ilin1 (947407), страница 81
Текст из файла (страница 81)
е. кривые Ег и Ег спрямляемы. Отметим, что из равенства (10,4) и из определения длины дуги кривой следует, что длины !Ег), (Ег! и !Е! дуг кривых Еь Ег и Е удовлетворяют неравенству !Ег|+(Е ! !Е!. (10.5) Действительно, из равенства (10.4) вытекает, что для любых разбиений Т, и Т, сегментов [сс, у] и [у, р] справедливо неравенство ]1г(+)1г! ~ (1!. Из этого неравенства и определения точной верхней грани получим неравенство (10.5).
Покажем, что в неравенстве (10.5) на самом деле знак неравенства можно заменить на знак равенства. Предположим противное, т. е. предположим, что !Е1(+(Ег(<!Е!. Тогда число (Е! — (!Ег(+!Ег!) =е (10.5) положительно. Из определения длины (Е! дуги кривой Е вытекает, что для положительного числа е можно указать такое разбиение Те сегмента [а, Я, что длина !1а! ломаной 1е, вписанной в кривую Е и отвечающей этому разбиению, удовлетворяет нера- 397 $ !. Блина дуги криной венству (Е) — (1о~ <е. Добавим к разбиению Т, точку у и обозначим полученное при этом разбиение через Т.
Тогда, в силу доказанной выше леммы, длина )1! ломаной, отвечающей разбиению Т, тем более удовлетворяет неравенству )Е( — (1(<г. Так как разбиение Т сегмента [а, р] образовано объединением некоторых разбиений Т! и Тз сегментов [а, у] и [у, ()], то длины (1с( и (1а) ломаных, отвечающих этим разбиениям, удовлетворяют соотношению (!О 4). Поэтому справедливо неравенство )Е! — ()1с(+(1з!) <е. Так как (1с)+(1а(< (Ес(+(Еа~, то тем более справедливо неравенство (Е( — ((Ес(+)Еа!) <е. Но это неравенство противоречит равенству (10.6). Полученное противоречие доказывает, что предположение о том, что (Ес(+!Ез)<(Е) является неверным, и, следовательно, (Ес(+ (Ех! = ) Е ~. Свойство 2' полностью установлено. Замечание 2.
Понятие длины дуги пространств е н н о й к р и в о й, заданной параметрическими уравнениями (!0.3), вводится точно так же, как н понятно длины дуги плоской кривой. Точно так же, как и в плоском случае, рассматриваются длины (1( ломаных, вписанных в кривую Е, причем (1( = ,')' И(ср(1с) — ср (1с-!)]'+ [ф (1с) — Ф (1с — !)]'+[Х (1;) — Х (гс — )]' йв! Пространственная кривая Е, определяемая уравнениями (10.3), называется спрямляемой, если множество ((1!) длин ломаных 1, вписанных в зту кривую, ограничено.
Точная верхняя грань (Е( этого множества называется длиной дуги Е, Пространственные спрямляемые кривые обладают свойствами 1' и 2', приведенными выше для плоских кривых. Доказательство этих свойств аналогично доказательствам для плоских кривых. 4. Критерий спрямляемости кривой.
Вычисление длины дуги кривой. Приведем достаточное условие спрямляемости кривой и формулу для вычисления длины ее дуги. Договоримся об употреблении следующей терминологии. 1'. Будем говорить, что функ!(ия 1(1) имеет на с егм е- нт [а, ()] непрерывную первую производную, если производная 1'(1) существует и непрерывна в любой внутренней точке этого сегмента и если, кроме того, существуют конечные пределы 1(ш 1'(1) и (пп 1"' (1). с а-!-о с р — а При таком определении функция 1'(1) окажется непрерывной на сегменте [а, б], если значения этой функции на концах указанного сегмента положить равными пределам 1цп 1'(1) и 1(ш1'(1) с аьо с з-о соответственно ".
* Если в условиях определения !' дополнительно потребовать существования односторонних проиаводссых 1'(а+О) и Т(р — О), то в силу п. 3 й 4 гл. 6 (пн р (х) = 1'(сс + О) ° !нп 1' (х) = 1'(() — О). а +о ' -ь-о 398 Гл. 10. Геометрические приложения определенного интеграла (1! = ,'); У[ф (( ) — ф ((г-!)Р + [ф ((!) — ф ((г-!)Р Для каждой из функций ф(1) и ф(1) выполнены на каждом частичном сегменте [1; и (!"1 (при г=1„2, ...,и) все условия теоре- мы 6.4 Лагранжа *. В силу этой теоремы между 1;, н (! найдутся точки $! и т)г, такие, что будут справедливы равенства гр(1!)чр(г! — ) =гр (ь!)!з(! !1!(Ц вЂ” ф((з-!) =ф'(т)!)М, где бг!=1! — 1! и Следовательно, а !1! = ~, 3г гр' (Б!) + ф' (т)!) б(!. (10.8) гмв По условию теоремы функции гр(1) и ф(1) имеют на сегменте [а, (11 непрерывные, а потому н ограниченные первые производные, т.
е. для всех (, лежащих внутри сегмента [а, (11, справедливы неравенства (!р'(1) !~М, (ф'(!) (~М. Поэтому из формульв (10.8) следует, что ' Т. е. каждая иэ функций ф(0 и ф(0 непрерывна на любом частичном сегменте (г! !, г!) и дифференцируема во внутренних точках этого сегмента. 2'. Будем говорить, что функция 1(г) имеет на с егм е нте [а, И ограниченную первую производную, если ('(!) существует и удовлетворяет соотношению 1['(г) ~ (М, где М— некоторая постоянная, для всех внутренних точек сегмента а<(~р.
3'. Будем говорить, что произ водная функции 1(() интегрируем а на сегменте [а, и, если Г'(() существует для всех внутренних точек этого сегмента и после доопределения произвольными конечными значениями на концах этого сегл!енто представляет собой интегрируемую на этом сегменте функцию. Теорем а 10.1. Пусть функции х=гр(г) и у=ф(() непрерывнь! и имеют непрерьсвные первые производные на сегменте [а, р1. Тогда кривая Е, определяемая параметрическими уравнениями х=гр((), у='ф(1) при'1 из [а, (11, спрямляема и длина ~Ь( ее дуги может быть вычислена по формуле в ! 1! = ~ 1' гр' (() + Ф' (() йт. (10.Т) а Доказательство. Сначала докажем, что кривая Б спрнмляема.
Рассмотрим формулу для длины (1( ломаной 1, вписанной в кривую Б и отвечающей произвольному разбиению Т сегмента [а р): $1. Длина дуги кривой а л О(!1(<~~ )г М'+М*Л1;=М)' 2 '~» Мг= М) 2 ф — сз). г-1 1 Таким образом, множество (!1!) длин вписанных в кривую Ь ломаных, отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента (а, 8), ограничено, и по определению кривая Т. спрямляема. Докажем теперь, что длина !Ц кривой 1. может быть вычислв. аа по формуле (!О.Т). Введем в рассмотрение следующую конкретную интегральную сумму интегрируемой функции Ф ~р"(1)+яр"(1) о(1; Ы =~ у гр'%)+чр'Яг) Л1 г-1 отвечающую разбиению Т сегмента !а, р1 и выбору промежуточных точек фь определенному в формуле (10.8).
1)усть г( — диаметр разбиения Т, т. е. с(=гпахЛ1г. Докажем, что для любого гсср положительного числа в можно указать такое 8>0, что при с((б выполняется неравенство (10.9) где 1 — предел при г(- 0 интегральных сумм о(1г, $;), т. е. 2 г'=- ! )г гр' (1)+ чр' (1) с(1. Другими словами, мы покажем, что можно выбрать столь малым диаметр разбиения Т, что длина !1! ломаной 1, вписанной в кривую 1. и отвечающей этому разбиению Т, отличается от интеграла 1 на величину, меньшую, чем наперед заданное число и/2.
Заметим, что *а " Интегрируемость этой функции вытекает из ее непрерывности на сегменте (о, р!. '* Первое из этих неравенств вытекает нз следующих оценок, справедливых для любых чисел а, Ь, Ьи ! Ь вЂ” Ьз! ~ )г аз+ Ьз — гг аз+ Ьз ~ = )Г *+ Ь', +~ '+Ь' !Ь вЂ” ЬИЬа+Ь! Ь !Ь,!+!Ь! Второе из зтях неравенств очевидно, так как разность любых значений функции не больше разности ее точных граней, 400 Гл. 1О. Геометрические приложения определенного интеграла ~ !'Ч' (Ы+ ф' (Ч ) — 1' гр' 6 )+ чр' (Ы ~ < <(тр'(Чт) — ф'6т)!<М вЂ” лт * где М; и те — точные грани функции тр(1) на частичном сегменте [1т-ь 1'1.
Поэтому (!1! — о! =1~ (р т'6,)+ тр'(Ч;) — р' Ч'(Б~)+ар'(Б~) )М!< я Е ~ ~игр 6;)+ тр' (Ч ) — гагр' %;)+ Ф' ($;) ~ Л11 < я < ~ (М~ — т )б1;=5 — з, (10. )0) г=! (10.11) Поэтому при 0<6 в силу (10.10) и (10.11) справедливы неравенства ! (1! — 1! = ! (1! — о+ сг — 1! < ! (1! — а! + (и — 1! < — '+ — ' = — ', 4 4 2 и справедливость неравенства (10.9) доказана. Докажем теперь, что среди всевозможных ломаных 1, длины (1! которых удовлетворяют неравенству (10.9), имеются ломаные, длины которых отличаются от длины !1.! дуги кривой Е меньше чем на е1'2. Действительно, !1.! — точная верхняя грань множества (!1!) длин ломаных 1, вписанных в кривую 1.
и отвечающих всевозможным разбиениям сегмента (а, (т1. Поэтому найдется такое разбиение Т', что длина !1е! соответствующей этому разбиению ломаной 1е удовлетворяет неравенству О< (1.! — (1'(< —. где 5 и з — соответственно верхняя и нижняя суммы функции ф'(1) для разбиения Т сегмента (а, Я. Функции р' <р' (1)+тр' (1) и ф'(1) непрерывны, а значит, и интегрируемы на сегменте (и, (т), поскольку по условию на (а, р], непрерывны ~р'(1) н тр'(1). Из определения интегрируемости и из основной теоремы $ 3 гл. 9 вытекает, что для любого е>0 можно указать такое б>0, что при диаметре разбиения с(<6 выполняются неравенства (о(1, Ы вЂ” 1!< — ' Я вЂ” з< — '. 4 4 401 4 1. Длина дуга крнвой Подвергаем теперь разбиение Т* измельчению, добавляя к нему новые точки разбиения так, чтобы в результате добавления этих точек получилось разбиение Т с диаметром д, меньшим б.
При этом, как мы показали, длина 11~ ломаной 1, отвечающей этому разбиению Т, удовлетворяет неравенству (10.9). Так как все вершины ломаной, отвечающей разбиению Т*„являются также вершинами ломаной, отвечающей разбиению Т, то, согласно доказанной в п. 3 лемме, О< ~!ь! <)!(.<(Ь). Поэтому неравенства (10.12) дают право утверждать, что 0<(Е( — ~!(< — '. 2 (10.13! Итак, мы доказали, что среди множества ломаных (1), длины которых удовлетворяют неравенству (10.9), имеются ломаные, длины которых удовлетворяют и неравенству (10.13). Из неравенств: (10.9) и (10.13) получаем, что ! (А1 — Т1<е.
Поскольку з — произвольное положительное число, то ! Ь ! =1 и теорема полностью доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Если функции гр(1) и ф(!) непрерывны и. имеют на сегменте [а, р], ограниченные первые производные, то кривая !., определяемая уравнениями х=~р(!), у=ф(!), спрям. л лема. Действительно, в ходе доказательства теоремы 10.1 мы установили, что если функции ~р(!) и ф(!) непрерывны на [а, р], то при условии ограниченности на сегменте [а, р] первых производных функций ~р(1) и ф(!) длины ~1( ломаных, вписанных в кривую А и отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента [а, р], ограничены. 3 ам е ч а н ие 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
