ilin1 (947407), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Для указанного е, согласно определению числа 1", найдется такое разбиение (хн') сегмента [а, Ь[, что для соответствующей верхней суммы 5' будет выполнено неравенство 5'<!*+а/2. Точна так же можно указать такое разбиение (хе") сегмента [а, Ь[, что для соответствующей нижней суммы з" будет выполнено неравенство з">!.— е!2. Вычтем второе неравенство из первого. Получим 5' — з" <1* — 1.+е. Но 1* — 1.= — з, поэтому 5' — з",<О, т. е.
з" >5'. Получившееся неравенство противоречит утверждению. леммы 4. Таким образом, доказываемое утверждение справедливо, т. е. 1.<1'. Пусть М =зпр!(х), и =- [п1!(х), а (хе) — произвольна[а,Ы ке[а,Ы ное разбиение сегмента [а, Ь[, й — диаметр этого разбиения. Обозначим через (хе') разбиение, полученное из разбиения (хк) путем.
добавления к нему 1 произвольных новых точек. Пусть 5 и з— верхняя и нижняя суммы разбиения (хе), а 5' и з' — верхняя и нижняя суммы разбиения (хе'). Справедливо следующее утверждение. Гл. 9. Определенный интеграл Римана Лемма 6. Для разностей 5 — 5' и з' — з выполняются следующие неравенства: 5 — 5'((М вЂ” т)Ы, з' — з((М вЂ” т)Ы. Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем провести рассуждения лишь для случая, когда к точкам разбиения (х») добавляется только одна новая точка х, и доказать, что а этом случае справедливы неравенства 5 — 5'((М вЂ” т)й, з' — з( ((М вЂ” т) а.
Пусть вновь добавляемая точка х лежит внутри сегмента [х» ь х»]. Тогда верхняя сумма 5 будет отличаться от верхней суммы 5' только тем, что одно слагаемое М»Ах» у суммы 5 заменится двумя слагаемыми М»'(х — х» [)+М»л(х» — х) у суммы 5' (здесь через Ма, М»' и М»" обозначены точные верхние грани у(х) на сегментах [х» ь х»], [хг, ь х] и [а, х»] соответственно). Все остальные слагаемые у верхних сумм 5 и 5' будут общи:ми. Отсюда следует, что 5 — 5'= М»бх» — [М»'(х — х»-[) +М»" (х» — х) ] . Из последнего соотношения, учитывая, что в силу свойств точных »граней ' М»(М, т -М»; т~М»", получим, что 5 — 5'(МАх» — т [(х — ха [) +(х» — х)] = (М вЂ” т) Ах» -(М вЂ” т)й. Доказательство оценки для нижних сумм аналогично.
Лемма доказана. Определение 3. Число А называется пределом верх'них сумм 5 при сгрелглении к нулю диаметра разбиений с[, если для любого положительного числа г можно указать положительное число б такое, что при условии с[<6 выполняется неравен. ,ство !5 — А[(е. Для обозначения указанного предела естественно употреблять символ А=1йп 5.
л. о Аналогично определяется предел В нижних сумма при ,стремлении й к нулю. Основная лемма Дарбу. Верхний интеграл Дарбу 1 является пределом верхних сумм 5 при стремлении диаметра й разбиений к нулю, т. е. 1'=1пп5. Аналогично г',=1[газ. г- о * л-.о Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство первого утверждения леммы. Заметим, что если функция [(х) =с=сопз1, то 5=с(б — а) =1* для любого разбиения. Поэтому 1пп5=!'. Если л о функция [(х) непостоянна, то М=зпр[(х)) т= [п1['(х). Фиксируще,ь) хе[а,ь) ем произвольное положительное число е.
По определению числа Х* существует такое разбиение (х»'), что верхняя сумма 5* этого ь Если т»' н гл»п — точные нижние грани [(х) на сегментах (х» ь х) н '[х, х»1 соответственно, то, поскольку т»'(М» т»"еьМ»" н гл<т»', хп(т»', мы получили, что ы(М»й лг(М»". й 3, Классы интегрируемых функций 339' разбиения будет удовлетворять условию 5* — 1*<е/2. Обозначим: через 1 число точек разбиения (ха*), не совпадающих с концамн сегмента [а, Ь].
Пусть (ха) — произвольное разбиение сегмента [а, Ь], диаметр которого удовлетворяет неравенству д<б=е/[21(М вЂ” га)], и пусть, 5 — верхняя сумма этого разбиения. Произведем измельченне разбиения (ха), добавив к нему отмеченные выше / точек разбиения (ха*). Полученное при этом разбиение обозначим символом (ха'). По лемме б верхняя сумма 5' этого последнего разбиени(в удовлетворяет условию 0.=5 — 5'< (М вЂ” вх) /д < е/2, Но разбиение (х„') можно рассматривать как измельчение разбиения (ха*), к которому добавляются точки разбиения (ха), не совпадающие с концами сегмента [а, Ь].
Поэтому в силу определения~ 1" н леммы 3 1'<5'<5*, т. е. 0<5' — 1*<5* — 1". Выше было показано, что 5" — 1*<е/2, поэтому 0<5' — 1*<в/2.. Объединяя эти неравенства с установленными выше неравенствами 0<5 — 5'<е/2, получаем, что 0<5 — 1 <е, если только д меньше указанного выше 6. Следовательно, 1'=1!т5. Для нижних.
г о сумм доказательство аналогично. Основная лемма Дарбу доказана. $3. ТЕОРЕМЫ О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ. КЛАССЪ| ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ Доказанные выше утверждения о свойствах верхних и нижних: сумм позволяют нам установить необходимые и достаточные условия интегрируемости по Риману произвольной ограниченной. функции.
1. Необходимые н достаточные условия интегрируемости. В с п о м о г а т ел ь н а я т е о р е м а. Для того чтобы ограниченная на сегменте [а, Ь] функция /|х) была интегрируел|а на этол| сегменте, необходил|о и достаточно, чтобы выполнялось равенство* 1* Доказательство. Необходимость. Пусть функция /(х) интегрируема по Рнману на сегменте [а, Ь]. Тогда существует предел 1 ее интегральных сумм о при стремлении диаметра с( разбиений к нулю. По определению предела интегральных сумм для любого е>0~ существует такое 6>0, что для любого выбора промежуточных точек йа разбиения (ха) с диаметром с(<6 выполняется неравенство ] 1 — о (хы $а) ] <е/4.
Гл. 9. Определенный интеграл Римана Согласно лемме 2 для данного разбиения (ха) можно так выбрать промежуточные точки $а' и $а» в каждом частичном сегменте [х, ь ха], что будут справедливы неравенства 5 — о(ха, йа') <е/4, о(ха, $аа) — з<е/4. Подчеркнем, что, кроме того, для данного разбиения (ха) одновременно выполнены неравенства ]1 — о(ха, йа') ! <е/4, )1 — о(ха, Каа) [<е/4. Заметим теперь, что 5 — з= [5 — о(ха, $а')]+ [о(хм йа') — 1]+ [1 — с'(хм $а")]+ + [о(ха, ~ач) — з]. Отсюда, учитывая, что модуль суммы четырех величин не превосходит суммы их модулей, получаем, что 5 — а<е. Итак, для любого е>0 существует такое 6>0, что для любого разбиения с диаметром т(<6 справедливо неравенство 5 — з<е.
Поскольку для любого разбиения выполнены неравенства и(!„(1 (5, -то из неравенства 5 — з<е вытекает, что 0(1а — 1„<е, а отсюда .в силу произвольности е>0 вытекает, что! =1 . * Достаточность. Пусть 1*=1.=А. Согласно основной лемме Дарбу !'=11ш5, 1„-1ппз, т. е. верхний интеграл является ла " ла пределом верхних сумм, а нижний интеграл — пределом нижних сумм при стремлении диаметра д разбиений к нулю.
Поэтому для любого е>0 можно указать такое число 6>0, что для любого разбиения с диаметром т!<6 одновременно выполняются неравенства 1.— з=А — з<е, 5 — 1'=5 — А<е. При любом указанном разбиении любая интегральная сумма о(ха, $а) удовлетворяет неравенствам з<о(хм йа)<5, а значит, и неравенствам А — а<в(о(хм йа) <5<А+а.
Отсюда ~ А — о(ха, $а) ] <е (для любого разбиения с диаметром .д, меньшим 6). Таким образом, А=!ппо(х,, йа), т. е. функция /(х) интегри.руема. Докажем следующую теорему, имеющую важное значение в теории интеграла Римана. Основная теорема. Для того чтобы ограниченная на .сегменте [а, 6] функция /(х) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 на ~лось такое разбиение (ха) сегмента [а, 6], для которого 5 — з<е. Доказательство.
Необходимость. Пусть функция /(х) интегрируема на сегменте [а, 6]. При доказательстве необходимости 341 $ 3. Классы интегрируемых функций вспомогательной теоремы установлено, что для любого е>0 существует такое 6>0, что для любого разбиения сегмента [а, Ь] с диаметром с[, меньшим 6, справедливо неравенство 5 — в<в. Необходимость доказана.
Достаточность. Дано, что для любого е>0 существует такое разбнние (хе) сегмента [а, Ь], что для соответствующих верхней и нижней сумм выполнено соотношение 5 — э<в. Тогда поскольку в~(/. (/*(5, то /* — /.<е. Из этого неравенства и из произвольности е заключаем, что /.=/", а по вспомогательной теореме получаем, что функция /(х) интегрируема. Теорема доказана. 2. Классы интегрируемых фуннций.
Выше в $1 настоящей главы мы видели, что функция /(х), постоянная на сегменте [а, Ь], интегрируема по Риману на этом сегменте, а также что интегрируемые на данном ссгменте функции обязаны быть ограниченными на этом сегменте. Естественно, возникает вопрос об описании классов функций, интегрируемых по Риману на сегменте [а, Ь). Среди этих классов важную роль играеткласс непрерывныхнасегменте [а, Ь) функций.
Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 9.1. Непрерывные на сегменте [а, Ь) функции интегрируемы на этом сегменте по Риману. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /(х) непрерывна на сегменте (о, Ь). Выберем произвольное число е>0. Поскольку функция /(х), будучи непрерывной на сегменте, является равномерно непрерывной' на нем, то для любого данного е>0 существует такое число 6>0, что если $' и йм — любые две точки сегмента [а, Ь], для которых [й' — Ел[<6, то [/(й') — /(йм) [<г/(Ь вЂ” а). Отсюда следует, что разность между точными верхней и нижней гранями /(х) на любом сегменте, имеющем длину, меньшую 6, будет меньше числа е/(Ь вЂ” а). Выберем теперь разбиение (хл) сегмента [а, Ь] с диаметром [1, меньшим указанного числа 6: [1<6. Пусть Ма= зпр/(х), те=1п1 /(х1. ли[хе х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
