая выражается через простейшие элементарные функции посредством четырех арифметических действий и суперпознций, последовательно прнмсняемых конечное число раз. Из установленной нами таблицы производных и правил дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции вытекает следующии важный вывод: производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную 212 Гл. 5.
Дифференциальное исчисление функцию, т. е. операции дифференцирования нв выводит нас из класса элементарных функций. 6. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций. В и. 3 3 3 мы установили, что дифференциал ау функции у=)(х) всегда равен производной этой функции Г'(х), умноженной на дифчреренциал аргумента ах. Поэтому установленная нами таблица производных сразу же приводит нас к соответствующей таблице дифференциалов простейших элементарных функций.
1'. с((х )=а х Чх. 111 1 — 1 В частности, й ( — ) = — ах, а ()~ х) ==с(х. (,х) ха 2 и' х 2 . с((1од,х) = — !оу,едх (О < а =~ 1, х >О). .В частности, а(1п х)= —. ох х 3". Н(а ') =ах 1п адх (0<аФ1). В частности, а(вх) =ехс(х. 4'. И(зцпх) =созхс(х. 5'. д (соз х) = — з(п хах. 6 с((1ух) = " =(1+1дах)дх соха х хчь — + па; п=О, ~ 1, ~2,...). 7 . й (с1я х) =- — — = — (1+ с1ца х) йх [х Ф пп; а=О, ~1, ...) 31иа х '8". с1(агсздп х) = дх/$' 1 — х' ( — 1 < х < + 1). 9". й (агссоз х) = — йхФ 1 — х' ( — 1 < х < + 1).
10'. с((агс(их) =— 1+ха ох 11'. й (агс(я х) = — —. 1+ ха 7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции. Пусть функция у=1(х) положительна ч1 дифференцируема в данной точке х. Тогда и сложная функция аргумента х вида ш=1пу, где у=1(х), в силу теоремы 5,3 будет также днфференцируема в указанной точке х, причем для производной этой сложной функции по аргументу х будет справедлива формула (5.42) ]1п) (х)]' = (1пу)' у' = — = —. у 1(х) Величину (5.42) принято называть лога риф м ячеек ой и р о и з в о д н о й функции у=1(х) в данной точке х.
Логарифмическая производная может быть использована для вычисления производных некоторых функций, не являющихся простейшими элементарными. $6. Производные и днфференпналы высших порядков 213 В качестве примера вычислим производную так называемой степенно-показательной функции, т. е.
функции вида у=и(х)"< >, где и(х) н о(х) †д функции, дифференцируемые в данной точке х, первая из которых и(х) строго положительна в этой точке. При таких ограничениях функция и=!ну> п(х) 1пи(х) будет дифференцируема в данной точке х. В самом деле, в силу теоремы 5.3 функция !и и(х) дифференцируема в точке х. Значит, на основании теоремы о дифференцируемости произведения двух дифференцируемых функций можно утверждать дифференцируемость в данной точке х и функции и=!пуе а(х) 1пи(х), причем в силу второй формулы (5.24) (1пу)'=и'(х)1пи(х)+ о(х) 1!пи(х)['= = о'(х)1пи(х)+о(х) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
