ilin1 (947407), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

" Иначе мы получили бы протиноречие с утверждением 1). Рзз $2. Понятие диффереицируемоети функции Докажем следующее ут ее рэкд ение; Если функция у=)(х) имеет в данной фиксированной точке х производную, то существует касательная к графику функции у=1(х) в точке М(х, 1(х)), причем угловой коэффициент этой касательной (т. е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной )'(х). Опустим из точек М и Р перпендикуляры на ось абсцисс (см. рнс. 5,1). Проведем через точку М прямую, параллельную оси абсцисс, и обозначим через о' точку пересечения этой прямой с перпендикуляром, опущенным из Р на ось абсцисс. Из треугольника МИР очевидно, что (Ь ) д«1(х+ дх) — !(х) Лх Лх Таким образом, Ф (ьх) = агс(я — «, Л« Лх (5.6) й 2.

ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕй(ОСТИ ФУНКЦИИ 1. Определение дифференцируемости функции. Пусть, как и в предыдущем параграфе, функция у=1(х) определена на интервале (а, 5), х — любое фиксированное число из этого интервала, Лх — произвольное приращение аргумента, настолько малое, что значение аргумента к+ах также принадлежит интервалу (а, Ь), ау=((к+ах) — 1(х) — приращение функции в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх. Определение. функция у=((х) называется дифференцируемой в точке х, если приращение ау этой функции в точке х, отве- Убедимся в том, что существует предел правой (а значит, и левой)' части (5.6) при Ьх- О.

В самом деле, в силу существования про. изводной 1'(х) существует предел 1пп — «=7'(х). Отсюда и из диет Лх непрерывности функции агс1ди для всех значений и следует, что существует предел правой части (5.6), равный агс(Е)'(х). Итак, мы доказали, что существует предел 1пп <р(йх) =агс1Е~'(х). Но это и означает, что существует предельное положение секущей, т. е. существует касательная к графику функции в точке М(х, 1(х)), причем угол наклона ~рв этой касательной к оси Ох равен ~ре=агс1и('(х). Значит, Угловой коэффициент Указанной касательной 1ЕФо Равен 1'(х). Сформулированное утверждение доказано.

Гл. б. Дифференциальное исчисление 194 чающее приращению аргумента Лх, может быть представлено в виде Лу=АЛх+ а(Лх) Лх, (5.7) где А — некоторое число, не зависящее от Лх, а а(Лх) — функция аргумента Лх, бесконечно малая в точке Лх=О. В самой точке Лх=О зта функция а(Лх), вообще говоря, не определена, и ей можно приписать в этой точке любое значение. Для дальнейшего удобно считать зто значение а(О) равным нулю.

При такой договоренности функция а(Лх) будет непрерывна в точке Лх=О и равенство (5.7) можно распространить и на значение Лх=О. 3 а м е ч а н и е. Второе слагаемое в правой части (5.7) а (Лх) Лх можно переписать в виде о(Лх) *. В самом деле, так как обе функции а(Лх) и Лх являются бесконечно малыми в точке Лх=О, то произведение этих функций а(Лх)Лх представляет собой бесконечно малую в точке Лх=О функцию более высокого порядка, чем Лх (см. п. 5 9 4 гл. 3). Таким образом, представление (5.7) можно переписать в виде Лу=АЛх+о(Лх).

Правая (а поэтому и левая) часть (5.8) имеет равный А предел в точке Лх=О*". Остается заметить, что предел при Лх- О левойчасти (5.8) (в случае, если он существует) по определению равен производной 1'(х). Итак, мы доказали, что если для функции 7(х) справедливо представление (5.7), то эта функция имеет в точке х производную )' (х), причем Г'(х) =А. 2) Достаточность.

Пусть существует конечная производная Г'(х), т. е. существует конечный предел ! нп — = ) ' (х). и оЛх (5.9) ч Напомним, что символ о(бх) обозначает бесконечно малую в тогке Ли=о функцию более высокого порядка, чем Лх. *ч Нбо Нп1 Д=Д Нсп п=б Дх-тв Ьх-О Докажем следующее утверждение. Теорем а 5.1. Для того чтобы функция у=1(х) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную Г'(х). Доказательство.

1) Необходимость. Пусть функция у= =1(х) дифференцируема в точке х, т. е. ее приращение Лу в этой точке, отвечающее приращению аргумента Лх, представимо в виде (5.7). Считая Лх отличным от нуля и поделив (5.7) на Лх, получим — =А+ я (Лх). (5.8) Лх $2. Понятие дифференцируемости функции 195 Обозначим символом а(Ьх) разность — — 7 (х), т. е. поля ох ложим сс(тех) = —" — 7' (х). (5.10) ох Из существования предела (5.9) вытекает, что функция а(стх), определяемая соотношением (5.!0), имеет предел при стх- О, равный нулю, Умножая соотношение (5.10) на Лх, мы придем к представлению сту=!'(х) стх+а(стх) стх, совпадающему с представлением (5.7) при А =!'(х).

Тем самым доказано, что из существования конечной произ- водной !'(х) вытекает дифференцируемость функции у=!(х) в точке х, причем в условии дифференцируемости (5.7) число А совпадает с !'(х). Теорема доказана. Доказанная теорема позволяет нам в дальнейшем отождест- влять понятие дифференцируемости функции в данной точке с по- нятием существования у этой функции в данной точке конечной производной. Операцию нахождения производной в дальнейшем договоримся называть дифференцирование м. 2. Дифференцируемость и непрерывность.

Легко доказывается следующее утверждение. Т е о р е м а 5.2. Если функция у=!(х) дифференцируеиа в данной точке х, то она и непрерывна в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция 7(х) диффереицируе- ма в точке х, то для ее приращения цу в этой точкс справедливо представление (5.7), из которого следует, что !пп сту=О, а это и, о н означает непрерывность функции у=7(х) в данной точке (в силу разностной формы условия непрерывности (5А), введенной в и; ! $ 1).

Теорема доказана. Заметим, что утверждение, обратное к теореме 5.2, несправед- ливо, т. е. из непрерывности функции у=!(х) в данной точке х, вообще говоря, не вытекает дифференцируемость функции )(х) в этой точке. Примером может служить функция у= ~!х~(, которая, очевидно, непрерывна в точке х=О, но (как мы уже видели в конце п. 2 э !) не имеет в этой точке производной.

Отметим, что существуют функции, непрерывные в каждой точ- ке некоторого интервала, но не имеющие производной ни в одной точке этого интервала. (Первый пример такой функции был по- строен Вейерштрассом, Один из примеров такой функции строится в дополнении к гл. 10.) 7' 196 Гл. Б. дифференциальное исчисление 3. Понятие дифференциала функции. Рассмотрим функцию у=)(х), дифференцируемую в данной точке х. Приращение Лу такой функции в точке х может быть представлено в виде (5.7). Заметим, что приращение (5.7) представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых АЛх линейно от н о сите л ьно Лх, а втрое а(Лх)Лх является в точке Лх=О бесконечно м алой ф ун кц и е й б олее высокого по р ядка, чем Лх. Если число А, равное согласно теореме 5.1 производной Г'(х), отлично от нуля, то указанное первое слагаемое АЛх=Г'(х)Лх представляет собой г л а в н у ю ч а с т ь приращения Лу дифференцируемой функции у=1(х).

Эта главная часть приращения является линейной однородной функцией аргумента Лх" и называется дифференциалом функции у=7(х). В случае„если А=Г'(х) =О, дифференциал функции по определению считается равным нулю. Итак, дифференциалом функции у=7(х) в данной фиксированной точке х, отвечающим приращению аргумента Лх, называется число, обозначаемое символом йу и равное йу=Г'(х)Лх.

(5.11) В случае Г'(х)4=0 это число представляет собой главную часть приращения Лу функции у=)(х), линейную и однородную относительно приращения аргумента Лх. Сразу же отметим, что дифференциал йу и приращение Лу функции у=)(х) в данной точке х, оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента Лх, вообще говоря, не равны друг другу. Это легко уяснить из рассмотрения графика функции у=)(х) '(рис. 5.2).

Пусть М и Р— точки графика функции у=~(х), отвечающие значениям аргумента, соответственно равным х и х+Лх, М5 — касательная к графику в точке М, МЖ110х, *г)Р110у, сг — точка пересечения касательной МЗ с прямой РУ. Тогда при- У ращение Лу функции у=((х) в точке х, отвечающее 'приращению аргумента Лх, очевидно, равно величине отрезка оу Р1Р, в то время как диффедт ренциал йу этой функции в точке х, отвечающий тому же самому Лх, равен величине й х а+Ах х отрезка ЖЯ. (Это сразу выте- кает из формулы (5.11) и из Рис.

5.2 того, что в прямоугольном ' Напомним, что линейной функцией аргумент Г называется функция вида у=лг+В, где А и  — некоторые постоянные. В случае В=О линейная функция называется однородной. $ 3. Дифференцирование сложной и обратной функций 197 треугольнике М()Ж величина отрезка Мй) равна Лх, а тангенс угла (гМЛ) равен Т'(х).) Ясно, что величины отрезков й)Р и )ЧЯ явля. ются, вообще говоря, различными. Весьма удобно ввести в рассмотрение понятие дифференциалаа а ргу мент а х. При этом следует различать два случая: 1) случай, когда указанный аргумент х представляет собой независимую переменную; 2) случай, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида х=~р(1) некоторой новой перел менной 1, которую мы можем считать независимой.

Договоримся.для случая, когда аргумент х является независимой переменной, отождествлять дифференциал этого аргумента с его приращением Лх", т. е. считать, что дх=Лх. В силу этой договоренности равенство (5.11) принимает вид ду=~'(х) йх. (5.12) Таким образом, для случая, когда аргумент х является независимой переменной, для дифференциала функции у=](х) справедливо представление (5.12).

Ниже в 'и, 3 9 3 мы докажем, что представление (5й2) носит универсальный характер н справедливо также и в случае, когда аргумент х не является независимой переменной, а является дифференцнруемой функцией вида х=~р(1) некоторой независимой переменной й (В этом случае в формуле (5.12) величину с(х нельзя считать равной Лх, ибо в силу сказанного выше она равна йх= = р'(1) дй) $ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 1.

Характеристики

Список файлов книги