ilin1 (947407), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В самом деле, кубичный трехчлен заведомо име- (8.68) * Эти названия происходят оттого, что впервые с этими интегралами встретилнсь при решении задачи о спрямлении эллипса (см, пример 4' п. б э 1 гл. 10). 828 Гл. 8. Первообразиая функция н неопределенный интеграл ет хотя бы один вещественный корень хз, а поэтому его можно представить в виде ахз+Ьхт+сх+г(=а(х — хо) (хз+рх+с)). Сделав подстановку х — хо=~уз, мы, как легко видеть, преобразуем интеграл (8.68) в (8.69).
Таким образом, нам достаточно рассмотреть лишь интеграл (8.69) . В силу п. 3 $ 3 многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами ах!+ Ь ха+ схз+ с(х+ е = а (хт+ рх+ д) (х'+ р'х+ Ч') . Всегда найдется некоторая линейная или дробно-линейная подстановка, уничтожающая у обоих квадратных трехчленов линейные члены. Сделав такую подстановку, мы с точностью до слагаемого, представляющего собой элементарную функцию, преобразуем интеграл (8.69) к виду )т (Р) вт Р А (1+лаз)(1 + ттз) где )т' — некоторая рациональная функция. Далее можно показать, что при любых комбинациях абсолютных значений и знаков постоянных А, т и и' может быть найдена замена, сводящая интеграл (8.70) к так называемому каноническому ин- тегралу (8.70) (8.71) в котором через к обозначена постоянная, удовлетворяющая условию 0<й<1.
Любой канонический интеграл (8.71) с точностью до слагаемого, представляющего собой элементарную функцию, может быть приведен к следующим трем стандартным интегралам: с(з (' ззог )г(1 — зз)(1 — йззз) ' ) )/(! — зз)(! — йззз) (8.72) ' Жозеф Лиувилль — французский математик (1809 — 1882). О +М) 'О~)~— (0<й< Ц.
Интегралы (8.72) принято называть эллиптическими интеграла а м и соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода. Каждый из этих интегралов, как показано Лиувиллем ', представляет собой иеэлементарную функцию. Эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода содержат только один параметр, принимающий вещественные значения из интервала 0<8<1, а эллиптический инте- $ 4. Эллиптические интегралы 329 (8.74) * Андриан Мари Лежандр — французский математик (1752 — 1888).
грал 3-го рода, кроме того, содержит параметр Ь, который может принимать и комплексные значения. Лежандр * подверг интегралы (8.72) дальнейшему упрощению, сделав замену а=вйтф(0~~ф~( — ) С помощью этой 2 / замены первый из интегралов (8.72) преобразуется к виду 1 — ка а!пз т (8.73) При этой же замене второй из интегралов (8.73) с точностью до постоянного множителя равен разности интеграла (8.73) и следующего интеграла: ~ У1 — й'анзаур тйр. Третий из интегралов (8.72) преобразуется к виду (1+ йа(п' ~р) )'1 — йаа(па <р (8.75) Интегралы (8.73), (8.74) и (8.75).
принято называть эл л иптическими интеграл а ми соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода в форме Лежандра. Особенно важную роль и приложениях играют интегралы (8.73) и (8.74). Если считать, что оба этн интеграла обращаются в нуль при гр=0, то получатся две вполне определенные функции, которые обычно обозначают символами Р(й, ф) и Е(й, ф). Для этих функций составлены обширные таблицы и графики. Лежандром и другими математиками изучены свойства этих функций, для ннх установлен ряд формул. Наряду с элементарными функциями функции Е и Р прочно вошли в семейство функций, часто используемых в анализе. Здесь еще раз стоит отметить условность понятия элементарной функции.
Вместе с тем следует подчеркнуть, что задачи интегрального исчисления вовсе не ограничиваются изучением функций, интегрируемых в элементарных функциях. Глава 9 ОНРЕДЕЛЕННЪ|И ИНТЕГРАЛ РИМАНА Во вводной главе было показано, что к понятию определенного интеграла приводят такие важные задачи естествознания, как задача о вычислении площади криволинейной трапеции и задача об определении пути, пройденного материальной точкой, двигающейся со скоростью 1(х) за промежуток времени от х=а до х=Ь. Целью данной главы является построение строгой теории определенного интеграла Римана. 5 Ь ОНРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА.
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ Рассмотрим функцию [(х), определенную в каждой точке сегмента [а, Ь). Введем понятия разбиения сегмента [а, Ь), измельч е н и я этого разбиения и объединения двух разбиений. Определение '|. Будем говорить, что задано разбиение сегмента [а, Ь), если заданы точки хь, хь ..., х„такие, что а= =хь<х1« ...х„|<х =Ь. Разбиение сегмента [а, Ь) будем в даль нейшем обозначать символом (х»).
О п редел е н не 2. Разбиение (х»') сегмента [а, Ь] называется из»1 ель чением разбиения (х») того же сегмента, если каждая ~очка х» разбиения (х») совладает с одной из точек х«' разбиения (х» ). Определение 3. Разбиение (х») сегмента [а, Ь) называется объ ед и не и и ем разбиений (х»') и (х»") того же сег»1ента, если все точки разбиений (х»') и (х»") являются точками разбиения (х») и других точек разбиение (х») не содержит. Заметим, что объединение двух разбиений является измельчением каждого из ннх, Рассмотрим на сегменте [а, Ь) функцию 1(х), принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению (х») построим число, так называемую «и н т е г р а л ь н у ю с у м м у», с'(хы ьч»)='5' ~(я»)(х» — х»»), где $» — некоторая точка сегмента ° ° »са [х, ь х»).
Подчеркнем, что интегральная сумма о(хм $») зависит как от разбиения (х»), так и от выбора точек ч» на сегментах 1х» ь х»). Если обозначить через Ах» разность х» — х, ь то инте- й 1. Определение интеграла. Интегрируемость гральную сумму, в дальнейшем часто обозначаемую просто через а, можно записать и так: » а=~(К») сгх», Цен 1х»», х»]. »-1 Сегменты (х» ь х») иногда называют частичными сегментаа м и, а точки $» — промежуточными точка м и.
Число й = гпах 1»х * договоримся называть д и а м е т р о м р а з; ~ч»к» б и е н и я (х»). Введем фундаментальные понятия предела интегральных сумм и ннтегрируемости функции по Риману. Определение 4, Число 1 называется пределом интеграла л ь н ых сумм а(хм ч») при стремлении диаметра й разбиений (х») к нулю, если для всякого е>О существует такое число б=б(е) >О, что из условия й<е при любом выборе промежуточньис точек К» следует неравенство 11 — а~ <е. Легко убедиться в том, что может существовать только один предел интегральных сумм о при й- О. Для обозначения предела интегральных сумм употребляют символ 1=11пг о(х», $»).
л- о Определение 5. Функция 1(х) называется интегрируем ой по Р им а н у на сегменте (а, Ь), если для этой функции на указанном сегменте существует предел 1 ее интегральных сумм о при стремлении диаметра й разбиений (х») к нулю. Число! называется определенным интегралом Рим а н а от функции 1(х) в пределах от а до Ь и обозначается симь волом ~ 1(х) йх. ь Таким образом, по определению ) г(х) йх=!1ша(х», $»).
Отмел-»е » тим, что число а называют н и ж н и м п р е де л о м интегрирования, а число Ь вЂ” в е р х н и м п р е д е л о м интегрирования. Переменную х под знаком определенного интеграла можно заменить на любую другую переменную, т. е. справедливы равенства ь в ь ) 1(х) йх= )11(у) йу = ~1(1) й1 и т. д. » а а Выясним геометрический смысл интегральной суммы. Рассмотрим криволинейную трапецию, т. е.
фигуру, ограниченную графи- " Т, е. длину наибольшего частичною сегмента. Гл. 9. Определенный интеграл Римана ком непрерывной неотрицательной функции у=[(х), заданной на сегменте [а, Ь], двумя прямыми х=а и х=Ь, перпендикулярными к оси абсцисс, и сегментом [а, Ь] оси абсцисс (рис. 9.1). Очевидно, интегральная сумма о(ха, $а), отвечающая у =т)х1 выбранному разбиению (хе) и данному обозначенному на рисунке выбору точек $ь, представляет собой площадь стуле.) ~% пенчатой фигуры, заштрихованной на этом 'рисунке. д хо41%4ха Ьлха б, х, х В следующей главе будет сформулировано понятие площади произвольной плоской фигуры и установлено, что предел при с(-ь-О площади указанной сту, пенчатой фигуры равен площади криволинейной трапеции. Приведем простейший пример интегрируемой по Риману функции.
Покажем, что функция [(х) =с=сопз1 интегрируема на любом ь сегменте [а, Ь], причем ) се(х=с(Ь вЂ” а). Действительно, при любом а разбиении (ха) и любом выборе точек $а на сегментах [ха-ь ха] спРаведливо Равенство 1(йе) =с. Следовательно, о(хм еа) =сйх,+сбха+ ... +сбх„= = с (йх, +Ах,+ ... + Лх„) = с(Ь вЂ” а) для любого разбиения [хе) и любого выбора точек йде4хь ь ха]. Поэтому ь сс(х=11шв(хь, $,) =1ппс(Ь вЂ” а).=с(Ь вЂ” а).
ло ао Докажем следующее Утвержден и е. Если функция 1'(х) не является ограниченной на сегменте [а, Ь], то эта функция не интегрируена на этом сегменте. Пусть [(х) не ограничена на [а, Ь]. Покажем, что для любого разбиения (ха) интегральную сумму а(хм $а) можно сделать сколь угодно большой по абсолютной величине только за счет выбора промежуточных точек йа. В самом деле, если функция [(х) неограннчена на сегменте [а, Ь], а сегмент [а, Ь] разбит на конечное число сегментов [хе ь хь], то функция 1(х) будет неограниченной хотя бы на одном частичном сегменте разбиения. Не нарушая общности, будем считать, что [(х) не ограничена на сегменте [хо, х|]. На $ Н Определение интеграла. Иитегрируемость ззз остальных сегментах [хь ха], [ха, ха], ..., [х„ь х„] промежуточные точки $ь $„..., $„выберем произвольными н фиксируем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
