ilin1 (947407), страница 49
Текст из файла (страница 49)
6. Основные теоремы о лифференцируемых функциях Доказательство. Рассмотрим на сегменте [а, Ь) следующую вспомогательную функцию Р(х) = ! (х) — )(а) — (х — а). ь — а (6.2) Проверим, что для функции Р(х) выполнены все условия теоремы Ролля. В самом деле, Р(х) непрерывна на сегменте [а, Ь[ (как разность функции 1(х) и линейной функции) и во всех внутренних точках сегмента [а, Ь] имеет производную, равную Р'(х) = !'(х)— ь — а Из формулы (6.2) очевидно, что Р(а) =.Р(Ь) =О.
Согласно теореме Ролля внутри сегмента [а, Ь[ найдется точка $ такая, что Р а) =Г(~) — "" — "' =О. (6.3) ь — а Из равенства (6.3) вытекает формула Лагранжа (6.1), Подчеркнем, что в формуле (6.!) вовсе не обязательно считать, что Ь)а, эта формула верна н при Ь(а. 3 а м е ч а н и е. Мы получили теорему Лагранжа как следствие теоремы Ролля.
Заметим вместе с тем, что сама теорема ролла является частным случаем теоремы Лагранжа (прн 1(а) =1(Ь)). Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа Н ь) — !(а) заметим, что величина есть угловой коэффициент се. ь — а кущей, проходящей через точки А(а, 1(а)) и В(Ь, [(Ь)) кривой у=1(х), а !'(6) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=1(х), проходящей через точку ,но~ С(е [($)).
Формула Лагранжа оФ (6.1) означает, что на кривой у= с в =1(х) между точками А и В найдется ~акая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ (рис. 6.5). ч' ~-- улм„° -.- а 6' Ь х вать формулу Лагранжа в виде, несколько отличном от (6.!). Пусть Рис. 6.5 [(х) удовлетворяет условиям теоремы 6.4.
Зафиксируем любое хо из сегмента [а, Ь) и зададим ему приращение ах произвольное, но такое, чтобы значение хо+ +ах также лежало на сегменте [а, Ь). Тогда, записывая формулу Лагранжа для сегмента, ограниченного точками хо и хо+Ьх, будем иметь ~(хо+Ах) — 1(хо) =Ах('(6), (6.4) 229 й 4. Некоторые следствия на формулы Лагранжа где 5 — некоторая точка, лежащая между хо и хо+Лх. Можно утверждать, что найдется такое (зависящее от Лх) число О из интервала 0<6<1, что 9 =-хо+ ОЛх. Таким образом, формуле (6.4) можно придать внд 1(хо+ Лх) — 1 (хо) = Лх)' (хо+ ОЛх), (6.5) где Π— некоторое число из интервала 0<0<1.
Формула Лагран; жа в виде (6.5) дает точное выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение Лх аргумента. Этот вид формулы Лагранжа оправдывает термин чформула конечных приращений». й 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 1. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Т ео р е и а 6.5, Если функция ) (х) дифференцируема всюду на интервале (а, Ь) и если всюду на этом интервале 1'1'х) =О, то функция 1(х) является постоянной на интервале (а, Ь). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть х, — некоторая фиксированная точка интервала (а, Ь), а х — любая точка этого интервала. Сегмент (хо, х) или соответственно [х, хо] целиком принадлежит интервалу (а, Ь). Поэтому функция )(х) дифференцируема (а значит, и непрерывна) всюду на этом сегменте. Это дает право применить к функции 1(х) на этом сегменте теорему Лагранжа; Согласно этой теореме внутри указанного сегмента найдешься точка 9 такая, что 1 (х) — ) (хо) = (х — хо) 1" (Ц). (6.6) По условию производная функции 1(х) равна нулю всюду в интервале (а, Ь). Значит, 1'(9) =0 и из формулы (6.6) мы получим )(х) =)(ха). (6.7)' Равенство (6.7) утверждает, что значение функции 1(х) в любой точке х интервала (а, Ь) равно ее значению в фиксированной точке хо. Это и означает, что функция 1(х) постоянна всюду на интервале (а, Ь), Теорема доказана. Теорема 6.5 имеет простой геометрический смысл: если касательная в каждой точке некоторого участка кривой у=1"(х) параллельна оси Ох, то указанный участок кривой у=1'(х) представляет собой отрезок прямой, параллельной оси Ох.
Замечание. Теорема 65 будет использована нами в гл. 8 чПервообразная функция и неопределенный интеграл». Во всем остальном гл. 8 является независимой от гл. 6 и 7 и может читаться сразу после гл. 5. 230 Гл. 6. Основные теоремы о дифференцируеиых функциях 2. Условия монотонности функции на интервале. В качестве второго следствия формулы Лагранжа рассмотрим вопрос об условиях, обеспечивающих неубывание (невозрастание) функции на данном интервале. Прежде всего напомним определения неубывания, невозрастания, возрастания и убывания функции на данном интервале.
1'. Говорят, что фуняция )(х) не убывает (не возрастает) на интервале (а, Ь), если для любых точек х~ и хх из интервала (а, Ь), удовлетворяющих условию х1<хт, справедливо неравенство )(Х,)~()(Х2) ()(Х!)~))(Х2)). 2'. Говорят, что функция )(х) возрастает (убывает) на интервале (а, Ь), если для любых точек хь х2 из интервала (а, Ь), связанных условием х,<хь справедливо неравенство ) (Х1) () (Х2) () (Х1) )) (Х2) ) . Теорем а 6.6.
Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция )1Х) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале. Доказательство. 1) Достаточность.
Пусть )'(х) '-0 ( -О) всюду на интервале (а, Ь). Требуется доказать, что )(х) ие убывает (не возрастает) на интервале (а, Ь). Пусть х| и хв — любые две точки из интервала (а, Ь), удовлетворяющие условию х,(хв. Функция )(х) дифференцируема (а значит, н непрерывна) всюду на сегменте (хь х2]. Поэтому к )(х) можно применить на сегмен. те (хь х2) теорему Лагранжа, в результате чего получим )(Х2) )(Х!) = (Х2 Х1)) (6), (6.8) где х~ <с(хи. ' По условию Г'(К))0 (<О), хе — х,)0.
Поэтому правая, а значит, и левая части (6.8) неотрицательны (неположительны), что и доказывает неубывание (невозрастание) Г(х) на (а, Ь). 2) Необходимость. Пусть функция )(х) дифферснцируема на интервале (а, Ь) н не убывает (не возрастает) на этом интервале. Требуется доказать, что )'(х) ~0 ((О) всюду на этом интервале. Так как )(х) не убывает (не возрастает) на интервале (а, Ь), то эта функция нс может убывать (возрастать) ни в одной точке интервала (а, Ь). Значит, в сплу теоремы 6.! производная )'(х) ви в одной точке интервала (а, Ь) не может быть отрицательной (положительной), что и требовалось доказать.
Теорем а 6.7, Для того, чтобы функция )(х) возрастала (убывала) на интервале (а, Ь), достаточно, чтобы производная ('(х) была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале. Доказательство проводится по той же схеме, 1то и доказательство достаточности в теореме 6.6. Пусть хь х2 — любые й 4. Некоторые следствия из формулы Лагранжа 231 две точки из интервала (а, Ь), удовлетворяющие условию х~(хь Записывая для сегмента [хь ха[ формулу Лагранжа, получим равенство (6.8), но на этот раз в этом равенстве ['(6) )О (<0), Вследствие этого левая часть (6.8) положительна (отрицательна), что и доказывает возрастание (убывание) ) (х) па интервале (а, Ь).
3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что положительность (отрицательность) производной Т'(х) на интервале (а, Ь) не явллетгл необа ход и м ы м условием возрастания (убывания) функции [(х) ни интервале (а, Ь). Так, функция у=х' возрастает на интервале ( — 1, +1), но производная этой функции ['(х)=Зх' не является всюду положительной иа этом интервале (она обрагцается в нуль в точке х=О) Вообще, легко доказать, что функция [(х) возрастает (убывает) на интервале (а, Ь), если производная этой функции ['(х) положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта производная равна нулю.
(Для доказательства достаточно применить теорему 6.7 к каждому из конечного числа интервалов„на которых Т'(х) строго положительна (отрицательна), и учесть непрерывность 1(х) в тех точках, в которых производная равна нулю.) Установленную теоремой 6.7 связь между знаком производной г1 направлением изменения функции легко понять из геометрических соображений.
Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной к графику у функции у=((х), знак производной указывает, острый или тупой угол с положительным направлением оси Ох составляет луч наса- тельной, лежащей в верхней полуплоскости. Если [' (х) ) 0 всюду й а х на интервале (а, Ь), то всюду на этом интервале луч касательной, Рис.
6.6 лежащей в верхней полуплоскости, составляет с положительным направлением оси Ох острый угол, значит, и кривая у=-1(х) идет вверх всюду на этом интервале (рис. 6.6). 3. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной. Теорема Лагранжа позволяет установить одно замечательное свойство производной. Начнем с доказательства следующей леммы. Л е и м а. Пусть функция у= — [(х) имеет конечную производную г*'(х) всюду на интервале (с, с+Ь) [на интервале (с — б, с)), гдв б — некоторое положительное число и, кроме того, имеет правую производную ['(с+О) [левую производную ['(с — 0)), Тогда, если производная ['(х) имеет в точке с правый предел [левый предел[, 232 Гл..б.
Осноакые теоремы о дифференцнруемых функциях то этот предел совпадает с правой производной 1*'(с+0) [с левой производной !"(с 0)] ° Доказательство. Из существования правой производной )'(с+0) [левой производной )'(с — 0) ] вытекает существование конечного предела ((х) — !(с] [ 1. ((х) — Цс) к с+о х — с [к-«с — о х — с Но это означает, что существует равный нулю предел 1пп (!'(х) — !'(с)) = 0 [ 1 пи (!'(х) — !"(с)) = 0], к«+о к с — о т. е. функция у=[(х) является непрерывной в точке с справа [слева]. Фиксируем любое х из интервала (с, с+6) [(с — 6, с)]. Так как функция у=)(х) дифференцируема (а значит, и непрерывна) всюду на указанном интервале и, кроме того, непрерывна в,точке с справа [слева], то для этой функции выполнены на сегменте [с, х] [на сегменте [х, с]] все условия теоремы Лагранжа 6.4. В силу этой теоремы между х и с найдется точка и такая, что справедливо равенство )(х) — )(с) (6 9) Перейдем теперь в равенстве (6.9) к пределу при х — «с+О [при х — с — 0].
Если производная ['(х) имеет в точке с конечный праь вый предел 1ип !'(х) [конечный левый предел 1пп [' (х)], то к с+о к с — О правая часть (6.9) обязана стремиться к этому пределу (ибо й-«с+О [5 — «с — О] при х-«с+О [х- с — 0]). Тот же самый предел при х- с+О [х- с — О] обязана иметь и левая часть (6.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
