ilin1 (947407), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(л — »+2) л! л+ о (» — !)! 21В Гл. 5. Диффеиенннааьнее исчисление л (п — 1) ... (й — й + 2) (п — й + 1)'+ п (и — 1) ... (л — и + 2) й И л (п — 1) ... (л — й + 2) [(и — й+ Ц + й) И (л+ 1) л(л — 1) ... (л — и -1. 2) Са л+1 ° И Используя формулу (5.49), мы можем следующим образом переписать соотношение (5.48): (нп)1л+и и<л+11п+ Сл+1и1л1п~ + С 1п1л — па1а1+ Сзл+1п1л — а1о1а> 1 1 ио1лэп Тем самым мы убедились в справедливости формулы (5.47)' для номера и+1.
Индукция проведена, и вывод формулы Лейбница (5.47) завершен. Пример. Вычислим п-ю производную функции у=х'е*. Полагая в формуле Лейбница (5.47) и=е", о=ха и учитывая, что и<а1=е" (для любого номера й), о'=2х, о1а1=2, п<а1=п("1=...=0, мы получим, что (х е )1л1 =а'х'+ С е" 2х+Са е" 2=а" (х'+ 2ах+а(п — 1)). Подчеркнем, что формула Лейбница особенно эффективна в том случае, когда одна из перемиожаемых функций имеет л иш ь конечное число отличных от нуля производных и не представляет затруднения вычисление всех производных другой из перемножаемых функций. 4. Дифференцйалы высших порядков.
Выше для обозначения дифференциала аргумента и соответствующего ему дифференциала функции мы использовали символы с(х н соответственно оу. В рассуждениях настоящего пункта нам придется использовать для обозначения дифференциала аргумента и соответствующего ему дифференциала функции н другие символы. В частности, мы будем обозначать дифференциал аргумента и соответствующий ему дифференциал функции символами бх и бу соответственно. В этих обозначениях инвариантное по форме выражение для первого дифференциала функции у=)(х) будет иметь вид бу= =1'(х) бх.
Рассмотрим выражение для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке х функции у=("(х); с(у=~'(х) с(х. (5.50) Предположим, что величина, стоящая в правой части (5.50), представляет собой функцию аргумента х, дифференцируемую в данной точке х. Для этого достаточно потребовать, чтобы функция у=((х) была два раза дифференцируема в данной точке х, а аргумент либо являлся независимой переменной, либо представ- б б.
Производаые и дифференциалы высшнх порядков 2!9 лял собой дважды дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной Х. При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал 6(ду) =6[['(х)дх] от величины (5.50). Определение 1, Значение 6(йу) дифференциала от первого дифференциала (5.50), взятое при Ьх=дх, называется ' вторым 'дифференциалом функции у=Х(х) (в данной точке х) и обозначается символом дзу. Итак, по определению* д'у=Ь(с(у)]бх> дх (6[Х (х)г(х])[бх.
вх Дифференциал д'у любого порядка и вводится по индукции. Предположим, что уже введен дифференциал д" 'у порядка и — 1 и что функция у=Х(х) и раз днфференцнруема в данной точке х, а ее аргумент х либо является независимой переменной, либо представляет собой п раз дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной Х. Определение 2. Значение 6(д" 'у) дифференциала от (и — 1)-го дифференциала сХ -'у, взятое при Ьх=дх, называется и-м д и ф фе р е н ц и а л о м функции у=](х) (в данной' точке х) и обозначается символом с(чу.
Итак, по определению д"у= 6(д" 'у) >б > и . При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится существенно различать два случая: 1) случай, когда аргумент х является независимой переменной; 2) случай, когда аргу. мент х представляет собой соответствующее число раз дифференцирусмую функцию некоторой независимой переменной Х. В первом случае, когда х является независимой переменной, мы имеем право считать, что дх н е з а в и с и т о т х и равен одному и тому же приращению аргумента Лх (для всех точек х). При этом мы получим, что 6(г(х) = (дх)'Ьх=0.
Последнее соотношение и второе соотношение (5.28) позволяют нам записать следующую цепочку равенств: сХ у = 6 (дй ! бх> их==-(6 [>' (х) дх])! бх> их= =(6[Х'(х)]гХХ+ Х'(х) 6(дх)))бхддх=(6[Х'(Х)]дх)]бх> дх= = (Х>з> (х) ЬиХх) ) б =ах = [>з> (х) (гХх)з. (5.51) Итак, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, для второго дифференциала функции у=1(х) справедливо представление сРу = Рз> (х) (дх) з.
(5.52) ' Символ (...1>з,.=х, означает, что а выражении, заключенном в фигурные скобки, следует положите бх=их 220 Гл. З. Дифференниальное исчисление Совершенно аналогично, по индукции легко убедиться в том, что в случае, когда аргумент х является независимой переменной, для п-го дифференциала л раз дифференцируемой функции д= =1(х) справедливо представление с(лд — ~(п) (х) (Дх) и Таким образом, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, производная порядка и функции д=Г(х) равна отношению и-го дифференциала этой функции с(ад к и-й степени дифференциала аргумента дх.
Совсем другой вид имеют представления для второго и последующих дифференциалов в случае, когда аргумент х является соответствующее число раз дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной Е Установим выражение для второго дифференциала, считая, что функция д=)(х) два раза дифференцнруема в данной точке х, а ее аргумент х является два раза дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной й Повторяя рассуждения из цепочки (5.51), мы на этот раз получим с(ад=5(с(д) 1а,=л,=(6(Г'(х) дх))~е„=н,= =(6 [1'(х)) с(х+ 1' (х) 6(с(х)) ~е, ю,= =(~<а1 (х) бхс(х) ~ал=н + (7' (х) 6(дх))! д. с . Заметим, что в силу определения второго дифференциала функции д=х 6 (с(х))е, н„ = с(ах. Учитывая это соотношение, мы приходим к следующему представлению: с(ад=Гпо(х) (с(х)а+)'(х)с(ах, (5.53 р Сравнивая полученное представление (5.53) с представлением (5.52), мы убедимся в том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы.
Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы. й 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ИАРАметРически Мы будем говорить, что переменная д как функция аргумента х задана нам параметрн чески, если обе переменные х и д заданы как функции некоторой третьей переменной 1: х=Ф(1), д=ф(()- 4 7. Дифференцирование функции, заданной параиетрически 22г При этом указанную переменную 1 обычно называют параметром. Мы, естественно, будем предполагать, что функции ф(1) и ф(8) имеют нужное число производных по параметру 1 в рассматриваемой области изменения этого параметра.
Кроме того, мы всегда будем считать, что функция х=ф(1) в окрестности рассматриваемой точки 1=1о имеет обратную функцию т=тр '(х)а, ибо это позволяет рассматривать у как функцию х. Рассмотрим вопрос о вычислении производных функции у= =у(х) по аргументу х. В силу свойства ннварнантности формы первого дифференциала (см. п. 3 $3) мы можем записать равенства: д'(, ) = — Р, Др = ф'(() с(1, с(х =- ~р'(1) б(. (5.54) с(л Из этих равенств сразу же вытекает, что у'(х) = (5.55) ~р'(1) для вычисления второй производной у<з>(х) достаточно заме- тить, что в силу свойства инвариантности формы первого диффе- ренциала у(з) (х) = (5.56). Нл Используя в правой части (5.56) соотношение (5.55) и третье равенство (5.54), получим 1 Ф'(~Ц' 1з) ( ) ( Ф (1) ( 'р (т) Ч (1) — ф~ (1)ф (1) — 1м, 1,), (5:57) 'р (1)нт 1'р'(1) 1* По такому же принципу вычисляются производные третьего тв последующих порядков.
Так, для вычисления третьей производной у(а1(х). достаточно представить эту производную в виде у(з) (х) Ь (р)1 ох и воспользоваться 'соотношением (5.57) н третьим равенством: (5.54). В качестве примера вычислим первую и вторую производные. следующей функции, заданной параметрически: ! х = а(1 — з)п)), — <1(+ у = а (1 — соз 1), ' В гл. 14 будет доказано, что для существования у функции л=е(1) в окрестности точки 1= (с обратной функции достаточно, чтобы производнаи ~р'(1) была непрерывна и отлична от нуля в точке 1з. 222 Гл. е.
Дифференциальное исчисление Кривая, являющаяся графиком этой функции, называется циклоидоо й. Эта кривая представляет собой траекторию некоторой фиксированной точки окружности радиуса а, которая катится без скольжения по прямой линии (параметр 1 равен углу поворота радиуса этой окружности). Пользуясь формулами (5.55) и (5.57), получим у'(х) = = с(д — , а(1 — санг) 2 (' — ')' уев (х)— а(1 — ссн 1) 4 2 й 8. пРОизВОднАя ВектОРИОН Функции В приложениях математики часто встречаются понятия векторной функции и ее производной. Если каждому значению переменной 1 из некоторого множества (1) ставится в соответствие по известному закону определенный вектор а, то говорят, что на множестве (1) задана векторная функция а=а(1).
Так как каждый вектор а в заданной декартовой прямоугольной системе координат однозначно определяется тремя координа- тами х, у и г, то задание век1т. торной функции а=а (1) экви- валентно заданию трех ска. г Р П' лярных функций х=х(1), у= =-у(1) и г=г(1). Ла Понятие векторной функ- 15 цни приобретает особую на- 0(" глядность при обращении к так называемому год о г р а- а у ф у этой функции (т. е, гео- метрическому месту концов и всех векторов а=-а(1), прилоРис. 5.4 женных к началу координат 0). На рис. 5.4 кривая представляет собой годог а Р ф некто(1ной функции а=а(1). Понятие годографа векторной функции является естественным обобщением понятия графика скалярной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
