ilin1 (947407), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В п. 3 $ 2 мы показали, что диф" Ниже мы введем понятия второго н последующих дифференциалов функцнн у=)(х) н обнаружим, что этн дифференциалы уже не обладают ннварнантносгью формы. Вследствие этого доказываемое свойство называют ннварнантносгью формы первого дифференциала. Гл. З.
Дифференциальное исчисление $4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИИ Т е о р е м а 5.5. Если каждая из функций и(х) и о(х) дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что значение о(х) ~0) танисе дифференцируемы в этой точке, причем имеют место фор- мульс (и(х) ~о(х))'=и'(х) ~о'(х), (и(х) о(х))'=и'(х) о(х) + и(х) о'(х), )'- ' и(х) 1' и'(х) а(х) — и(х) о'(х) а (х) оа (х) (5.24) * Си.
и. 3 $2. ференциал йу функции у=)(х), вообще говоря, не равен приращению Лд этой функции. Тем не менее с точностью до бесконечно малой функции более высокого порядка малости, чем Лх, справедливо приближенное равенство Лд =йу. (5.22) Ьу — йу Отношение " естественно назвать относительной Ах погрешностью равенства (522), Так как Лд — йу=о(Лх) ', то относительная погрешность равенства (5.22) становится как угодно малой при уменьшении )Лх). Соотношение (5.22) позволяет приближенно заменять приращение Лу дифференцируемой функции у=)(х) дифференциалом йу этой функции.
Целесообразность такой замены оправдывается тем, что дифференциал йу является линейной функцией Лх, в то время как приращение Лу, вообще говоря, представляет собой более сложную функцию аргумента Лх. Учитывая, что Лд=)(х+Лх) — )(х), йу=)'(х)Лх, мы можем переписать приближенное равенство (5.22) в виде )(х+Лх) — )" (х) ж =)'(х)Лх или, что то жс самое, в виде ((х+Лх) -)(х) +)'(х)Лх. (5.23) Приближенное равенство (5.23), так же как и (5.22), справедливо для любой дифференцируемой в данной точке х функции )(х) с точностью до величины о(Лх) более высокого порядка малости, чем Лх. Это приближенное равенство позволяет с ошибкой о(Лх) заменить функцию )(х) в малой окрестности точки х (т. е. для ма.
лых значений Лх) линейной функцией аргумента Лх, стоящей в правой части (5.23). Приближенная формула (5.23) часто применяется для различных конкретных видов функции )(х). й 4. Диф. суммы, разности, нроизаеленин и частного функций 203 Дока з а те льет во. Рассмотрим отдельно случаи суммы (разности), произведения и частного. 1'. Пусть у(х)=и(х)-~-о(х), Обозначим символами Ли, Ло и Лу приращения функций и(х), о(х) и у(х) в данной точке х, отвечающие прирагценню аргумента Лх. Тогда, очевидно, Лу=у(х+Лх) — у(х) =[и(х+Лх) ~о(х+Лх)] — [и(х) ~о(х)]= = [и1х+ Лх) — и(х)] ч- [о(х+ Лх) — о(х)] =Ли ч: Лш Таким образом, (5.25) Лх ах Дх Пусть теперь Лх- О.
Тогда в силу существования производных функций и(х) и о(х) в точке х существует предел правой части (5.25), равный и'(х) ~о'(х). Значит, существует предел (при Лх- О) н левой части (5.25). По определению производной указанный предел равен у'(х), и мы приходим к требуемому равенству у'(х) =и'(х) ~о'(х). 2'. Пусть, далее, у(х) =и(х)о(х). Сохраняя за Ли, Ло н Лу тот же смысл, что и выше, будем иметь Лу=у(х+Лх) — у(х) =и(х+Лх)о(х+Лх) — и(х)о(х) = =[и(х+Лх)о(х+Лх) — и(х+Лх)о(х)]+ [и(х+Лх)о(х) — и(х)о(х)]. (Мы прибавили и вычли слагаемое и(х+Лх)о(х).) Далее можем записать Лу=и(х+Лх) [о(х+Лх) — о(х)] +о(х)[и(х+Лх) — и(х)]= = и (х+ Лх) Ло+ о (х) Ли.
Таким образом, — = и (х+ Лх) — + о (х) —, Лу Ьо Ли (5.26) Ьх Ьх Лх Пусть теперь Лх- О. Тогда в силу дифференцируемости функций и(х) и о (х) в точке х существуют пределы отношений Ьи Ло — и —, соответственно равные и'(х) и о'(х). Далее, из дифЛх Дх ференцнруемости функции и(х) в точке х в силу теоремы 5.2 следует непрерывность и(х) в этой точке.
Значит, существует предел 1пп и(х+ Лх), равный и(х). ах-~а Таким образом, существует предел правой части (5.26) при Лх- О, равный и(х)о'(х)+и(х)о'(х). Значит, существует предел (прн Лх- 0) и левой части (5.26). 110 определению производной указанный предел равен у'(х), и мы приходим к требуемой формуле у'(х) =и'(х)о(х)+и(х)о'(х). Гл. З. дифференциальное исчисление 3'.
Пусть, наконец, у('х) = "", Тогда, поскольку о('х)чьО, по о (х) теореме 4.11 об устойчивости знака непрерывной в данной точке х функции о(х+Лх)~0 для всех достаточно малых Ьх, н мы можем записать, что Ьу=у(х+ Лх) — у(х) = и(х+ Ьх) и(х) о(х+ Ьх) о(х) и(х+ Ьх) о (х) — о(х+ Ьх) о(х) о(х) о(х+ Ьх) Добавляя и вычитая в числителе слагаемое и(х)о(х), будем иметь (и(х+ Ьх) о(х) — и(х) о(х)1 — (о(х+ Ьх) и(х) — и(х) о(х)1 р о(х) о (х + Ьх) о(х)(и(х+ Ьх) — и(х)1 — и(х) (о(х+ ах — о(х)1 о(х) Ьи — и(х) Ьо о (х) о (х + Ьх) о(х)о(х+Ьх) Таким образом, Ьи . Ьо о (х) — — и (х)— Ьи Ьх Ьх (5.27) Ьх о(х) о(х+ Ьх) Пусть теперь Лх- О.
В силу днфференцируемости (и вытекающей из нее непрерывности) функций и(х) и о(х) в точке х существуют пределы 1пп — и=и'(х), 1пп — о =о'(х), 1пп о(х+ Лх) =о(х). ах-~о Ьх ах-ао Ьх ах о Таким образом, поскольку о(х)ФО, существует предел при Лх- 0 правой части (5.27), равный о(х) и' (х) — и(х) о'(х) оа (х) Значит, существует предел прн Лх- 0 и левой части (5.27). По определению производной указанный предел равен у'(х), и мы получим требуемую формулу у'(х) = и' (х) о (х) — о' (х) и (х) оа (х) Теорема 5.5 полностью доказана. Следствие из теоремы 55. Если для функций и(х) и о(х) выполнены в данной точке х те же предположения, что и в теореме 5.5, то в этой точке х справедливы следующие соотношения для дифференциалов: $5, Производные простейших элементарных функций 205 Ы (и ~ о) = Ыи ~ сЬ, с( (и о) = и1и + исЬ, (5.28) ( и ) еаГп — шге Для установления соотношений (5.28) достаточно умножить равенство (5.24) на дх и воспользоваться универсальным представлением (5.12) дифференциала произвольной функции у=1(х) й 5.
ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ зш — = сов (х -1- — ) 2 По определению производной Ах зш (в1о х)'= 1пп — =1пп сов (х + — ) (5.29) зх.оЬх ех.~е~ ~ 2 ) (йх) В силу непрерывности функции у=сов х в любой точке х бесконечной прямой 1пн сов (х + — ) = сов х. Ьх ~ дх-м>, 2 ) (5.30) Из вводной главы и из гл. 4 нам уже известно, что яр остей- шими элементарными функциями принято называть следующие функции: показательную функцию у=а* и логарифмическую функцию у=!опе х, рассматриваемые для любого фиксированного значения а такого, что 0(аФ1, степенную функцию у=х", где а — фиксированное вещественное число, четыре тригонометрические функции у=в(пх, у=совх, у=(нх и у=с(нх и четыре обратные тригонометрические функции у=агсв(пх, у=агссовх, у=агс1нх и у=агсс(нх. В настоящем параграфе мы вычислим и систематизируем в таблицу производные всех простейших элементарных функций, уже выписанные нами в гл.
1. 1. Производные тригонометрических функций. 1'. Производная функции у=в(пх. Так как для этой функции Ьу= в1п(х+ Лх) — в1пх= 2 сов (х + — ) в1п —, Ьхт Ьх 2 ) 2 то при любом Ах~0 разностное отношение имеет вид Ах Гл. 3. Дифференциальное исчисление 206 Далее, в силу первого замечательного предела и элементарной Лх замены переменной 1=,— 2 Лх юп— 1нп 2, а1п1 =1пп — = 1.
дх о Лх ь о 2 (5.31) Из существования пределов (5,30) и (5.31) и из теоремы о пределе произведения двух функций вытекает существование предела в правой части (5.29) и равенство Лх мп— Лх1 2 (в)их)'= 1пп сои ) х + — ) =созх. дх о ~ 2 ) Лх 2 Итак (яп х)'=сов х (5.32) (для любой точки х бесконечной прямой). 2'. П р о н з в о д н а я ф у н к ц и и у = сов х. Так как для любой точки х бесконечной прямой созх=яп (' — — х'), 1, 2 (соз х)' = [з)п ~ — — х) ~ = сов ~ — — х) ( — — х) = = соз ( — — х) ( — 1) = — яп х.
1, 2 Итак, (соз х) ' = — яп х (5.33) (для любой точки х бесконечной прямой). 51п х 3'. Производная функции у =1а х. Так как 1д х = соа х то в силу правила дифференцирования частногое*е и соотношений (5.32) и (5.33) в любой точке х, в которой соз х4=0, Лх ' Очевидно, что 1= — "ч О при Лх-ьо. 2 чь,См. п. ! $3, формулу (3.13). а*4 См. 4 4, третью формулу (324).
то по правилу дифференцирования сложной функции ** и по фор- муле (5.32) $ З. Производные простейших элементарных функций 207 / 5!П Х ! (5!ПХ) СО5Х вЂ” (С05Х) 51П Х ((я х)' — ~ (, СО5Х ) СО5' Х Соз Х+ 51П Х 1 с!и' х соза х Итак, ((йх)'1= ', =1+(а'х (5.34) — 51П Х вЂ” С05 Х 2 2 мп х 51П Х Итак, (с1йх)' = — — = — (1+ с1иа х) Мпа Х (5.35) (в любой точке хФПП, где о=О, ~1, ~2, +.3, ...). 2.
Производная логарифмической функции. Пусть у=1ои,х, где 0<а4=1, х>0 — фиксированная точка. Тогда для любого достаточно малого ЛХФО Ьу 1ояа(к+Ох) — 1ойах 1 1 /1 Ьх 1 ЬХ Ьх 1 (1 По определению производной (!одах)'=1пп — = — 1нп 1од, ~ (1 + — ) Лу 1 ах ! ах ~ЬХ х ах-ао ", х (5.36) В силу второго замечательного предела и элементарной замены Лх ' переменной Вп ~(1+ — !! 1=1)ш ((1+() |=е.,'(5.37) ах * Так как х)О фиксировано, то т= — -2.0 при ЛХ-20. Х в любой точке х~ — +пи, где П= О, -+-1, ~2, ...~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
