ilin1 (947407), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Дифференцирование сложной функции. Установим правило, позволяющее найти производную сложной функции у=][Ф(1)] в точке 1 при условии, что известны производные составляющих ее функций х=Ф(1) и у=)(х) в точках 1 и х=~р(1) соответственно. Теорема 5.3. Пусть функция х=ф(1) дифференцируема е точке й а функция у=у(х) дифференцируема е соотеетстеуюи(ей точке х=~р(Г). Тогда сложная функция у=ДрЯ] дифференцируема е указанной точке й причем для ее производной в этой точке справедлива формула (7[<р(1)])'=]'(х) ~р'(1) =)'[гр(1)] <р'(1). (5.13) Доказательство. Придаднм аргументу функции х=~р(1) в данной точке 1 произвольное отличное от нуля приращение ЛЕ этому приращению отвечает приращение лх=гр(г+лг) — ~р(г) ' Эта договоренность согласуется с рассмотрением невавнсимой переменной х как функции вида у=)(х) =х, для которой ну=у(х)лх=пх, т.
е. ох=ах. Гл. 5. Дифференциальное исчисление 198 (5.15) причем формула (5.16) справедлива при условии, что функция х=ср(1) дифференцируема в данной точке 1, функция и=[(х) дифференцируема в соответствующей точке х=ф(1), а функция у= =р (и) дифференцируема в соответствующей точке и=[(х) = =1[р(1)!. * См. п. 1 4 2 определение дифференцируемости и теорему 5.1. ** В силу теоремы 5.2 дифференцируемая н точке 1 функция х=ф(т) является непрерынной и этой точке. функции х=ср(1), причем указанное приращение Лх может обра- щаться в нуль.
Приращению Лх, в свою очередь, отвечает приращение Лу= =[(х+Лх) — 1(х) функции у=1'(х) в соответствующей точке х= р(г). Поскольку функция у=[(х) по условию дифференцируе- ма в указанной точке х=ф(1), то ее приращение Лу в втой точке может быть представлено в виде * Лу=р'(х) Лх+ а(Лх) Лх, (5.14) где а(Лх) имеет при Лх- О предел, равный нулю.
Подчеркнем, что, как указано в п. 1 $ 2, представление (5.14) остается справедливым и при Лх=О. Поделив (5.14) на Л1чьО, будем иметь — =Г'(х) — + и(Лх) —, ар , ах ах ж ат Ат Докажем, что правая (а значит, н левая) часть (5.15) имеет предел при Л(- О, причем этот предел равен величине, стоящей в правой части (5.13). Этим будет доказана дифференцируемость сложной функции и формула (5.13) для ее производной. Из дифференцируемости функции х=ф(1) в точке 1 вытекает, ах что отношение — имеет предел при Л1- О, равный ~'(1).
ОстаМ ется доказать, что функция а(Лх) имеет предел при Л1- О, равный нулю, но зто сразу вытекает из того, что а(Лх)- О при Лх- О и что Лх- О при Л1- О на основании разностной формы условия не- прерывности дифференцируемой в точке 1 функции х=~р(1) *". Итак, вся правая часть (5.15) имеет предел при Л(- О, и этот пре- дел равен величине, стоящей в правой части (5.13). Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 5.3 и содержащееся в ее формули- ровке правило вычисления производной сложной функции после- довательно переносится на сложную функцию, являющуюся супер- позицией трех и болыцего числа функций. Так, для сложной функ- ции, являющейся суперпозицией трех функций у=р[[(~р(0)) пра- вило дифференцирования имеет вид (с[1(<р (1) ) ))'= Р[1(~р (1) ) ]1' (~р (1) ) (р'(1), (5.16) й 3.
Диффереацироаание сложной и обратной функций !99 (5. 18) * Указанное тождество можно написать для любых двух чисел ЬЕ и Ьх, отличных от нуля. Замечание 2. При доказательстве теоремы 5.3 мы рассматривали сложную функцию вида у=)('х), где х=!р('1), т. е. обозначили символом х п р о м е ж у т о ч н ы й аргумент. Эта символика, конечно, может быть изменена, Чаще удобнее бывает обозначать символом х окончательный аргумент, т. е.
рассматривать сложную функцию вида у=)(!р(х)]. В этих обозначениях правило дифференцирования сложной функции (5.13) принимает вид (фр(х)])'=Яр(х)] !р'(х). (5.13*) Примеры применения правила дифференцирования сложной функции будут приведены в следующем параграфе. 2. Дифференцирование обратной функции. Теорема 54. Пусть функция у=)(х) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке х и ее производная в этой точке !"'(х) отлична от пуля. Тоеда в некоторой окрестности соответствующей точки у=)'(х) определена обратная .для у=)(х) функция х=! — '(у), причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке у=](х) и для ее производной в этой точке у справедлива форд!ула (Г'(уИ'=, (5.17) р (х) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как функция у=)(х) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки х, то в силу теоремы 4.5 (см, $ 2 гл. 4) обратная функция х=)-'(у ) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности соответствующей точки у = )(х). Придадим аргументу этой обратной фувкции в указанной точке произвольное достаточно малое и о т л и ч н о е о т н у л я приращение Лу.
Этому приращению Лу отвечает приращение Лх= =~ '(у+Лу) — ) '(у) обратной функции в соответствующей точке у=!'(х), причем в силу строгой монотонности обратной функции указанное приращение Лх отлично от ну л я. Это дает нам право написать следующее тождество ": Лх 1 ар ах ау Пусть теперь в тождестве (5.18) приращение Лу стремится к нулю. Тогда в силу разностной формы условия непрерывности обратной функции х=)-!(у) в соответствующей точке у=](х) приращение этой функции Лх также стремится к нулю.
Убедимся в том, что в таком случае существует предел правой части (5.18), 200 Гл. 5. хсиффереициальное исчисление равный величине, стоящей в правой части (5.17). Этим будет доказано, что тот же самый предел имеет и левая часть (5.18), т. е. будет доказано, что обратная функция имеет производную в соответствующей точке у=7(х) н для этой производной справедливо равенство (5.17).
Итак, для завершения доказательства теоремы остается убедиться в том, что правая часть (5.18) имеет предел при Лх- О равный 117'(х), где х †данн точка. Так какх=7 — '(у), Лх=7 — '(у+Лу) — 7-'(у), то х+Лх=)-'(у+Лу), т. е. у+Лу=1(х+Лх) н Лу=1(х+Лх) — 1(х). Отсюда следует, что правая часть (5.18) может быть переписана в виде 1 ! ду 1(х+ йх) — 7(х) ах Ах Из последнего равенства в силу определения производной г'(х) и предположения 1'(х)ФО сразу же вытекает, что предел при Лх- О правой части (5.18) существует и равен 1/1'(х). Теорема доказана.
Примеры применения доказанной теоремы будут даны в следующем пара- ~У графе. Уа Доказанная теорема имеет простой О геометрический смысл. Пусть М вЂ” точка графика функции у=)(х), отвечают 1цая данному значению аргумента х (рис. 5.3). 1огда, очевидно, производная 1'(х) равна тангенсу угла наклона се касательной, проходящей через точку М, к оси Ох, а производная обратной функции (1-'(у))' в соответствующей точке у=)(х) равна тангенсу угла наклона р той же самой касательной к оси Оу.
Поскольку углы наклона са и р в сумме составляют п72, то формула (5.17) выражает очевидный факт: 18($ = — при а+(1=и/2. 1 1яа 3. Инвариантность формы первого дифференциала. В п. 3 $ 2 мы убедились в том, что для случая, когда аргумент х дифференцируемой функции у=)(х) представляет собой не з а в и с и м у ю п е р е м е н н у ю, для дифференциала ду этой функции справедливо представление с(у=/'(х) с(х. (5.12) Сейчас мы докажем, что представление (5.12) является универсальным и справедливо также и в случае, когда аргумент х сам является дифференцнруемой функцией вида х=ф(1) некоторой й 3. Днфференцнрованне сложной н обратной функций 201 независимой переменной й Это свойство дифференциала функции принято называть ннварнантностью его формы*. Итак, пусть аргумент х дифференцируемой функции у=1(х) сам является дифференцируемой функцией вида х=ф(1) некоторой независимой переменной й В таком случае у можно рассматривать как сложную функцию вида у=г[ф(Г)] аргумента 1.
Поскольку этот аргумент 1 является независимой переменной, то для указанной функции у=)[гр(1)] и для функции х=~р(1) дифференциалы представимы в форме (5.12), т. е, в виде йу= [[[гр(1)])'сЫ, йх=гр'Яйй (5.19) По правилу дифференцирования сложной функции (1[ф (1) ])'= 1" (х) ф'(1). (5.13) Подставляя (5.13) в первую из формул (5.19), придадим этой формуле внд с(у=['(х) гр'(1)йг. (5.20)' Сопоставляя полученное равенство (5.20) со вторым из равенств (5.19), окончательно получим для йу выражение йу=['(х)йх, совпадающее с представлением (5.12). Инвариантность формы (5.12) первого дифференциала функции йу установлена. Замечание, Можно дать и другую эквивалентную формулировку свойства инвариантности формы первого дифференциала, сразу же вытекающую из универсальности представления (5Л2): производная дифференцируелгой функции у=[(х) равна отношению дифференциала этой функции йу к дифференциалу ее аргумента йх, т. е.
определяется равенством ~~( ) пе (5.21) йх как в случае, когда аргумент х является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида х=гр(1) некоторой независимой переменной 1. Универсальность представления для производной (5.21) позволяет использовать отношение — для обозначения производной ер ох функции у=)(х) по аргументу х. 4. Применение дифференциала для установления приближенных фоРмул. Пусть ради простоты аргумент х функции у=[(х) является независимой переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
