ilin1 (947407), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

4 предыдушего параграфа для несоб»ственных интегралов второго рода формулируются п р а в и л а интегрирования путем замены переменной и инчегрирования по частям. р 3. Главное значение несобственного интеграла Определение. 1лусть функция 1(х) определена на прямой — оо<х<+оо и интегрируема на каждом сегменте, принадлежалцем этой прямой. Будем говорить, что функция 1(х) интегрируема по Коши, если существует предел 1пп 11(х)йх. А-++ а л Этот предел мы будем называть главным значением .несобственного интеграла от функции 1(х) (в смысле Коши) и обозначать силгволом * * Н.

р, — начальные буквы французских слов еНа!енг рппс1ра1», обозначаюоцих «главное значение», Подчеркнем, что, в отличие от нонятия несобственного 38Э Дополнение к 5 3 )7. р. ( ~(х) сХх = Ищ ~ ~(х) йх. л-о+ Ф Пр и мер 1. Найдем главное значение интеграла от функпиги х. Поскольку в силу нечетности х, А + ~ ) х дх = — О, то Ъ'. р. ~ х ах = О, — л Ф +о Точно так же заключаем, что Ч.р.

) а)пхйх=О. о Справедливо следующее Утвер жде н ие. Луста функция 1(х) интегрируема на каждом сегменте прямой — о <х<+оо. Если эта функция 1(х) нечегна, то она интегрируема по Коши и главное значение интеграла от нее равняется нулю. Если функция 1(х) четна, то она интегрируема по Коши тогда; и только тогда, когда сходится несобственный интеграл +о ) 1(х)йх. о (9.1.17) Первая часть этого утверждения является очевидной. Для доказательства второй части достаточно воспользоваться равенством л А 1 )(х)йх=2) 7(х)йх, справедливым для любой четной функ.

л о пни, и определением сходимости несобственного интеграла. (9.1.17). Понятие интегрируемости по Коши можно ввести и для несобственных интегралов второго рода в случае, когда особая точка является внутренней точкой сегмента, по которому производится интегрирование. Определение. Пусть функция 11х) определена на сег.

менте 1а, 61, кроме, быть может, точки с, а<с<у, и ингегрируе-. ма на любом сегменте, принадлежащем либо,[а, с), либо (с„д1. Будем говорить, что функция 11х) интегрируема по Коши, если существует предел интеграла ) 7(х) ох, определяемого как предел 1нп 1 7(х)ох при Л'-о — с, л"-о+а ', Ф нева в испи о м стремлении А' к — оо, А" к +со, интеграл по Коши определяется как предел при А-о+со интеграла в симметричных пределах.

А ) Р(х)с)х. Гл. 9. Определенный интеграл Римана 1нп ( ] Г(х)йх+ ] Г(х)йх) = 7.р. ] )(х)йх, а) О, а с+а а называемый гла внььм значением интеграла в смысле Коши. П р и м е р 2, Функция 1/(х — с) не интегрируема на сегменте [а, Ь], а<с<Ь, в несобственном смысле, однако она интегрируема по Коши. При этом ь с — а ь 'тг.р.

) ~ = Вт (~ ~ + ) ~ )=-1п ~ ДОПОЛНЕНИЕ 2 Интеграл Стилтьеса * Понятие интеграла Стнлтьеса является непосредственным обобщением понятия интеграла Римана, построению которого была посвящена гл. 9. В настоящем дополнении мы приведем основные сведения об интеграле Стнлтьеса. 1. Определение интеграла Стнлтьеса н условия его существования. Понятие интеграла Стилтьеса реализует идею интегрирования функции 1(х) относительно другой функции и(х).

Пусть функции 1(х) и и(х) определены и ограничены на сегменте [а, Ь] и (хь) — разбиение этого сегмента *а: а=хс<х1«...х; ~<х,<...<хс=Ь. Сумму вида о=[(й,) [и(х,) — и(х,)]+...+Цйг) [и(хг) — и(хс г)]+... (9.2,1) ...+[(9„),[и(х,) — и(х„~) ], где х, 1<$с(хн 1=1, 2,...,п, называют интегральной суммой С т ил тьес а. Число 1 называют пределом интегральных сумм (9.2.1) при гпах Лхс-с-О, если для любого е)0 найдется 6)0 такое, гадски что при щах ах, < 6 справедливо неравенство 1о — 1~ <е.

жса Определение. Функция 1(х) называется интегри- руемойй по функ ц ии и(х) на сегменте [а, Ь], если су- ществует конечньш" предел интегральных сумм (9.2.1) при птах ьтхг-с.О. Указанный предел называется интегралом 3Сы.л с Т. Стилтьес -- голландский математик (1856 — 1894). '* Мы предполагаем, что а<Ь. Случай а)Ь сводится к рассматриваемому. Дополнение 2 Сгилтьеса (или интегралом Римана — Стилтьеса) от функции [(х) ао функции и(х) на сегменте [а, Ь) и обозначается символом ь 1 = ~ ) (х) йи (х).

(9.2.2) О срункцию и(х) иногда называют и н т е г р и р у ю щ е й функцией. Т. Стилтьес пришел к идее такого интеграла, рассматривая положительное «распределение масс» на прямой, заданное возрастающей функцией и(х), точки разрыва которой соответствуют массам, «сконцентрированным в одной точке». Интеграл Римана представляет собой частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве интегрирующей функции взята функция х+с, где с=соней Укажем ряд условий с у щ е с т в о в а н и я интеграла Стилтьеса (т, с, условий, когда функция )(х) интегрируема по функции и(х)). Предположим, что интегрирующая функция и(х) является в о з р а с т а ю щ е й.

Отсюда следует, что, поскольку а= хо<х,«...х„1<х;«...х„=Ь, все Ли(х,) =и(х;) — и(хк,))0. Это позволяет, заменяя Лх; на Ли(х;), повторить почти все построения, проводимые для интеграла Римана. Аналогично суммам Дарбу для обычного интеграла Римана вводятся верхняя и нижняя суммы Дарбу — Стилтьеса 5=~'М,[и(х) — и(х, 1)], з=~' т,[и(х) — и(х~ 1)), (92.3) К=1 1=-1 где М; и т; — точные верхняя и нижняя грани функции )(х) на сегменте,[хиь х~).

Суммьч (9.2,3) называются соответственно в е р х н е й и н и ж н е й суммами Дарбу — Стилтьеса. Как и в случае сумм Дарбу (т. е. в простейшем случае и(х) =х+с, с=соне() при одном и том же разбиении выполнены неравенства з <о~5, причем з и 5 служат точными гранями для стилтьесовых сумм о, отвечающих всевозможным выборам промежуточных точек в; на частичных сегментах. Суммы Дарбу — Стилтьеса обладают (как и в простейшем случае) свойствами: а) если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса может от етого лишь возрасти, а верхняя сумма — лишь уменьшиться; б) каждая нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса не нревосходит любой верхней суммы, отвечающей тому же или другому разбиению сегмента [а, Ь|.

1З знн. м Гл. 9. Определенный интеграл Римана Аналогично тому, как это сделано при построении интеграла Римана, вводятся верхний и нижний интегралы Дарбу— Стилтьеса: 1*=1пЩ, 1.=зпр(з), где нижняя и верхняя грани берутся по всевозможным разбие- ниям сегмента [а, Ь). Легко проверить, что справедливы соотношения з <1,<1' <Б. Точно так же, как и в случае обычного интеграла Римана, в случае интеграла Стилтьеса доказывается, что верхний интеграл Дарбу — Стилтьеса является пределом верхних сумм 8 при стремлении диаметра разбиений к нулю.

Аналогично ниж- ний интеграл Дарбу — Стилтьеса есть предел нижних сумм з (см. п. 2, $ 2, основную лемму Дарбу). Сформулируем теперь теорему, которая является обобще- нием основной теоремы и. 1 $3 и справедлива в случае интег- рала Римана — Стилтьеса. Основ н а я теорема. Для того чтобы ограниченная на сегменте [а, Ь| (а<Ь) функция 1(х) была интегрируемой на этом сегменте по возрастающей функции и(х), необходимо и достаточно, чтобы для,любого е>0 нашлось такое разбиение (ха) сегмента [а, Ь|, для которого 5 — з<е. Доказательство этой теоремы (как, впрочем, и других упо- мянутых выше фактов и свойств) является дословным повто- рением рассуждений, проведенных для интеграла Римана.

Укажем теперь некоторые классы интегрируемых по Рима- ну — Стилтьесу функций. 1. Если функция 1(х) непрерывна, и и(х) возрастает на сег- менте [а, Ь), то интеграл Стилтьеса ~1(х)ди(х) существует. а Доказательство этого факта полностью аналогично доказа- тельству теоремы 9.1 (см. п. 2 $3). 3 а м е ч а н и е. Указанный выше факт справедлив и в том случае, когда функция и(х) является функцией ограни- ченной в ар нации*, Так называются функции и(х), опре- деленные на сегменте [а, Ь1, а<Ь и обладающие тем свойством„ что для любого разбиения ха = а < х! < ха « ...

х! <хг+ ! « ., х, = Ь и — ! числовое множество У[(ха)1 = 1 ~ и (хьь!) — и (х,) [ ограничег=! но сверху. * Или ограниченного изменения. за Дополнение 2 Точная верхняя грань множества ()!ЦхьЦ) называется полным изменением или полной. вариацией функь ции и(х) на сегменте [а, Ь| и обозначается символом $ти(х) = а = знр ()т((х„))) Лля функций ограниченной вариации справедлив следующий о с н о в н ой к р и т е р и й: Для того чтобы функция и(х) имела на сегменте (а, Ь) ограниченную вариацию, необходимо и достаточно, чтобы он!а представлялась на этом сегменте в виде разности двух возрастающих и ограниченных Функций: и(х) =у(х) — й(х).

Таким образом, в случае, когда и(х) — функция ограниченной вариации, сумму Стилтьеса, отвечающую функции и(х), можно записать в виде а= ~~) Г(5!) Ли(х!) = Я ) Я!) Лд(х!) — ~ ~(Г!) ЬЬ(х,) = а,— о, 1=! к=! !=! где Ли(х!) =и(х!) — и(х!,), ау(х!) =д(х!) — у(х! !), !ьй(х!) = =И(х!) — Ь(х! !). Суммы о! и ое стремятся к конечным пределам при стремлении диаметра разбиений к нулю, так как у(х) и й(х) — возрастающие функции. Поэтому существует конечный предел и сумм а при стремлении диаметра разбиений к нулю.

Следовательно, теорию интеграла Стилтьеса можно строить и в случае, когда интегрирующая функция и(х) имеет ограниченную вариацию, вполне аналогично случаю возрастающей функции и(х). Выделим еще один класс функций, для которых существует интеграл Стилтьеса. 2. Интеграл Стилтьеса (9.2.2) существует при условии, что функция )('х) интегрируема на сегменте (а, Ь) ао Риману, а функция и(х) удовлетворяет на этом сегменте условшо Диа!ница, т.

е. условию 1и(х') — и(х") ! (с)х' — х"), где с=сонэ!, для любых х' и х" из (а, Ь). Так как функция, удовлетворяющая условию Липшица, является функцией с ограниченной вариацией, то для до к аз ательства этого критерия, очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай возрастающей функции и(х), удовлетворяющей условию Липшица, и заметить, что н н Я вЂ” з= ~~~' (М, — и!) Ли(х,) < С~ (М! — и!) Лхо (9.2.4) ь=! 388 Гл. 9. Определенный интеграл Римана где М;=зпр[(х), т,=(п([(х), х~ [х; ь хг], йги(хг)м и(хь)— — и(х; г), с — постоянная из условия Липшица.

Выражение з 1' (Мг — тг) бх, в неравенстве (9.2А) может быть сделано, г=! в силу интегрируемости по Риману функции [(х), сколь угодно малой величиной за счет выбора разбиения сегмента [а, Ь~). Следовательно, величина 5 — з также может быть сделана меньше наперед заданного числа е)0, если выбрать диаметр разбиения достаточно малым. Согласно утверждению основной теоремы функция [(х) интегрируема по Стилтьесу. В общем случае функции и(х), удовлетворяющей условию Липшица, также можно рассмотреть представление и(х) =ох — [сх — и(х)1=иг(х) — ие(х). В атом представлении обе функции иг(х) и ит(х) удовлетворяют условию Липшица и возрастают*. В таком случае доказательство завершается так же, как и выше.

Характеристики

Список файлов книги