ilin1 (947407), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

7.8 Рис. 7.9 На рис. 7.7 изображен график функции, имеющий на интервале (а, Ь) выпуклость, направленную вниз, а на рис. 7.8 изображен график функции, имеющий выпуклость, направленную вверх. ' Иео угловой козффиниеит ее, равный производной р(х), конечен. 272 Гл. 7.

Исследование графмка функции Теорем а 7.5. Если функция у=1(х) имеет на интерваг)е '(а, Ь) конечную вторую производную и если эта производная нротрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, ~о график функции у=1(х) имеет на интервале (а, Ь) вьгпуклос ь, напрцвленную вниз (вверх). Доказательство. Ради определенности рассмотрим случай, когда вторая производная 1(з>(х))0 всюду на (а, Ь). Обоэначим через с любую точку интервала (а, Ь) (рис. 7.9).

Требустся доказать, что график функции у=1(х) в пределах интервала (а, Ь) лежит не ниже касательной, проходящей через точку М(с, 1(с)). Запишем уравнение указанной касательной, обозначая ее текущую ординату через У. Поскольку угловой коэффициент указанной касательной равен 1'(с), то ее уравнение имеет вид У вЂ” 1(с) =1'(с) (х — с) (7.5) Разложим функцию 1(х) в окрестности точки с по формуле Тейлора, беря в этой формуле п=). Получим у = 1(х) = 1(с) + (х — с) + (х — с)', (7.6) 1' (с), 1св(с) и 2! где остаточный член взят в форме Лагранжа, й заключено между с и х.

(Поскольку по условию 1(х) имеет вторую производную на интервале (а, Ь), формула (7.6) справедлива для любого х из интервала (а, Ь); см. Я 7 и 8 гл. 6.) Сопоставляя (7.6) и (7.5), будем иметь у — )'= 1"'(с) (х — с)'. (7.7) 2 Поскольку вторая производная по условию )О всюду на (а, Ь), то правая часть (7.7) неотрицательна, т. е.

для всех х из (а, Ь) справедливо у — У>0, или у> У. Последнее неравенство доказывает, что график функции у= =)(х) всюду в пределах интервала (а, Ь) лежит не ниже касательной (7.5) . Аналогично доказывается теорема для случая 1ьи(х) ='О. 3 а м е ч а н и е 2. Если Газ(х) =0 всюду на интервале (а, Ь), то, как легко убедиться, у=1(х) — линейная функция, т. е. график ее есть прямая линия. В этом случае направление выпуклости можно считать произвольным. Теорема 7.6. Пусть вторая производная функции у=)(х) ,непрерывна и положительна (отрицательна) в точке с. Тогда существует такая окрестность *" точки с, в пределах которой график ." Уравнение прямой, проходящей через точку М(п, Ь) и имеющей угловой коэффициент Ь, имеет внд у — Ь=й(х — и) (см.

курс аналитической геометрии). ** Напомним, что окрестностью точки с называется интервал, содержащий точку с. й 3. Точки перегиба функции у=((х) имеет выпуклость, направленную вниз (вверх). Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме об устойчивости знака непрбрывной функции найдется такая окрестность точки с, в пределам которой вторая производная (а>(х) положительна (отрицательна). По предыдущей теореме график функции у=)(х) имеет в пределах этой окрестности выпуклость, направленную вниз (вве х). 7)' аким образом, направление выпуклости графика функции полностью 'характеризуется знаком второй производной этой функции. П р и м е р. Исследовать направление выпуклости графика функции у=хи — Зх' — 4. Из вида второй производной 1а>(х) = =6(х — 1) вытекает, что эта производная отрицательна при х<1 и положительна при х>1.

Таким образом, выпуклость графика функции у=х' — Зх' — 4 направлена вверх на участке ( — оо, 1р и вниз на участке (1, оо) (см. рис. 7.1). % 3. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 1. Определение точки перегиба. Необходимое условие перегиба Пусть а, Ь и с — некоторые три числа,-связанные неравенствам>г а<с<Ь. Предположим, что функция у=((х) дифференцируемж на интервале (а, Ь), т. е. существует касательная к графику этой функции во всех точках, абсциссы которых принадлежат интервалу (а, Ь). Г1редположим, кроме того, что график функции у= =1(х) имеет определенное направление выпуклости на каждом из интервалов (а, с) и (с, Ь). О п р е де л е н и е.

Точка М(с, 1(с) ) графика функи ии у=((х) называется т о ч к о й п е р е г и б а этого графика, если существует такая окрестность гочки с оси абсцисс, в пределах которой график функции у=(Гх) слева и справа от с имеет разные на- ми правления выпуклости. На рис. 7.10 изображен график функции, имеющий перегиб в точке М(с, 1(с)). Иногда при определении точ- й аи с х ки перегиба графика функции у=((х) дополнительно требуют, Рис, ТЗО чтобы указанньи1 график всюду в пределах достаточно малой окрестности точки с оси абсцисс слева и справа от с лежал по разные стороны от касательной к этому графику в точке М(с„ 1(с)). Ниже мы докажем, что это свойство будет вытекать из данного нами определения в предположении, что производная Т'(х), является непрерывной в с.

274 Гл. 7. Исследование графика функции Докажем следующие две леммы. Л ем и а 1. Пусть функция у=)(х) имеет производную 7"'[х) всюду в 6-окрестности точки с, причем эта производная непрерывна в точке с. Тогда, если график функции у=)(х) имеет на инуервале (с, с+6) выпуклость, направленную вниз [вверх], то всюду в пределах интервала (с, с+6) этот график лежит не ниже [не .вьиие] касательной к графику, проведенной в точке М(с, [(с)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность (х„) точек интервала (с, с+6), сходящуюся к точке с.

Через каждую точку М„(х, 7(х )) графика функции у=)(х) проведем касательную к этому графику, т. е. прямую ' У„= [(х„) +(' (х„) (х — - х„) . 'Так как по условию график функции у=)(х) имеет на интервале (с, с+6) выпуклость, направленную вниз [вверх], то для любого номера и и любой фиксированной точки х интервала (с, с+6) 7(х) — У„=[(х) — 7(х„) — Г'(х ) (х — х„) )О [(0] (е) Из условия непрерывности 7'(х) (и тем более 7'(х)) в точке с и из определения непрерывности по Гейне вытекает, что сущест.вует предел 1цп (7'(х) — Ул) =- 11гп (7'(х) — Г (х„) — 7" (х„)(х — х,)) = = [ (х) — Г (с) — Т' (с) (х — с) .

Из существования последнего предела в силу неравенства (е) и теоремы 3.13 из $ 1 гл. 3 мы получим, что )(х) — )(с) — Г'[с) (х — с):. 0 [~0]. Если обозначить через У текущую ординату касательной (7.5), проходящей через точку М (с, 1(с) ), то последнее неравенство можно переписать в виде [(х) — У)0 [~(0]. Итак, переходя в (ч) к пределу при и- оо и используя теорему 3.13, мы получим, что Г(х) — У~О [(0] для любой фиксированной точки х из интервала (с, с+6), причем У обозначает текущую ординату касательной, проведенной через точку М(с, Г(с)).

.Лемма доказана. 3 а м с ч а н и е. Аналогично формулируется и доказывается лемма 1 и для случая, когда график функции имеет определенное направление выпуклости не на интервале (с, с+6), а на интерва.ле (с — 6, с). ' Мы используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х„, 1(х )) и имеющей угловой коэффициент, равный У(х„). Текущую ординату втой прямой обозначаем через у„. $3. Точки перегиба Лемм а 2. Пусть функция у=>(х) имеет производную ~'(х) в некоторой окрестности точки с, причем эта производная непре- рывна в точке с.

Тогда, если график функции у=7(х) имеет пере- гиб в точке М (с, 7(с)), то в пределах достаточно малой б-окрест ности точки с этот график слева и справа от с лежит по разно>е стороны ог касательной, проведенной через точку М (с, 1(с)). Для д о к а з а т е л ьс т в а этой леммы следует выбрать б>0 настолько малым, чтобы на каждом из интервалов (с — 6, с) и (с, с+б) график функции у=7(х) имел определенное направле- ние выпуклости (это направление будет различным на интерва- лах (с — 6, с) и (с, с+б).

После этого для доказательства лем- мы 2 остается применить лемму 1 к функции у=7(х) по каждому из интервалов (с — б, с) и (с, с+6). Лемма 2 позволяет нам установить необходимое условие пере- гиба графика дважды дифференцируемой в данной точке функции у=((х). Теорема 77 (необходнмое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции). Если функция у=((х) имеет в томке с вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке М(с, > (с) ), то. (а>(с) = О. Доказательство. Пусть, как выше, У вЂ” текущая ордина- та касательной У=1(с)+7'(с) (х — с), проходящей через точку графика М(с, 1(с)). Рассмотрим функцию Г(х) =)(х) — У=Цх) — 7(с) — 1'(с) (х — с), равную разности 7(х) и линейной функции Цс)+7'(с) (х — с). Эта функция Р(х), как и функция 1(х), имеет в точке с вто- рую производную (а потому имеет первую производную в некото- рой окрестности с, причем эта первая производная непрерывна в.

Характеристики

Список файлов книги