ilin1 (947407), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(ее е) Так как, кроме того, в силу свойств б) и в) из п. 1 каждая из функций пад(х), Мйг(х) и [(х)у(х) интегрируема на [а, Ь), то оценка (еее) позволяет утверждать справедливость следующих неравенств: * ь ь ~ гпп (х) йх < ~ [ (х) д (х) йх < [ Му (х) дх $ 4. Свойства определенного интеграла Ь (1[х) я[х) ах т< <М.
Ь ( я(х) ![х е Для завершения доказательства формулы (е) остается обозначить символом )т число ь (1[а) д(х) ех ь ) л[х) ох Следствие. Сформулируем отдельно доказанную нами теорему для частного случая К(х) — = 1. Пусть функция 1(х) интггрируема на сегменте (и, Ь(, а символы М и т обозначают точные грани )(х) на укаэанном сегменте. Тогда найдется число р, удовлетворяющее неравенствам т()т( (М и такое, что справедлива формула ь ) Г(х)йх=р(Ь вЂ” а). а При дополнительном предположении о непрерьсвности ) (х) на (а, Ь( можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка $ такая, что справедлива формула ь ~Г(х) йх=)(К) (Ь вЂ” а).
а Последнюю формулу обычно также называют ф о р м у л о й среднего з на ч ения. е) Вторая формула среднего значения. Пусть функция 1(х) интегриругма, а функция д(х) монотонна на сегменте (а, Ь(, Тогда на этом сегменте найдется число $ такое, что' ь а ь ~ ( (х) д (х) йх = д (а) ~ ) (х) йх + д (Ь) ~ Г (х) йх. а а 2 Установим сначала следующий факт, которым мы восполь. зуемся ниже Лемма Абеля*. Пусть числа р; удовлетворяют условиям рт)ргъО при [ ), а числа Ят = Я дь (1=1 2, и)— ь=1 ' Нильс Генрих Абель — норвежский математик [1802 — 1829).
12 Зах. тх Гл. 9. Определенный интеграл Римана неравенствам т(Яе(М„где д», т, М также некоторые числа. л Тогда тра<Я РИ»<МР!. й=! Дока з а тельство. Легко проверить, что ~, мй='~ Рйб — ~ -д=~ З (р» — Рй+д где положено Бе=О, р +!=О. Так как р»>0, р» — Р»+!~0, то, заменив в последнем равенстве каждое 5! сначала на т, а затем иа М„получим а л и т') (р,— рй+д~(Я рйд» «М~ (р,— рй!.д, й=! й-1 й=! но ~~ (Рй — Р»+д=р,— Рл+! = Р,. й=! Таким образом, лемма доказана.
Установим теперь вторую формулу среднег о з н а ч е н и я. Допустим, что функция Р(х) не возрастает нв [а, Ь) и иеотрицательна. Функция [(х)й(х) интегрируема как произведение двух интегрируемых функций. Пусть М» и т»вЂ” точные грани ! (х) на частичных сегментах [хй !, х»). ' Тогда очевидно, что и л и Я тйп(хй д !йхй<~' Г(хй дйг(х~ дйхй < ~' Мййг(х~ дбх». й=! й —.! й=! В силу монотонности йг(х) справедлива оценка (Мй — тй) и (ха д Лхй < д (а) ~ (Мй — тй) Ьха.
В силу интегрируемости т(х) сумма в правой, а значит, и в левой части последнего неравенства стремится к нулю при стремлении диаметра с( разбиений к нулю. Следовательно, при любых числах ай таких, что т»<)йй(М», все суммы тйп (хй — д бхй, Я рйй!(ха д !й!хй, ~,.
Мед(х~ д Лхй й=! й=! й=! ь стремятся при е(-«0 к интегралу ~~(х)д(х)г!х. Это следует из И й 4. Свойства определенного интеграла двусторонней оценки для интегральной суммы функции )(х)а(х) *. По свойству д) настоящего пункта числа ры где т»([»» х» «М», можно выбрать так, чтобы ) ((х)дх=)»»Ьх». х» Заметим теперь, что функция г'(х)= ) )(()г(г непрерывна И на сегменте [а, (!), так как а+ »х Лг = г (х+ Лх) — г (х) = ( 1 (() г((=-)тлх, !и( )(г) ((» ( зпр ~(()„ ге[ах+ах) та[»,х+йх) и, следовательно, ЛР-эО при Лх-э.О.
с хг Рассмотрим следующие числа Зг= ~~ [г»Лх»= ~ 1(()'Й. »=1 а Ясно, что т(Зг(М, где т и М вЂ” точные грани функции г'(х) на сегменте [а, (!). Введем следующие обозначения: р»=а(х» !),, д»=)»»Лх». 1=1, 2, ..., а. В .силу монотонности и неотрицательности функции д(х) выполнимо р!)р)- О при г(1'. Числа р»„5», д» удовлетворяют условиям леммы Абеля. Поэтому л тд (а) ( ~' д (х»-!) )»»Ьх» ( Мд(а).
»-! Сумма Я д (х» !) (»»Лх» заключена между тд (а) и Мд (а). »=1 Устремим теперь диаметр д разбиений к нулю. Тогда и предел этой суммы будет заключен между тд(а) и Мп(а), т. е. будут справедливы. неравенства » тд(а) ( ) ~(х)у(х)с(х~(Мд(а). а " Т. е. ва неравенств Я лг»а(х» !)Лх» < ~~ ! (х» !)н(х» !) Лх» С ) М»н(х») Лх», Гл. 9. Определенный интеграл Римана Непрерывная функция Р (х) = ) 1 (() с(( принимает любое ч значение, заключенное между ее точными гранями гн и М. Так как ,[ 1(х) а (х) В т ( <Ма д (а) то существует точка $ такая, что э [ 1(х) е (х) Пх Р(~)=~[(()д(= ' е (а) а Следовательно, в случае, когда п(х) не возрастает и неотрица- тельна, доказана формула ь $ ~1(х)д(х)г(х=д(а) ) 1(Г) Й. а И Рассмотрим теперь общий случай невозрастающей функции р(х).
В этом случае функция й(х) =д(х) — д(Ь) не возрастает и неотрицательна. Подставив ее вместо п(х) в формулу, доказанную выше, получим, что ~ 1(х) [д(х) — й(Ь)1 г(х= [д(а) — д(Ь)[ ') ((х) с(х. Окончательно получаем равенство ь ь ) ( (х) д (х) г(х = д (а) ~ г (х) г(х + д (Ь) ) ) (х) г(х— И ч а ь — д (Ь) ) 1 (х) г)х = д (а) ~ Г (х) с(х + д (Ь) ) 1 (х) г(х, а а 4.
что и требовалось доказать *. Рассмотрим примеры на применение оценок для интегралов. П р и м е р ы. 1) Рассмотрим функцию )' х", хек(0, 11, [1, х=О. Этв функция )(х) непрерывна на сегменте [0,1). Легко убедиться ' Если к(х) не убывает, то заменой иг(х) = — е(х) сводим этот случай н уже рассмотренному. Зоу й 5. Первооораанаи непрерывной функции с помощью вычисления производной, что эта функция достигает локального минимума при хо=1/е. При этом /(1/е) е е — 'й; и это значение является ее наименьшим значением на сегменте [О,1]. Используя свойство б) настоящего пункта, получим, что е-'/е< ! <~хМх<1,а для числа е ьв легко получить, что н-Не=0892....
Заметим, что в этом случае 'значение интеграла нельзя определить через значения элементарных функций. 2) Если функция /(х) не является непрерывной, то формула среднего значения (*а) может быть несправедливой. Рассмотрим функцию [ 1/2, 0 < х -:. 1/2, [ 3/4, 1/2 < х < 1. 1 Тогда ~ /(х)е(х=б/8. Значение 5/8 не принимается функцией /(х)' о ни в одной точке $ сегмента [0,1]. Следовательно, не существует 1 числа за [О, 1], для которого ] /(х) дх=/(й). о й 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ В предыдущих параграфах уже достаточно полно изучены свойства интеграла Римана.
В частности, было показано, что, пользуясь определением интеграла, можно вычислить интеграл от некоторых простейших функций. Однако такое вычисление интеграла с помощью предельного перехода в интегральных суммах обладает рядом неудобств и приводит к значительным трудностям. Поэтому на повестку дня встает вопрос о простых правилах вычисления определенного интеграла Римана.
Ниже нами будет дано одно из таких правил вычисления определенного интеграла, а именно будет доказана основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона — Лейбница). 1. Первообразная. Рассмотрим интсгрируемую на сегменте [а, Ь] функцию /(х). Пусть р принадлежит [а, Ь]. Тогда для любого х из [а, Ь] функция /(х) интегрируема на [р, х], и поэтому а на сегменте [а, Ь] определена функция г (х) = ~ /(г) г/Г, которая а называется интегралом с переменным верхи н м пределом.
Аналогично определяется функция Р(х) на интервале (а, Ь) при условии, что /(х) определена на интервале (а, Ь) и интегрируема на любом сегменте, принадлежащем этому интервалу. Гл. 9. Определенный интеграл Римана Теор е м а 9.5. Если функция 1(х) интегрируема на сегменте (а, 6), р — любая точка этого сегмента, то производная функции Е(х)=) г (1)й сУЩествУет в каждой точке хо непРеРывно- Р с т и подынтегральной функции, причем Е'(хо) =[(хо) '. Доказательство. В силу непрерывности функции 1(х) в точке хо для любого в>0 найдется такое б>0, что 1(хо) — е< <1(х)<1(хо)+е, если ~х — хо)<б.
Для всех 1 из (хо, х1 выполняется неравенство (( — хо(<(х — хо(<6. Поэтому для всех таких 1 Цхо) — е<[(1) <г (хо) +е. Согласно свойству д) п. 2 $4 (независимо от знака разности х — хо) получим из последних неравенств 1(хо) — еям — ~1(1)й<1(хо)+е при (х — хо( <б. 1 х — хо «з « 1 (Значение р= — 1[(Г)й не меняется при перестановке чих — хо,> «з сел х и хо, так как при этом одновременно меняется знак у вели« « чины х — хо и у интеграла ~~(1)й). Но ~ г'(Г)й= 1 х — хз «, «з р (х) — р (хо) следовательно, при ~(х — хо( <6 х — хо 1(хо) — е< ' <) (х,)+,е, х — х т.
е. г" (х) существует и равна 1(хо). Теорема доказана. Следствие. Любая непрерывная на сегменте [а, Ь'1 функция Г(х) имеет на этом сегменте первообразную. Одной из перво« образных является функция Р (х) = ) [(1) й. « Замечание 1. Теорема остается справедливой, если [('х) непрерывна на интервале (а, 6). В этом случае в качестве нижнего предела надлежит взять любую точку р этого интервала. Все рассуждения сохраняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
