ilin1 (947407), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Докажем следующую лемму. Л е м м а. Всякая спрямляемая кривая имеет площадь нул ь. $2. Площадь плоской фагури 411 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Š— спрямляемая кривая, а 1А( ее длина. Разобьем эту кривую с помощью и+1 точек на части, длина каждой из которых равна (Ь~/и. (Возможность такого разбиения не вызывает сомнений.) Примем каждую из этих и+1 точек за центр квадрата со стороной 2~ Ц1»п. Сумма этих квадратов представляет собой многоугольную фигуру, описанную вокруг кривой Е, а площадь этой многоугольной фигуры не превосходит суммы плошадей составляющих ее 4)В1а квадратов, т. е, числа (и+1). Так как 1».1 фиксировала но, а и можно выбирать произвольно большим, то число 41». )а — (и+1) может быть сделано меньшим любого наперед ла заданного числа г>0. Следовательно, кривую Е действительно можно заключить внутрь многоугольной фигуры сколь угодно малой площади.
Лемма доказана. Из этой леммы и теоремы 10.2" вытекает следующая теорема. Т е о р е м а 10,3, Всякая плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемых кривых, квадрируема. Покажем теперь, что введенное нами понятие площади плоской фигуры обладает свойствами аддитивности (см. (10.22)), инвариаитности (см. (10.23) ) и монотонности. Убедимся сначала в а д д и т и в н о с т и п л о щ а д и. Лусть Р» и Ра — квадрируемые фигуры без общих внутренних точек и Р— их объединение.
Тогда Р квадрируема и р(Р) =р(Р»)+р(Ра) (10.27) Квадритируемость фигуры Р следует из теоремы 10.2" и из того, что ее граница дР составлена из множества площади нуль, поскольку дР является частью объединения границ дР, и дРа фигур Р» и Ра. (Очевидно, что всякая часть множества площади нуль сама является множеством площади нуль.) Докажем справедливость равенства (10.27). Рассмотрим мно1гоугольные фигуры Р, и Р,, вписанные в Р» и Ре соответственно, 1и многоугольные фигуры Я» и»,»ь описанные соответственно вокруг Р» и Ра. Фигуры Р, и Р, составляют фигуру Р и не имеют общих внутренних точек.
Поэтому, согласно (10,22), »»(~ )»»(~ »О» 2)»»(Р1)+»»(~ а) Многоугольные фигуры ьг, и»„»ь возможно, пересекающиеся, в сумме составляют многоугольную фигуру Я, площадь которой не превосходит»»Я»)+»»(Я,). Поэтому 412 Гл. 10. Геометрические приложения определенного интеграла р(Р) =р(Р )+)а(Ра)~р(Р) =П(9) ~рй )+р Юа) С другой стороны„в силу определения квадрируемости, для фигур Р! и Рз справедливы неравенства М(Р,)~)а(Р!)~)лЯ!) и р(Ра) ~)т(Рз) ~)х(1,)а), из которых следует, что )х(Р!)+)х(Р ) ()х(Р )+)з(Ра) ~)т(Ф)+)а(Я ).
Таким образом, обе величины )т(Р) и )з(Р!)+)т(Рз) заключены между двумя числами [)л(Щ)+)г((гз)) и [)х(Р~)+)х(Рз)) разность между которыми Ь(е!)+)а(еа)! [)х(~ 1)+)т(Р2)) [)гй!) )а(Р3)) +[)г(Яз) )г(Р2)) может быть сделана как угодно малой. Следовательно, указанные две величины равны, т. е. справедливо равенство (10.27). Свойство инвариантности площади произвольной плоской фигуры непосредственно вытекает из инвариантности площади для многоугольиых фигур (см. (10.23)) и из самого способа определения плошади квадрируемой фигуры через площади многоугольных фигур.
Наконец, свойство монотонности площади непосредственно вытекает из определения квадрируемости плоской фигуры. 3 а м е ч а н и е. Пересечение двух квадрируемых фигуР есть нвадрируемая фигура. Действительно, пусть Р=РДРа, и Р~ и Ра квадрируемы. Каждая точка, граничная для Р, является граничной либо для Р!, либо для Ра. Поэтому наше утверждение следует из теоремы 10.2" и того факта, что объединение двух множеств площади нуль само имеет площадь нуль. Введенное в этом пункте понятие п л о щ а д и называют понятием площади по Жордану* или мерой Жордана.
Выше мы убедились, что площадь по Жордану обладает свойством аддитивности, т. е, если Р=Р~ОРа, а Р, и Ра — квадрируемые фигуры без общих точек, то Р квадрируема и р(Р) =)з(Р~)+)х(Ра). Указанное свойство, очевидно, справедливо и для объединения любого конечного числа Рь Рз,...,Р„квадрируемых фигур без общих внутренних точек. Если * Камилл Жордан — французский математик (!838 — 1922).
4!3 $2. Площадь плоской фигуры то Р квадрируема и (х(Р)=~г р(Р,) (свойство конечной г=! аддитивности). Однако площадь по Жердину (мера Жордана) не обладает свойством счетной аддитивности, т. е. объединение счетной совокупности квадрируемых фигур Рь Ра, ... без общих внутренних точек не облзано быть квадрируемой фигурой. Проиллюстрнруем этот факт примером. Рассмотрим нз плоскости квадрат В; 0<х<1, 0<у<1. Отметим в квадрате О точки, у которых обе координаты рациональны.
Нетрудно показать, что таких точек счетное множество. Расположим их в виде последовательности 21= (Х!, У!), За= (Хто Уа)г .. Зл= (Ха, Уо), ° ° ° Фиксируем число е)0 и построим круг Ог с центром в точке з! радиуса гг<е/2, целиком содержащийся в квадрате О. Первую из точек га, га, ..., не попавшую в круг Оь обозначим через Е„, н построим круг Оа с центром в точке 2„, радиуса ге<и/2а, не пересекающийся с кругом О, и целиком лежащий в квадрате О. Продолжая эти рассуждения далее, мы построим последовательность содержащихся в квадрате 0 непересекающихся кругов Оь Ое,...,О., радиусов гь ге,....,гго Каждый из этих кругов квадрируем и имеет площадь (меру Жордана), равную и г„е (п=1, 2,,), Убедимся в том, что объединение Р счетного числа указанных кругов Р=О!()0,()...
представляет собой фигуру, н е квадр и р уе м у ю по Жор да ну. Пусть Π— любая многоугольная фигура, содержащая фигуру Р. Заметим, что в любой е-окрестности каждой точки квадрата 0 есть точки последовательности (х„), т. е. есть точки фигуры Р. Но это означает, что любая точка квадрата Р является внутренней либо граничной точкой фигуры Р, т. е. многоугольная фигура О содержит весь квадрат Й и, значит, мЖ) -! (В) =1 Пусть, далее, Р— любая многоугольная фигура, содержащаяся в Р.
Тогда площадь !4(Р) не превосходит сумму площадей всех кругов О!, Оа,..., т. е. 2 е !1 1 ! пеа 1ь (Р) ~( н (г! + ге+ ...) < пе ~ — + — + ° .. ) =— ~ 2а 2а ,) 3 Итак, !х(Я))1 и !ь(Р) < — ' для любой многоугольной 3 фигуры Я, содержащей Р, и любой многоугольной фигуры Р, 414 Гл.
10. Геометрические приложения определенного интеграла содержащейся в Р. Но это и означает, что при малом е разме' ность 14(О) — )г(Р) больше 1 — — и не может быть сделана 3 как угодно малой, т. е, фигура Р не квадрируема по Жордану. Отметим, что можно ввести другое обобщение понятия площади, так называемую меру Ле бег аз, которая уже будет обладать и свойством счетной аддитивности.
Такое обобщение понятия площади выходит за рамки приложений интеграла Римана и его естественно рассматривать при изучении так называемого интеграла Ле бега. 3. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте 1а, Ь"1 непрерывной и неотрицательной функции 11х), перпендикулярными к оси Ох прямьглга х=а и х=Ь и отрезком оси Ох между точками а и Ь (рис. 10.1). Справедливо следующее Ут в е р жден не. Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру Р, площадь которой 1г('Р) вычисляется по формуле ь р (Р) = ) 1 (х) ах.
а (10.28) Рис. 10.2 Рис. 10.1 ' Анри Лепет — французский математик (1875 — 1941), До к аз а тельство. Непрерывная на сегменте 1а, Ь1 .функция 1(х) интегрируема, поэтому для любого положительного числа е можно указать такое разбиение сегмента 1а, Ь1, для которого разность между верхней суммой 5 и нижней суммой з будет меньше е. Но Я и в равны соответственно )а(1,)) и )х(Р), где РЯ) и р(Р) — площади многоугольных фигур, первая из которых содержит криволинейную трапецию, а вторая содержится в жриволинейной трапеции (на рис. 10.1 изображены также и ука- $2.
Площадь плоской фигуры !! 1ь(Р) = — ~ г'(0)д0. а (10.29)* Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разбиение сегмента [и,. р) точками а=Ос<6!«...6а=р и для каждого частичного сегмента ![6! ь 6!1 построим круговые секторы, радиусы которых. равны минимальному г! и максимальному И! значениям функции г(0) на сегменте [О;-ь 0!].
В результате получатся две квадрируемые фигуры, первая фигура А содержится в криволинейною секторе, а вторая В содержит этот сектор (см. рис. 10.2). Площади 1ь(А) и р(В) указанных квадрируемых фигур А н а а В соответственно равны — ~~ г! (О! — О!,) и — ~ Й (О! — 0 — г)- 2 .2~ (=-1 занные многоугольные фигуры). Таким образом, 1ь(О) — 1а(Р) <е„ н в силу теоремы 10.2 криволинейная трапеция квадрируема.
Поскольку для любой интегрируемой функции предел при стремлении диаметра разбиения к нулю как верхних 5, так и нижних. ь сумм з равен ) У'(х)дх и з<р(Р) ~(Я, то площадь 1г(Г) кривой лпнейной трапеции находится по формуле (10.28). 3 а меча н ие. Если функция 1(х) непрерывна и неположиь тельна на сегменте [а, Ь), то значение интеграла ~ ~(х)Йх рава но взятой с отрицательным знаком площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции )[(х) (, ординатами в точках а и Ь и отрезком оси Ох между точками а и Ь. Поэтому ь если 1(х) меняет знак, то ~1(х)йх равен сумме взятых с опреа деленным знаком площадей криволинейных трапеций, расположенных выше и ниже оси Ох, причем площади первых берутся со знаком +, а вторых —, со знаком —. Перейдем теперь к рассмотрению площади так называемого криволинейного сектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
