ilin1 (947407), страница 62
Текст из файла (страница 62)
5 9 5 гл. 5 установили, что производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию. Инымя словами, мы установили, что операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит иначе. Можно доказать, что интегралы ог некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут служить следующие: !а ~ е — Я'дх ) сов(ха) дх. 5е ) и!п(ха) йх 4. ((-"' (() ~ чь-1). ,! !пх 5". ! — дх (х~ О).
к к Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной. Указанные функции не только реально существуют", но и играют большую роль в различных вопросах физики. Так, например, интеграл !', называемый интегралом Пуассона или интегралом ошибок„широко использу. ется в статистической физике, в теории теплопроводности и диффузии, интегралы 2' и 3', называемые интегралами Френеля, широко применяются в оптике. Часто встречаются в приложениях и интегралы 4' — 6', первый из которых называется интегральным логарифмом, а последние два — интегральными косинусом и синусом, Для всех перечисленных новых функций (интеграла Пуассона, интегралов Френеля, интегрального логарифма, синуса и косинуса) составлены таблицы и графики. Ввиду важности для приложений эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции.
Вообще, следует подчеркнуть условность понятия простейшей элементарной функции. * Мы уже отмечали, что в й 4 гл. 9 будет доказано существование неопределенного интеграла от любой непрерывной функции. Существование интегралов !' — б' обеспечивается непрерывностью подынтегральнык функций. 297 Е 2. Основные методы интегрирования $2. ОСНОВНЫЕ ПЕТРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1.
Интегрирование заменой переменной (подстановкой). Замена переменной — один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот прием базируется на следующем элементарном утверждении. ПУсть функция т=гр(х) определена и дифференцируема на множестве (х), представляющем собой либо интервал, либо открытую полупрямую, либо бесконечную прямую, и пусть символ (т) обозначает множество всех значений этой функции, Пусть, далее, для функции дЯ существует на множестве (1) первообразная функция 6((), т.
е. ] а (1) Ш = 6 (1) + С. (8.3) Тогда всюду на множестве (х) для функции в[ер(х)]~р'(х) существует первообразная функция, равная 6[~р(х)], т. е. ~й[р(х)] р (х) йх=6[р(х)]+ С. Для д о к а з а т е л ь с т в а этого утверждения достаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции е — (6 [ер (х)]) == 6' [ер (х)] ~р' (х) (8.4) * Сн.
л. 1 $ 3 гл. З. и учесть, что по определению первообразной 6'(1) =й(1). Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл ] )(х)ах. (8.5) В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию 1=~р(х), что имеет место равенство )(х) =д[ер(х)]<р'(х), (8.6) причем функция д(1) легко интегрируется, т. е. интеграл ] д(1)й =6(1)+С просто вычисляется.
Доказанное выше утверждение позволяет нам написать следующую формулу для интеграла (8.5): ] 7(х)йх=6[<р(х)]+С. Этот прием вычисления интеграла (8.5) и называется интегрированием путем замены переменной. Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подста- 298 Гл. 8, Первообравная функция и неопределенный интеграл новки в значительной мере определяется искусством вычислителя. Приведем ряд примеров, иллюстрирующих только что изложенный метод.
1'. Вычислить 1'з(пЗхс(х. Для вычисления этого интеграла следует сделать простейшую подстановку г=Зх, Ж=Зс(х. В результате этой замены получим зш Зхс(х= — з1п1г(г= — — сват+ С= — сов Зх+ С. Г 1 1 1 3 З 8 3 о Г дх 2, Вычислить ~ . Этот интеграл вычисляется посред,) х+а ством замены $=х+а, Ж=г(х. При этом получим — = ~ — = 1п(11 + С = 1п)х+ а ) + С (х ~ — а). Еа' Г ЕГ 3'. Вычислить ) есовхз1пхс(х. Легко видеть, что этот интеграл вычисляется путем замены 1=сои х. В самом деле, при этом с(1= — з(п хе(х и 1е"в' 81пхдх= — ~ е'г(г= — е'+ С= — е + С. (агс 19 х)гег 4'. Вычислить с(х.
Для вычисления этого иитег- 1+ х' рала удобна замена 1=агс(их. В самом деле, при такой замене 1+ хв,3 1+ хв,) 101 101 6'. Вычислить интеграл 1=1(бх — 6)'оввс(х. Конечно, раскрывая подынтегральную функцию по формуле бинома Ньютона, мы можем свести этот интеграл к сумме тысячи девятисот восьмидесяти пяти табличных интегралов. Но гораздо проще сделать замену переменной 1=5х — 6, Ж=бггх, в результате которой мы получим, что у 1 ( таввв с(1 Нмв 1 С (ак ОР 5 3 9925 9928 а Г ах 6 . Вычислить ~ .
Чтобы усмотреть ту замену, посредсов х ством которой может быть взят этот интеграл, перепишем его в виде Их ~ совках ~ совках сов х сов х 1 — 51пех После этого понятно, что следует положить 1=з(их, И=сои хггх. $2. Основные методы интегрирования В результате получим — = — )п~ — ~+С=)п ~(б ( х + — ")~+ С, хв ах 7'. Вычислить интеграл ~ .
Для вычисления этого (Зх]ге + 1 интеграла удобна замена 1=(Зх)е, г(1=4874хЧх. В результате указанной замены получим Ь 1 (' аг ягс !я Г+ С ягс 13 (Зх)е (Зх)ге -1- 1 4374,) Ге+ 1 4374 4374 8. Вычислить ! в, . Для вычисления этого интеграо Г ах ,) (х' + аг)вм ла оказывается удобной тригонометрическая подстановка = агс!8 —, х=а!д1, г(х=а —, х аг а сгея Г В результате этой подстановки интеграл принимает вид 1- ° =1 нх ! Г = — 1 и~=- — +С= миг (х'+ае) Г ае ая +С= +С. ае тг1+!нет а' Р'хе+а' о ах 9. Вычислить' ~,, Здесь оказывается удобной под(ае хя)зге ' становка 1= — агсвш —, х=ав1п1, г(х=-асов!г!С При этом а 1 и!и! г — еет юг ~ /а+х 10.
Вычислить ~ ~~ — ах. Для вычисления этого интега — х рала оказывается удобной замена 2! = агс сов —. х=а соз 21, а г)х = — 2а 3!и 2! Ж Мы получим ~-2! '+х / а+х -47 а+ г(х= — 4а)сов'г'ггг= — 4а ! ( — + — сов 2!) г(1= у а — х ,),)(2 2 = — 2а! — 2а~соа 2!с!1= — 2гг! — ав!и 2!+ С= = — а [агс сов — + ~/ 1 — ~ — ) ~ + С. зйо Гл З.
Периообразнаи функция и неопределенный интеграл (8.8) 3 а и е ч а н и е. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют записать формулу (8.8) в виде и сЬ = и (х) о (х) — ~ о йи. (8.9) Для доказательства сформулированного утверждения запишем формулу для производной произведения функций и(х) и о(х) (и(х) о(х) )'=и(х) о'(х) +и'(х) о (х), (8.10) Умножим равенство (8.10) на с(х и возьмем интеграл от обеих частей полученного таким путем равенства. Так как по условию для всех х из множества (х) существует 1о (х) и'(х) с(х и ",(и(х)о(х))'дх=и(х)о(х)+С (см. свойство 2' нз п. 3 $1), то для всех х нз множества (х) существует и интеграл )и(х) о'(х)с(х, причем справедлива формула (8.8) (или (8.9)).
Формула (8.9) сводит вопрос о вычислении интеграла !ис(о к вычислению интеграла ) ос(и. В ряде конкретных случаев этот последний интеграл без труда вычисляется. Вычисление интеграла 1иг(о посредством применения формулы (8.9) н называют интегрированием по частям. Заметим, что при конкретном применении формулы интегрирования по частям (8.9) очень удобно пользоваться таблицей дифференциалов, выписанной нами в п. 6 $ 4 гл. 5. Переходим к рассмотрению примеров. 1'.
Вычислим интеграл Т=1хл!п х с(х (пФ вЂ” 1). и=1п х, до=хМх и используя формулу (8.9), получим л+1 о= —, л+1 „л+! х" +! 1 !'= — !их — — ~ х" дх= — (1пх — — 1 и+! и+1 л+1(, и+1/ Полагая лх г1и = —. х 2'. Вычислим, далее, интеграл 1=1хагс1дхг(х. Полагая и= =агс1их, до=хдх и используя формулу (8,9), будем иметь 2. Интегрирование по частям. К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по час.
тям. Этот метод основывается иа следующем утверждении. Пусть каждая из функций и(х) и о(х) дифференцируема на множестве (х) и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции о(х)и'(х). Тогда на ' множестве (х) существует первообразная и для функции и(х)о'(х), причем справедлива формула ) и(х)о' (х)дх=-и(х)о(х) — ) о(х) и'(х)Ых. зо! $2. Основные методы ннтегрнроввннн 1+хе 2 хт 1 Г хе х* 1 Р [(! + х*) — Ц с!х х = — агс 1дх — — ! — йх= — агс1их — ~ 2 2,) 1+хе 2 2,) 1+хе хе 1 Е ! Г ах хе+1 х = — агс 1д х — 1 йх+ — 1 — = агс 1их — — + С.
2 2,) 2,~! +хе 2 2 3', Вычислим интеграл е'=)хтсов хдх. Сначала применим фор- мулу (8.9), полагая и=х', е(о=сов хйх. Получим с(И=2хах, О = 5!и х, 1=х' 5(п х — 2)х 51п х йх. Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (8.9), полагая на этот раз и=х, с(О=51п хе(х. Получим е(и=с(х, О= — сов х, ! =х 5!их+ + 2х сов х — 25 сов хйх= (хт — 2) яп х+ 2х сов х+ С.
Таким образом, интеграл )хтсовхйх вычислен нами посред- ством двукратного интегрирования по частям. Легко понять, что интеграл 1х" сов хйх (где и — любое целое положительное чис- ло) может быть вычислен по аналогичной схеме посредством п-кратного интегрирования по частям. 4'. Вычислим теперь интеграл 1=)е'х сов Ьхйх (а=сопв1, Ь=сопв(). Сначала применим формулу (8.9), полагая и=е'", С!О=СОВ ЬХйХ. ПОЛУЧИМ йи=аг"хйх, О= —, в!и Ьх Ь е'» х!п Ьх а — ! евхв1пЬХ йх. Ь Ь Для вычисления последнего интеграла еще раз применим форму- лу (8.9), полагая на этот раз и=е", йо=в(п Ьхс(х.
Получим йи=-агехйХ, О= — —, сов Ьх Ь l = + — евхсовьх — — !'. еа" Мп Ьх а ат Ь Ьв Ьт (8.1 1) Таким образом, посредством двукратного интегрирования 7 по частям мы получим для интеграла 1 уравнение первого порядка (8.11). Из этого уравнения находим ' 1 асыЬх+Ьв!ПЬх Е" ат+ Ье .Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы: 1) К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций; 1пх, агсв(их, агссовх, агс1дх, (агс1пх)т, (агс сов х)е, 1пср(х), ... — прн условии„что оставшаяся часть по- 302 Гл. 8. Первообразиая функция и неопределенный интеграл дынтегральной функции представляет собой производную извест- ной функции (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
