ilin1 (947407), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 179 неравенство ) х — х" ~ = — ( б. С другой стороны, в силу В (4.30) для этих же х' и х" будет справедливо неравенство В 2а 11(х') — 1(х") ~ > †. — = в. 2 В Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцию 1(х) =ха не иа полупрямой хп.1, а на любом сегменте [1, Ь1, где Ь вЂ” любое число, то проведенные нами рассуждения уже не имели бы места.
Этот факт становится понятным в силу следующей фундаментальной теоремы. Основная теорем а 4.16. Если функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь1, то она и равномерно непрерывна на этом сегменте. Доказательство. Предположим, что функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь), но не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда для некоторого в>0 и для любого как угодно малого б>0 найдутся две точки х' и х" сегмента [а, Ь1 такие, что !х' — х" /(б, ио !((х') — 1(хп) ~~в. Выберем бесконечно малую последовательность положительных чисел б„= — (п=1,2,...). Можно утверждать, что для ука- 1 и ванного е>0 и для любого номера и найдутся две точки х,' и хкн сегмента [а, Ь) такие, что ~х„' — х„"! г.
—, но )~(х„') — ~(х„")( > е. Так как последовательность (х„') состоит нз точек сегмента [а, Ь1, то 'она ограничена и по теореме Больцано — Вейерштрасса (см. следствие 3 из теоремы 3.16 гл. 3) из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х' ), и= 1, 2,.... Предел "е й указанной подпоследовательности (в силу следствия 2 из теоремы 3.13 гл.
3) будет также принадлежать сегменту [а, Ь1. В силу левого неравенства (4.31) соответствующая подпоследовательность (х" ) будет сходиться к той же самой точке й. Поскольку функция )(х) непрерывна в каждой точке сегмента [а, Ь), она непрерывна н в точке йе. Но тогда, в силу определения непрерывности по Гейне, обе подпоследовательности соответствующих значений функции (Г(ха' )) и (Г(хь О обязаны схоо а диться к )(5), т. е. разность указанных подпоследовательностей * В случае, если й совпадает с одним ив концов сегмента (и, Ь), под непрерывностью следует ооннмать одностороннюю непрерывность, Гл. 4. Непрерывность функции 41(хь ) — 1(х1 )) обязана быть бесконечно малой.
Это противоречит правому неравенству (4.31), справедливому для всех номеров п и потому для всех номеров Й,. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что непрерывная на сегменте [а, Ь) функция не является равномерно непрерывной на этом сегменте, является неверным. Теорема доказана. Возвратимся теперь к рассмотренному выше примеру 2 и покажем, что функция ~(х) = яп — является равномерно непре- 1 х рывной на интервале (у, 1) при любом у из интервала 0<у<1.
В самом деле, при любом таком у функция ) (х)=з!и — непре- 1 х рывна на сегменте [у, 11. Значит, по теореме 4.16 функция !" (х)= 1 =и!и равномерно непрерыви на сегменте [у, 1]. В силу замех чания 3 к определению равномерной непрерывности функция 1 ~(х)=з!и — тем более является равномерно непрерывной на интервале (у, 1), представляющем собой подмножество сегмента [у. 1).
Теорему 4.16 удобно переформулировать в терминах к о л е б а- и ия функции иа данном сегменте. Пусть функция [(х) ограничена на данном сегменте [с, й~). Назовем колебанием функции [('х) на сегменте [с, д'1 разность ы=М вЂ” т между точной верхней и точной нижней гранями функции [(х) на этом сегменте. Для непрерывной иа сегменте [с, д] функции [(х) колебание равно разности между максимальным и минимальным значениями этой функции на указанном сегменте. Из теоремы 4.16 непосредственно вытекает следующее утверждение.
С лед ств не из теор е м ы 4.16. Если функция [('х) непрерывна на сегменте [а, Ь1, го для любого положительного числа г найдется отвечающее ему положительное число б такое, что колебание функции 11х) на любом содержащемся в сегменте [и, Ь) сегменте длины, меньшей 6, будет меньше числа г. 3 а меч а и не 4. Анализируя доказательства теорем 4.14 и 4.15 Вейерштрасса и теоремы 4.16, нетрудно заметить, что в этих трех теоремах вместо сегмента [а, Ь~) можно взять произвольное множество (х), для которого выполнены два требования: 1) это множество (х) является ограниченным; 2) это множество (х) содержит любую свою предельную точку (такое множество договоримся называть з а и к н у т ы м). Множество (х), удовлетворяющее указанным двум требованиям, договоримся называть ком п а ктн ы м м ножеством 4 б.
Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 181 или к о м п а к т о м. Таким образом, указанные три теоремы (т. е. две теоремы Вейерштрасса и теорема 4.!б) справедливы не только для функции, непрерывной на сегменте, но и для функции, непрерывной иа любом компакте. В $7 настоящей главы будутсформулированы болееточныеопределения замкнутого и компактного множеств. Впрочем, для случая числовых множеств эти более точные определения оказываются эквивалентнымн приведенным нами выше определениям 4. Понятие модуля непрерывности функции.
Предположим, что функция )(х) определена и непрерывна на некотором множестве (х), каждая точка которого является предельной точкой этого множества. Определение. Для каждого 6>0 назовем модулем непрерывности функции 1(х) на множестве (х) точную ьерхнюю грань модуля разности 11(х') — 1(ха) ~ по всем точкам х', и х", принадлежащим множеству (х) и удовлетворяющим неравенству 1х' — х"! <6.
Для обозначения указанной точной верхней грани обычно употребляют следующий символ: зпр(/)(х') — 1(хы) (: 1х' — х" / (6; х', хлеп(х)). Сам же модуль непрерывности функции 1(х) на множестве (х) принято обозначать символом от(1, 6). Таким образом, по определению со(1, 6) =зпр(Д(х') — 1(хл) ~: !х' — х"! (6; х', х"еп(х)).
(4.32) 3 а м е ч а н и е. При определении модуля непрерывности ет(1, 6) в правой части (4.32) вместо !)(х') — 1(хо) ) можно было бы писать разность 11(х') — 1(хо)1 без знака модуля. Это вытекает нз того, что точки х' и х" можно поменять местами (при этом разность [)(х') — 1(хо)1 изменит знак на противоположный, в то время как величина 1х' — х" ~ не изменится). Отметим два свойства модуля непрерывности ет(1, 6).
1'. Модуль непрерывности от(1, 6) всегда неотрицате,ген: ы(1, 6) )О. Это свойство непосредственно вытекает из определения модуля непрерывности (4.32). 2'. Модуль непрерывности от(1, 6) представляет собой неубывающую функцию 6 всюду на полупрямой 6>0. В самом деле, при уменьшении 6 множество, по которому берется супремум (4,32), сужается, а супремум на части множества не превосходит супремума на всем множестве. Вычислим модули непрерывности некоторых функций. 1.
Вычислим модуль непрерывности функции 1(х) =х' на сегменте (О, 1). Пусть х' и х" — любые две точки сегмента (О, 1] такие, что х"=х' — 6, где 0<6<1. Тогда, очевидно, 182 Гл. 4. Непрерывность функции [[(х) — [(х") ) = [(х) а — (х») а) = [(х)' — (х' — 6) в) «26 — бн. Из последнего неравенства, учитывая замечание к определеник» модуля непрерывности, мы получим, что ат([, 6)=зцр ([[(х') — [(х»)): !х' — х" [<б; х', хм~[0, 1])~26 — Ь'. С другой стороны, взяв х'=1, х"=1 — 6, так что !х' — х"!=6. мы получим„что [Дх') — [(х»)) =1 — (1 — 6)э=26 — ба.
Значит, от(1, 6) =от(хв, 6) =26 — ба (если 6<1). 2. Вычислим далее модуль непрерывности функции ! (х)= 1 = з!и — на интервале (О, 1). х Так как 1~(х ) — 1(х ) ! ='~з1п — — з!и —,~ < ~з!и — ~+ ~а!и — ~ < 2, х' то то(1, 6) «2. С другой стороны, взяв две бесконечно малые последовательности [х„') и (х ") точек интервала (О, 1) вида х'= х" = где л=1, 2, ..., мы для любо» и — + 2и» 2 — — + 2и» 2 гоб)О сможем указать номеритакой,что 0<х,'<Ь и 0«х,м« < б, так что ! х»' — х»" ! «Ь, причем [1(х„') — 1(х„")1 = з!п — — з!и — = 2. 1 1 х» Отсюда следует, что тв(1, 6)=от (з!и —, 6) = 2.
1 х 3. Вычислим, наконец, модуль непрерывности функции 1 Г(х)= — на интервале (О, 1). Убедимся в том, что этот х модуль непрерывности равен + оо, Фиксирован произвольное 6)0, рассмотрим только такие точки х' и х", которые удовлетворяют соотношениям 0<х'«б, х"= б, так что !х' — х" ! м,".6. Очевидно, что ' 1 1 ( 1 1 от ! —, 6 ! )~ зцр [ — — —: 0 < х' < Ь~ = + оо. В заключение докажем теорему, устанавливающую связь между свойством равномерной непрерывности функции 1(х) на * в1ы учитываем, что при сужении множества значений х',и х", но кото. рым берется сунремум, этот супремум может только уменьшаться. 5 6.
Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 183 множестве (х) и величиной модуля непрерывности этой функции на указанном множестве. Теорема 4.17. Для того чтобы финкция ((х) являлась равномерно непрерывной на множестве (х), необходимо и достаточно, чтобы модуль непрерывности се(1, 6) этой функции на рказанном множестве удовлетворял соотношению 11гп го (7, 6) = О. (4.33) а- о+а До к аз а тел ь ство. 1) Необходимость. Пусть функция 1(х) равномерно непрерывна на множестве (х).
Требуется доказать, что справедливо соотношение (4.33), т. е, требуется доказать, что для любого в>0 найдется отвечающее ему 6.>0 такое, что для всех б, удовлетворяющих условию 0<6<6„справедливо неравенство еэ(1, 6) <в е. По определению равномерной непрерывности для любого а>0 найдется отвечающее ему 6.>0 такое, что для всех х' и х" из множества (х), удовлетворяющих условию 1х' — х" ~ <б„, справедливо неравенство !1(х') — 7(х")~ —.
Но это и оз- 2 начает, что для любого 6 из интервала 0<6<6, справедливо неравенство са (1, 6) = зпр ( ! Р (х') — К (х") ~: ~ х' — х" 1 < б; х', х" ен (х)) ч- — ' < а. 2) Достаточность. Пусть выполнено соотношение (4.33), т.е. для любого а>0 существует отвечающее ему 6,>0 такое, что для всех б, удовлетворяющих условию 0<6<6„справедливо неравенство со(1, 6) <а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
