ilin1 (947407), страница 76
Текст из файла (страница 76)
А. Ильина, Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», 11, с. 265 — 266. ДОПОЛНЕНИЕ 1 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Изученное в гл. 9 понятие определенного интеграла Римана существенно использовало два обстоятельства: 1) тот факт, что :промежуток [а, Ь[, по которому требуется произвести интегрирование, является конечным; 2) тот факт, что подынтегральная функция 1(х) является на рассматриваемом промежутке ограниченной. В настоящем дополнении будет дано обобщение понятия определенного интеграла Римана на два случая: 1) на случай, когда промежуток, по которому требуется произвести интегрирование, является бесконечным"; 2) на случай, когда подынтегральная функция 1'(х) является н е о г р а н н ч е н н о й в окрестности некоторых точек области интегрирования.
Возникающее прн таком обобщении понятие интеграла принято называть несобственным интегралом соответственно первого илн второго рода. * Т. е. представляет собой полупрямую или нею бесконечную прямую. Лспслиеиие 1. а 1 аъ 1. Несобственные интегралы первого рода 1. Понятие несобственного интеграла первого рода. Перенесем: понятие определенного интеграла на случай, когда область, по которой производится интегрирование, является бесконечной. На прямой — оо<х<+со существует три типа бесконечных связных.
замкнутых множеств: 1) полупрямая а<х<+оо; 2) полупрямая — со<х<Ь; 3) вся бесконечная прямая — со<х<+со. Ради определенности рассмотрим подробно первое из указанных множеств, т. е. полупрямую а -х<+со. Предположим, что функция Цх) определена на полупрямой а<х<+со и что для любого числа А, удовлетворяющего неравенству А)а, существует определенный интеграл Римана ( 7'(х) йх. а Этот определенный интеграл мы обозначим символом г (А) = 1 1 (х) ах.
а (9.1.1)" Естественно, возникает вопрос о существовании предела функции Р(А) при А — э-+со л Игп Р (А) =1пп ( ~ (х) йх. (9.1.2) л-в+ о л-~+ю ~ и Определение. Предел (9.1.2) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функг1ии 7(х) по полупрямой (а, +со) и обозначается символом +в ) 7'(х) йх. Ю (9,1.3) При этом говорят, что несобственный интеграл (9.1.3) сходится, и пишут равенство +о л ) 1 (х) с(х = ! !ш ') 1 (х) дх. и и Впрочем, символ (9.1.3) употребляют и в случае, если указанного выше предела (9.!.2) не существует, но в эхом случае говорят, что несобственный интеграл (9.1.3) расходится.
Совершенно аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой — ос<х=-.Ь и по всей бесконечной прямой: — с <х<+со, Гл. 9. Определенный интеграл Рныана 372 при н е з а в и с и м о м друг от друга стремлении А' к — со и А" к +пп Из этих определений следует, что если для некоторого вещественного чнсла а сходится каждый нз несобственных интегралов а + 1 (х) г(х и ) 1 (х) Ых, то сходится и несобственный интеграл а +с 1 1 (х) г(х, причем справедливо равенство +е а1 + Р ) 7(х) г(х=- ) 7(х) стх+ ) 1" (х)г(х. Заметим еще, что если сходится несобственный интеграл +Ы ~ 7(х)г(х а и Ь вЂ” любое число, превосходящее а, то сходится и +о +еа ь несобственный интеграл ) 1(х)г(х, причеьи ) 1(х)йх= ~~(х)ггх+ ь а а +О + ) 1(х) пх.
Это утверждение непосредственно вытекает из опреь деления сходнмости несобственного интеграла. Примеры. 1) Изучим вопрос о сходимости несобственного интеграла + Ь Поскольку функция 7(х)= при любом А>0 интегри- 1 1т х' руема на сегменте,[0, А1, причем для нее А г (А) = ~ — =-агс(бх(а =-агс1пА, ах л 1+ха и Перьвый из этих интегралов определяется как предел !Ьп ~1(х)а(х и обозначается символом ) 1'(х)т1х. л-т — а Ю Ю Что же касается интеграла ~ 1(х) Их„то он определяется как О предел л" 1пп ~ )(х)г(х Дополнение 1. Е ! 373 1(шР(А) =11щагс1иА = и/2. А~4- о Л-~+о +~ дх Поэтому несобственный интеграл сходится и для 1 + х' о +О дх я него справедливо равенство ,1 !+хо 2 о 2) Изучим вопрос о сходимости несобственного интеграла +~ о!х — где а и Л вЂ” произвольные вещественные числа, первое „х ' и из которых положительно (о)0). Так как функция /(х)=1/хх при любом А>0 интегрируема на сегменте 1а, А), причем А г их ох! х л Я! "— а! Р(А)=~ — "„= ~ — '~ =; при ЛФ1, х 1 — Л!а ! — Л а! то при Л>1 предел Р(А) при Ае-+аа существует и равен Л вЂ” 1 а прн Л«1 указанный предел не существует.
+О Таким образом, при Л>1 несобственный интеграл дх х а а !-х н равен —, а при Л«1 несобственный интеграл Л вЂ” 1 сходится ' Гл. 3, $4, п. 3. + Ф\ ах расходится. х и 2. Критерий Коши сходнмости несобственного интеграла первого рода.
Достаточные признаки сходимости. Вопрос о сходи- мости несобственного интеграла 1-го рода эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции Р(А) = ~/(х) о(х о при А-о.+оа. Как известно е, для существования предельного значения функции Е(А) при А-~-! аа необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого е)0 можно указать такое В)а, что для любых А! н Аи превосходящих /1, выполняется неравенство 374 Гл. 9. Определенный интеграл Римана ~ г" (А,) — с (А,) 3 = ~ ) 7 (х) йх ~ < е. л, Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1 (критерий Коши сходимости н е с о б с т в е н н о г о н н т е г р а л а). Для сходимости несобственного интеграла (9.1.3) необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 можно было указать такое В>а, что для любых А~ и Ае, превосходящих В, ! ~ 7" (х) йх ! < е. л, 3 а меч ание. Отметим, что из сходимости несобственного интеграла не вытекает даже ограниченность подынтегральной 4 функции. Например, интеграл ~1(х) йх, где функция 1(х) рав'е на нулю для всех нецелых х и равна п при х=п, где и — целое число, очевидно, сходится, хотя подынтегральная функция не ограничена. Поскольку критерий Коши мало удобен для практических применений, целесообразно указать различные достаточные признаки сходнмости несобственных интегралов. В дальнейшем мы все время будем считать, что функция Ц(х) задана на полупрямой а-ах<+ее и для любого А) а существует обычнььй интеграл ~ 1(х) йх.
а Докажем следующее утверждение. Утверждение 2 (общий признак сравнения). Пусть на полупрямой а<х<+ео ~~(х) 1.<д(х). (9.1А) -'га Тогда из сходимости интеграла ) у(х)йх вытекает сходимость а интеграла ~ 7'(х) йх. а ~ ~ д(х)йх ~ < г. л, (9.1.5) +СО До к аз а тельство, Пусть ) у(х)йх сходится.
Тогда, а согласно критерию Коши, для любого е>0 найдется такое В>а, что для любых А|>В и Ае>В выполняется неравенство л, 375 дополнение 1. $1 Согласно известным неравенствам для интегралов и неравенству А, л, Ле (91А) получим ~ ) /(х) йх ~ <)1/(х)1йх< ~у(х)дх. Отсюда и из Я~ А, л, неравенства (9.1.5) вытекает, что для любых А,>В и Ае>В спрал, ведливо неравенство ~ ) /(х) йх~ < е. Следовательно, интеграл ) /(х) йх сходится. е Утверждение 3 (частный признак сравнения). Пусть на полупрямой 0<а-ах<+ее функция /1х) удовлетворяет соотношению 1/(х) (~с/х', гдв с и 7. — постоянные, 7.>1. Тогда +~О интеграл ) /(х) йх сходится.
Если жв существует такая постое янная с>0, что на полупрлмой 0<а~:х<+ос справедлива со+а отношение /(х)ъ.с/хх, в котором 1~1, то интеграл ) /(х)йх Расходится. Утверждение этой теоремы вытекает из утверждения 2 и примера, рассмотренного в предыдущем пункте (достаточио положить й(х) =с/хх). Следствие (частный признак сравнения в и р е д е л ь н о й ф о р м е). Если при Х>1 существует конечный + предел 1(гп1/(х)1х" = с, то интеграл ) /(х) йх сходится. Если е-Ф+ Ф а же при 1<1 существует положительный предел 11п1/(х)хх=с> К-~+ае +В ) О, то интеграл ~ /(х) йх расходится.
Ф Убедимся в справедливости первой части следствия. Для этого заметим, что из существования предела при х- + ее вытекает ограниченность функции 1/(х)1хх, т. е. с некоторой постоянной се>0 выполняется неравенство 1/('х) ! <со/х". После этого применяется первая часть утверждения 3. Справедливость второй части следствия вытекает из следующих рассуждений. Так как с>0, то можно указать столь малое е>0, что с — е>0. Этому е отвечает такое В>0, что при х> В выполняется неравенство с — е</(х)хх (это неравенство следует из определения предела), Поэтому /(х) > (с — е)/хх, и в этом случае действует вторая часть утверждения 3. 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Введем понятия а б с ол ют ной и условной сходимо- 376 Гл. 9. Определенный интеграл Римана сти интегралов. Пусть 7(х) интегрируема по любому сегменту '(а, А1 *. + ч Определение 1. Несобственный интеграл ) 7'(х)йх пав зывается абсолютно сходящимся, если сходится +а ) (7(х)(йх. и + Ю Определение 2. Несобственный интеграл ) 7(х)йх нав зывается условно сходящимся, если он сходится, а ин+о теграл ) )('(х))йх расходится. и Замечание, Положив в утверждении 2 д(х)= Ц(х)), мы получим, что из абсолютной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходи мость.
Отметим, что утверждения 2 и 3 позволяют установить лишь абсолютную сходимость исследуемых несобственных интегралов. Приведем еще один признак сходимости несобственного интеграла первого рода, пригодный для установления и условной сходимости этого интеграла. Утверждение 4 (признак Днрихле — Абеля). Пусть выполнены следующие три условия: 1) функция 7(х) непрерывна на полупрямой а<х<+оо и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную г(х) "'"; 2) функция у(х) определена и монотонно не возрастает на полупрямой а<х< +ею и имеет равный нулю предел при х- +со; 3) производная й'(х) функции у(х) существует и непрерывна в каждой точке полупрямой а<к< +ос.
При выполнении этих трех условий несобственный интеграл +о ) 7 (х) д' (х) йх (9,1.6) а сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся критерием Коши сходимости несобственных интегралов. Предварительно проведем " Тогда и функция 11(к) ( интегрируема по любому сегменту (о, А). *' Это означает, что первообрааная р(х), которую можно определить как 1(г) й, удовлетворвет для всех х~)а неравенству (г'(х) (<К, где К вЂ” пои стоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
