ilin1 (947407), страница 66
Текст из файла (страница 66)
При этом мы используем утверждение, сформулированное в сноске**» иа с. 308. й 3 Классы фуякций, интегрируемых в элементарных функциях 311 Решая эту систему, найдем В=З, М>=О, 1(г>=2, Ма=1, Фа=О. Окончательно получим Зхл+ 2хз+ Зха 1 3 2 х (х — 2) (х'+ 1)' х — 2 х' -1- 1 (хэ -1- 1)а (8.60Р 3'. Метод неопределенных коэффициентов, как видно из рассмотренных примеров, является довольно громоздким.
Естественно поэтому в тех случаях, когда это возможно, найти другой, более простой метод отыскания коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших. Пусть знамена- Р (х) тель Я(х) правильной рациональной дроби — ' имеет вешесте() венное число а корнем кратности а. Тогда. среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь †, будет фигу- Р (х) Е(х) '. рировать дробь (8.61) (х — а)а Укажем совсем простой метод вычисления коэффициента А при этой'простейшей дроби.
Привлекая лемму 1 и формулу (8.36), мы убедимся в том, что коэффициент А равен А=- (, где ф(х)= Я (а) а)а ' Мы приходим к следую>цему правилу: для вгячисления коэффициента А при простейшей дроби (8.51), соответствующей вещественному корню а многочлена (')(х) кратности а, следует вычеркнуть в знаменателе дроби — скобку (х — а)" и в оставшемся выраже- Р (х) е() нии положить х= а. Указанный прием нахождения коэффициента А обычно называют методом вычер к и в а ни я. Отметим, что этот прием применим лишьдля вычисления коэффициентов прп старших сгепенлк простейших дробей, соответствующих вещественным корнял! Я(х).
Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель Я(х) имеет лишь однократные вещественные корни, т. е. когда Я(х) = (х — а>) (х — аэ) ... (х — а„). Тогда, как мы знаем, справедливо рвало>кение Р (х) Аэ Аа Аь Аа + +...+ +...+ Я(х) х — а, х — аа ' х — аа х — аа все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента Аа следует вычерк- Р (х) путь в знаменателе дроби — скобку (х — а„) н в оставшемся О (х) выражении положить х=-аа. З!8 Гл.
8. Перзоабразная функция н неопределенный натеграл Пример. Найти разложение дроби х+1 (х — 1) х (к — 2) (8.52) Согласно теореме 8.4 пишем: х+1 Аз Аа Аз (х — 1)х(х — 2) х — 1 х х — 2 Для отыскания А! вычеркиваем в выражении (8.52) скобку (х — 1) и в оставшемся выражении берем х=1, Получим А,= — 2. Лнало- 1 гично находим А,= —, Аз=3/2. 2 Окончательно получим — з (к — !) х (х — 2) х — ! 2х 2 (х — 2) (8.53) 5. Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функ,циях. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы в общем виде решить проблему об интегрировании рациональной дроби с вещественными коэффициентами. Прежде всего отметим, что зта проблема сводится к проблеме интегрирования только правильной рациональной дроби, ибо всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель «столбиком») представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной .дроби.
П р и и е р. = (х' — 2х) +, ибо ' ка — ха+1 з 4х-1-1 к'+ х+ 2 ха+ к+ 2 ха — хз+ 1 ! х'+х+2 ха+к + 2х х' — 2х — 2х" — 2хз+ 1 — 2хз — 2х' — 4х остаток 1+ 4х Интегрировать многочлен мы умеем (напомним, что неопределенный интеграл от многочлена представляет собой некоторый многочлен степени, на единицу более высокой). Остается научиться интегрировать правильную рациональную дробь. В силу теоремы 8.4 проблема интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следующих «етырех типов: 1. —; П.; П[.; 17. + . (8.54)' к — Ь (х — Ь)а хз -~- як+ Ч (ха+ рх+ д) Здесь 8=2, 3, ...; ) =2, 3,...; В, М, У, Ь, р, д — некоторые веще- 4 3, Классы функций, интегрируемых и алеиентараых функциях 319' Для вычисления интеграла от дроби вида 111 представим квадратный трехчлен в виде х +рх+д =)х+ — ) +1д — ) и, учитыа 2) ~ 4 »а вая, что д — —,» О, введем в рассмотрение вещественную по- 4 стоянную а= + ~ х 4! —, р 4 будем иметь Сделав подстановку 1= х+ —.- ,) +» +4,) В+а =И вЂ” ".-"' ('-%1'"- = — 1п(!а+ ах)+ агс 18 — + С= 2 2а и х+— » = — 1п(х'+ рх+ д)+», агс18 +С.
(8.57)а Остается вычислить интеграл от дроби вида 1Ч. Используя введенные выше обозначения 1= х+», а — — н д — », будемс иметь ственные числа, причем трехчлен хес рх+д не имеет веществен- »а ных корней, т, е. д — — >О. 4 Докажем, что каждая из четырех указанных дробей интегрируема в элементарных функциях. Дроби вида ! и 11 элементарно интегрируются при помощи подстановки г=х — Ь. Мы получим = 1"= с(х= В ( — = В 1п1г1+С = В1п !и — Ь1+ С, (8.55) х — Ь,! дх = В ) — = — — „, + С = †., + С. В»аг В 1 — В ! ( — ь)а ,) !р (р — !1 ! р-' ' (8 — 1)'(~ — ь)р †' (8.56)~ 320 Гл. 8.
Первообразнак функция и неопределенный ивтеграх Мх+Н, ( 2 + Ах=( (ха+ рх+ д) ) (Р+ о')а Введем обозначения е(и+и) . ( е! (Р+а'),) (Р+от) =-1 ' ' "=.) Интересующий нас интеграл будет вычислен, если будут вычислены интегралы / и К,, Интеграл Г берется элементарно: 1 1 1 ! )= —— , +С=-— ,+С. (Х вЂ” 1) (и+па)ь ! (Х вЂ” !) (ха-1-рх+О)Х Интеграл К. вычислен нами в примере 6 в конце 3 2 настоящей главы, Там мы получили для этого интеграла рекуррентную формулу (3.!2), позволяющую последовательно вычислить К, для любого ).=2, 3, ..., опираясь па то, что ьу 1 К,=- ! = — агс (н — + С. ,! и+аз а а Итак, нами вычислены интегралы от всех четырех простейших дробей (8.54) и доказано„что каждый из этих интегралов представляет собой элементарную функцию *.
Тем самым мы приходим к следующей теореме, исчерпывающей проблему интегрирования рациональной дроби. Теорем а 8.5. Всякая рациональная дробь с вегцественнь!ми коэффициентами интегрируема в элементарньгх функциях. В заключение этого параграфа мы остановимся на примерах вычисления неопределенных интегралов от рациональных дробей. Вычислим неопределенные интегралы от трех дробей, рассмотренных в предыдущем параграфе, (8.49), (8.50) и (8.53)-. Пользуясь указанными тремя формулами, а также формулами (8.55)— (8.57), будем иметь: 2ха+4ха+х+2 ',) (х — 1)'(х +а+1) 2 (' 3 Йх+ ( т(х+ 5 (' г(х х †! .)(х — 1) ) * +х+! = 21п)х — 1 ( — — + = агс (и=+ С. 3 2 2х+1 х — ! Уй ' Точнее, выражается через логарифн, арктаагенс и рациональную функцию. $ 3.
Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 321 гЗха+2ха+Зха — 1 Г 3 Г 2йх Г хах , (х — 2)(ха+1)а,~ х — 2 „~ ха+ 1,) (ха+1)а 1 Гл(ха+1) =- 3 !п1х — 21+ 2агс !ух+ — ! 2 ,) (ха + 1)а 1 = 3(п1х — 21+ 2агс!нх — +С. 2(ха -1- !) 1 = — 2!п(х — 11+ — 1п (х1+ — !п(х — 2! + С. 3 2 2 6.
Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических и иррациональных выражений. В рассуждениях настоящего пункта важную роль будет играть р а и и о н и л ь н а я функция от двух аргументов. С определения такой функции и выяснения некоторых ее свойств и начнем наше изложение. Многочленом степени и от двух аргументов х и у называется выражение вида Р„(х, У) =ась+а!ох+во!У+ахея~+вихря аооУ~+ ... +аояУ", в котором через аоо, а!о, ..., ао, обозначены некоторые постоянные ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛа таКИЕ, Чта СРЕДИ ЧИСЕЛ аяО, а< П!, а! -2>2, ... ..., а,„есть хотя бы одно число, отличное от нуля. Рациональной функцией от двух аргументов х и у называется выражение вида й(х, у) = —" Е.(, е)' в котором через Р„(х, у) обозначен произвольный многочлен от двух аргументов х и у степени и, а через Я (х, у) обозначен произвольный многочлен от двух аргументов х н у степени т.
Справедливо следующее тривиальное у т в е р >к д е н и е: если )т'(х, у)' — рациональная функция' ог двух аргументов х и у, а )т!(!), )тя(!) и Юэ(!) — три произвольных рациональных функции от одной переменной 1*, то выражение вида )тЖ! (!), %2(!)))тэ(1) (8.58) представляет собой рациональную функцию от одной перел!енной. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что в результате применения к рациональным функциям одной пе- ' Под термином «рациональная функция от одной переменной !» мы понимаем рациональную дробь с вещественными коэффициентами от аргумента 11 Зак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
