ilin1 (947407), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Локальные и глобальные свойства непрерывных функций [75 [а, Ь], а значение 1(хе) Равно точной нижней гРани ((х) на сегменте (а, Ь]. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу первой теоремы Вейерштрасса 4.14 функция )(х) ограничена на сегменте (а, Ь], а поэтому у нее существует нв этом сегменте точная верхняя грань М и точная нижняя грань лт. Остановимсн на доказательстве достижимостн точной верхней грани М, ибо достижимость точной нижней грани и доказывается аналогично. Предположим, что точная верхняя грань М не является достижимой, т.

е. предположим, что во всех точках сегмента (а, Ь] функция )(х) принимает значения, строго меньшие М. Тогда мы можем рассмотреть функцию Р(х) = ! М вЂ” ! («) Знаменатель М вЂ” ((х) представляет собой функцию, непрерывную и строго положительную на сегменте (а, Ь].

Поэтому по теореме 4.1 (для случая частногО) функция Г(х) будет являться непрерывной на сегменте (а, Ь]. Значит, по первой теореме Вейерштрасса 4.14 функция Е(х) ограничена на сегменте (а, Ь], т. е. найдется положительное число А такое, что Р(х) = ( ! М вЂ” ! («) <А для всех х из сегмента (а, Ь]. Так как функция М вЂ” 1(х) строго положительна на (а, Ь], то последнее неравенство экви! валентно неравенству ((х) (М вЂ” — для всех х из сегмента А (а, Ь], а это противоречит тому, что число М является точной верхней гранью, т. е. наименьшей из всех верхних граней функции ~(х) на сегменте [а, Ь].

Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о недостижимости точной верхней грани является неверным. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 2. После того как доказана достижимость непрерывной на сегменте (а, Ь] функцией своих точных верхней и нижней граней, мы можем назвать точную верхнюю грань М максимальным значением, а точную нижнюю грань т минни а л ьным значением функции ((х) на сегменте (а, Ь]. Теорему 4.15 можно переформулировать в виде: непрерывная на сеглгенте (а, Ь] функция 1(х) имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения.

Максимальное значение функции )(х) на сегменте (а, Ь] обозначается одним из следующих символов: птах ~(х) =. шах (~(х)) = [пах 1(х) = шах (! (х)). а<«сь а<«~а «е[азл «е[а,а! [тв Гл. 4. Неирерывность функции Аналогичные символы для минимального значения [(х) на сегменте [а, 6) имеют вид ппп Г'(х) =- ппп (Г(х)) = ппп Т(х) = пйп ([(х)). а«х«Ь а«х«Ь хв[агй хи[а,ь[ 3 а м е ч а н и е 3. Заметим, что и функции, не являющиеся непрерывными на данном сегменте, могут достигать на этом сегменте своих точной верхней и точной нижней граней.

Примером может служить функция Дирихле )х(х), равная нулю для всех иррациональных х и равная единице для всех рациональных х. Эта функция разрывна в каждой точке сегмента [О, 1), но, очевидно, достигает на этом сегменте своей точной верхней грани, равной единице, и своей точной нижней грани, равной нулю. 3 а меча н ив 4. Утверждение теоремы 4.15 окажется неверным, если в ее формулировке термин «сегмент» заменить термином «интервал» или «полусегмеит». Так, функция )(х) =х является непрерывной на интервале (О, 1) или на полусегменте [О, 1), однако точная верхняя грань этой функции иа указанном интервале или полусегменте И=1 хотя и существует, но не достигается.

К этому следует добавить, что у функции, являющейся непрерывной на интервале нли полусегменте, точные грани могут даже не существовать, ибо такая функция может не являться ограниченной иа указанном интервале или полусегменте (см, замечание 1). 3. Понятие равномерной непрерывности функции. Предположим, что функция у=[(х) задана на таком множестве (х), каждая точка которого является предельной точкой этого множества. Примером такого множества могут служить сегмент, интервал, полусегмент, полупрямая, бесконечная прямая, множество всех рациональных точек, принадлежащих любому из перечисленных множеств.

Оп редел ение. Функция у=Я(х) наз[явается равномерно непрергявной на множестве (х), если для любого положительного числа и найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для любых двух точек х' и ха множества (х), удовлетворяющих условию [х' — х" ~ <б, справедливо неравенство 1[(л') — [(ха) ) <в. (4.29) 3 а меча н и е 1. Сразу же подчеркнем, что если функция [(х) равномерно непрерывна на множестве (х), то она непрерывна в каждой точке х множества (х).

В самом деле, взяв в сформулированном определении в качестве х" данную фиксированную точку х„множества (х), а в качестве х' — любую точку этого множества, мы придем к определению непрерывности функции [(х) в точке ха по Коши. 3 а меч ание 2. Основным в сформулированном определении равномерной непрерывности является требоваиие, гаранти- й б. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 177 рующее существование по любому е>0 такого универсального 6>0, которое обеспечивает справедливость неравенства (4.29) сразу для всех точек х' и х" множества (х), удовлетворяющих условию (х' — х") <6.

Если потребовать непрерывности функции 7(х) в каждой точке хо множества (х), то для любого е>0 и любой точки х, множества (х) можно гарантировать существование «своего» положительного числа 6=6(в, хо), зависящего не только от в, но и отхо и обеспечивающего справедливость неравенства. 11(х) — 1 (хо) ~ < <е для всех х из множества (х), удовлетворяющих условию 1х — хо~ <6(з, хе). При этом, вообще говоря, может не существовать по л о ж и т е л ь но й точной нижней грани указанных 6(в, х,) по всем точкам хо множества (х), т. е. равномерная непрерывность функции на множестве (х) не вытекает, вообще говоря, из непрерывности этой функции в каждой точке хо множества (х).

Замечание 3. Из данного нами определения равномерной непрерывности непосредственно вытекает, что если функция )(х) равномерно непрерывна на множестве (х), то эта функция равномерно непрерывна и на любом подмножестве множества (х). Рассмотрим примеры функций, как обладающих, так и не обладающих на данном множестве (х) свойством равномерной непрерывности. ! 1. Убедимся в том, что функция 1(х) = — равномерно нех прерывна на полупрямой х) 1. В самом деле, для любых двух точек х' и х" из указанной полупрямой справедливо неравенство д(х') — ) (х") ) — ~ ~ ! ~ — < )х» — х'~.

Поэтому, взяв для любого в>0 положительное число 6 равным в, мы получим, что для любых двух точек х' и х" полупрямой (1, +со), удовлетворяющих условию )х» — х') <6, справедливо неравенство 11(х') — )(х") ~ <б=е. 1 2, Функция 1(х)=з)п — не является равномерно непрерывх ной на интервале (О, 1)". Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что для некоторого е>0 и для любого как угодно малого 6>0 найдется хотя бы одна пара точек х' и.

х" интервала (О, 1) таких, что 1х х 1<6 но 11(х ) 1(х ) !)з. ' Хотя вта функпия и является непрерывной в каждой точке интервала (о, 1). Гл. 4. Непрерывность фуннпнн 178 Рассмотрим две последовательности точек, интервалу (О, 1), (х' ) и (х" ) с элементами х„'= — и х"„= 1 1 , л=1,2, лл " в — + 2пл 2 принадлежащих Обе эти последовательности, а значит, и их разность являются бесконечно малыми.

Поэтому для любого как угодно малого 4>0 найдется номер а такой, что 1х„' — х„"~ < б. Вместе с тем для любого номера а ~~(х„') — ~ (х„") ~ = ~ з)п пп — з(п ( —" + 2пл) ~ = 1. ~~(х') — 1(хл) ~ = ! ( ') — (хл)н! = (4.30)' = / х'+ х" ! ° 1х' — х" ! > х' 1х' — х" /. Убедимся теперь в том, что не только для н е к о т о р о г о в>0, а даже для л ю ба го в>0 и для любого как угодно малого б>0 найдется пара точек х' и х" из' полупрямой х>.1 таких, что )х' — х" ~ <б, но ~~(х') — 1(хл) ) ъз.

(Это и будет означать отсутствие свойства равномерной непрерывности у функции )'(х) =хе на рассматриваемой полупрямой.) Фиксирован произвольные е>0 и б>0, возьмем в качестве х' 2в произвольиоечисло, превосходящее единицу и такое,что х'> —, и положим х"=х'+ —. Для таких х' и х" будет справедливо 2 Поэтому для з= — > 0 и для как угодно малого б>0 най- 2 дется пара точек х' и хл нз интервала (О, 1) таких, что )х '— — х„"~ <б, в то время как ~1(х,') — 1(х,л) ~>е, это и означает, что ,рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале (О, 1).

Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцию 7(х) =з!п — не на интервале (О, 1), а на интервале (у, 1), где 1 х у — любое число из интервала 0<у<1, то приведенные выше рассуждения уже не имели бы места. Этот факт не является случайным, ибо ниже мы покажем, что указанная функция является равномерно непрерывной на интервале (у, 1) при 0<у<1. 3. Докажем, что функция 1(х)=хе не является равномерно непрерывной на полупрямой х)1. Заметим, что для любых двух точек х' и х" полупрямой хъ.1 справедливо неравенство й 6.

Характеристики

Список файлов книги