ilin1 (947407), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Но предел левой части (6.9) при х -с+О [х-«с — 0] по определению равен правой производной )'(с+ 0) [левой производной Г'(с — О)]. Лемма доказана. Применяя только что доказанную лемму в каждой точке с некоторого интервала (а, (з), мы придем к следующему утверждению: если функция [(х) имеет конечную производную всюду на интервале (а, Б), то эта производная ['(х) не может иметь на этом интервале ни точек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого рода. В самом деле, если в некоторой точке с интервала (а, (з) существуют конечные правый и левый пределы функции ['(х), то 1'(х) непрерывна в точке с (в силу доказанной нами леммык).
* В силу этой леммы !пп Р(х)=Р(с+0), !пп Р(х)=Р(с — 0), к-«с+О к с — О а поскольку р(с !0) =!'(с — 0) =р(с), то !!пз р(х)= !пп р(х)=! (с). к.«с-1 О к~ с — 0 Это и означает, что р(х) непрерывна в точке с. 233 4 4. Некоторые слелотвня на формулы Лагранжа Если же не существует хотя бы одного из пределов 1пп г' (х) а-~с+О и 1пп~'(х), то функция ('(х) по определению имеет в точке с а- а — о разрыв второго рода. Итак, производная 1'(х) в каждой точке с интервала (а, Ь) либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода, Сформулированное нами утверждение доказано. Приведем пример функции )(х), производная 1'(х) которой существует и конечна всюду на некотором интервале и имеет в некоторой точке этого интервала разрыв второго рода. Рассмотрим на интервале ( — 1, +1) функцию ха соз — прн х Ф О, Г'(х) = л 0 при х= О.
Очевидно, что для любого Х~О производная )"(х) этой функции ! ! существует и равна !" (х) = 2х соз — + яп —. Существование х л производной !'(Х) в точке х=О непосредственно вытекает из существования предела 1пп г(0+ Ьх) — 1(0) = 1(гп йхсоз — = О.
! а а Ах а о Ьх Производная 1'(х) не имеет в точке х=О ни правого, ни левого 1 пределов, нбо первое слагаемое 2хсоз — имеет в точке х=О 1 равный нулю предел, а второе слагаемое сйп — не имеет в точке х х=О ни правого, ни левого пределов. (Это было доказано в примере, рассмотренном в п. 3 $5 гл. 4.) 4. Вывод некоторых неравенств.
В заключение покажем, как с помощью теоремы Лагранжа могут быть получены некоторые весьма полезные неравенства. В качестве примера установим следующие два неравенства: ~31ПХ1 31ПХа(~ ~Х! Ха~ ( агс1ях! — агс1дха~~~х,— х,~. (6.10) (6.11) (Здесь под х! и ха можно понимать любые значения аргумента.) Для установления неравенства (6.10) применим теорему Лагранжа к функции 1(х) =з(п х по сегменту (хь ха). Получим 3!пх1 з!п а= (х! ха)! (З), (6.12) Учитывая, что ~'(к) =-соз к и что )сов Я(1 для любого $, получим, переходя в (6.12) к модулям, неравенство (6.10).
234 Гл. 6. Основные теоремы о лифференцируемых функциях Для установления неравенства (6,11) следует применить теорему Лагранжа по сегменту [хь хв] к функции 1(х) =агс1Их и учесть, что у (С) = 1 < 1. 1+0 й В. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИИ (ФОРМУЛА КОШИ) В этом параграфе мы докажем теорему, принадлежащую Коши и обобщающую установленную выше теорему Лагранжа. Теорема 6,8 (теорема Коши). Если каждая из двух функций )(х) и у(х) непрерывна на сегменте [а, Ь] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, крол~в того, производная у'(х) отлична от нуля всюду внутри сегмента [а, Ь], то внутри этого сегмента найдется точка $ такая, что справедлива формула (6.15) 1(Ь) — Ка) 1'(Е) (6.13) у(Ь) — д(а) у'($) Формулу (6.13) называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши. Доказательство.
Прежде всего докажем, что у(а)~д(Ь). В самом деле, если бы это было нс так, то для функции д(х) были бы выполнены на сегменте [а, Ь] все условия теоремы 6.3 (Ролля) и по этой теореме внутри сегмента [а, Ь] нашлась бы точка $ такая, что у'(Е) =О. Последнее противоречит условию теоремы. Итак, у(а)злу(Ь), и мы имеем право рассмотреть следующую вспомогательную функцию: Е (х) = Г (х) — Г (а) — Д ) ~~ ) [у (х) — д (а)]. (6.
14) Е(Ь) — у(а) Б силу требований, наложенных на функции [(х) и д(х), функций Е(х) непрерывна на сегменте [а, Ь] и днфференцнруема во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того, очевидно, что Е(а) =Е(Ь). Таким образом, для Е(х) выполнены все условия теоремы 6.3 (Ролла).
Согласно этой теореме внутри сегмента [а, Ь] найдется точка с такая, что Е'(Е) =О. Имея в виду, что Е'(х) =1 (х) — д'(х), и используя у(Ь) — у(а) равенство (6.15), будем иметь [ (Е) — "" "' у (Ь) = О. (6. 16) я(а) — Е(Ь] Учитывая, что д'Я)зеО, из равенства (6.16) получим формулу Коши (6.13). Теорема доказана. 265 6 6. Раскрытие неопределенностей Замечание 1.
Формула Лагранжа (6.1) является частным случаем формулы Коши (6.13) при у(х) =х. Замечание 2. В формуле (6.13) вовсе не обязательно считать, что (г>а. Эта формула верна и при у<а. 5 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ) 1. Раскрытие неопределенности вида —. Будем говорить, что 0 0 отношение двух функций — представляет собой при х- а 1(х) д(х) 0 неопределенность вида †, если О 1пп 1(х) = 1пп д (х) = О. 1!шг(х) =1!гпту(х) = О.
х а х а Тогда если существует (конечный или бесконечный) предел В Р() хыа Я'(Х) (6.17) (6.18) то существует и предел 1!гп —, 1(х) х а у(х) причем справедливо соотношение ! пп — =! !гп— ях) . Т(х) х а я(х) к а Е'(х) (6.19) (6.20) " Гильом Франсуа де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704). Напомним, что проколотой б-окрестностью точки о называется интервал (а — б„а+б) с выкинутой точкой а (при условии, конечно, что 6)0).
Раскрыть эту неопределенность — зто значит вычислить предел 1!гп — (прн условии, что этот предел существует). Лх) х-а у(х) 0 Аналогично вводится понятие неопределенности вида — при 0 х — ьа+0 [х — ьа — О[, прн х- оо, а также при х — ь-+ оо [х-ь — оо], Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности О вида — для предела в точке а. О Теорема 69 (первое правило Лоп итал я").
Пусть лгножество С, представляет собой проколотую б-окрестность точки а**, функции 1(х) и д(х) определены и дифференцируемы на Са и, кроме того, производная у'(х) не обращается на Сь в нуль. Пусть, далее, хзб Гл. б. Основные теоремы о днфференцнруемых функциях Теорема 6.9 дает правило раскрытия неопределенности вида Π— сводящее вычисление предела в точке а отношения двух о функций к вычислению предела в этой точке отношения производных этих функций. Доказательство.
Пусть (х») — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а и состоящая из чисел отличных от а. Доопределим функции 1(х) и д(х) в точке а, положив нх равными нулю в этой точке. При таком доопределении функции 1(х) и я(х) окажутся непрерывными всюду на множестве С,, дополненном точкой а, т. е. всюду в 6-окрестности точки а. В самом деле, непрерывность 1(х) и д(х) во всех точках б-окрестности точки а, за исключением самой точки а, вытекает из их диффсренцирусмостн в этих точках, а непрерывность 1(х) н л(х) в точке а вытекает из того, что в силу нашего доопределення этих функцнх их пределы в точке а равны частным значениям в этой точке.
Учитывая, что все элементы последовательности (х») принадлежат множеству С„рассмотрим произвольный сегмент, ограниченный точками а и х„. В силу сказанного выше обе функции )(х) и д(х) будут непрерывными на таком сегменте. Кроме того, функции 1(х) и д(х) дифференцируемы во всех внутренних точках указанного сегмента, и производная л'(х) не обращается в этих внутренних точках в нуль. Это дает нам право применить к функциям 1(х) и л(х) по указанному сегменту, ограниченному точками а и х„, теорему Коши 6.8. В силу этой теоремы между точками а и х» найдется точка С„ такая, что справедливо равенство 1(х„) — 1(а) Щ») (.
1) 6.2 л(х») — я(а) я'($») Учитывая, что по нашему доопредслению функций 1(х) и д(х) справедливы равенства 1(а) =л(а) =О, мы можем переписать соотношение (6.21) в виде 1(х.) 1'($») (6.22) л(х») к'($») Пусть теперь в соотношении (6.22) номер и стремится к бесконечности, тогда х -+.а. Поскольку $„заключено между а и х„, то и $„. а при и-+.оо. В силу существования предела (6.18) и определения предела функции по Гейне правая часть (6.22) имеет предел прн и- ео, равный пределу (6.18).
Значит, тот мсс самый предел при п- имеет и левая часть (6.22). В силу произвольности последовательности значений аргумента (х ), сходящейся к а, и в силу определения предела функции по Гейне существо- 237 6 6. Раскрытие неопределенностей ванне равного (6,18) предела при и- со левой части (6.22) означает существование предела функции (6.19), также равного (6.18).
Итак, в пределе нз (6.22) при п-г-с мы получаем соотношение (6.20). Теорема доказана. Замечание 1. Правило Лопиталя «действует» не всегда, т. е. предел отношения функций (6.19) может существовать и в случае, когда предела отношения производных (6.18) не существует. 1 Например, при а=О, Г(х) =х'соз —,у(х) =з(пх существует х 1 х' со«в Лх) х . х ! предел !ип — =1ип =-!ип — 1!тх соз — = О, в то «Й(х) «-~о е!и к «о егп х «-го х 1 1 2х сое — + Мп— время как предел !ип — =! ип 1'(х) х х не сущестхо й'(х) «о со« х 1 вует ( в силу того, что не существует предел 1!гпяп —, а предел «о х 1 1ип (2хсоз — ~ существует и равен нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
