ilin1 (947407), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

Примеры. 1) Найти объем 1ь(Г) шара Е радиуса т. Рассмотрим этот шар как результат вращения полуокружности у=~ т' — х', — т~х<т, вокруг оси Ох (рис. 109). По формуле (10.30) получим l т с )ь (Р) = н ~ (т' — х') дх = птах ~ — — ~ = — нта. — з — с 2) Найдем объем !ь(Г) прямого кругового конуса с высотой, равной й, и радиусом основания т.

Рассматривая указанный конус как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках (О, 0), (6, 0) и (6, т) вокруг оси Ох (рис. 10.10), получим, согласно формуле (10.30), ята ~ а птаха ! яттл р ()т) = 1 х'дх =- ьа .) заа '), 3 о Рвс. !0.10 Рвс. 10.11 Рис. 10.9 3) Найдем объем тела Г, полученного вращением вокруг оси Ох синусоиды у=з1пх на сегменте [О, н]. Имеем (рис. 10.11): 1ь(Г) = и ) в!па хс(х = н ) дх =- —.

о о 2 2 Глава 11 ПРИБЛИЖЕННЪ|Е МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В этой главе рассматриваются приближенные методы нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений и вычисления определенных интегралов. $ Е ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе мы займемся приближенным вычислением одного из корней уравнения г(х) =О, где у=-((х) — некоторая, во всяком случае, непрерывная функция.

Мы будем считать, что интересующий нас корень этого уравнения изолирован на некотором сегменте (а, Ь), т. е. будем считать, что этот корень является внутренней точкой сегмента (а, Ь), не содержащего других корнеи рассматриваемого уравнения. На практике обычно путем грубой прикидки определяют размеры указанного сегмента (а, Ь) ". 1.

Метод «вилки». Мы начнем наше знакомство с метода, который часто используется для приближенного вычисления корней на современных быстродействующих математических машинах. Основой этого метода служит новое доказательство теоремы 4.12 о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака. Изложим это доказательство. Требуется доказать следующее Утверждение.

Если функция |(х) непрерывна на сегменте '(а, Ь) и если значения этой функции 1(а) и 1'(Ь) на концах сегмента [а, Ь) суть числа разнося знаков, то внутри сеглсента (а, Ь) найдется такая точка с, в которой значение функции |(с) равно нулю, т. е. с является корнем уравнения )(х) =О. Договоримся называть «внлкой» любой сегмент, на концах которого функция 1(х) имеет значения разных знаков. По условию сегмент (а, Ь] является «вилкой». Пусть ради определенности )(а) <О, 1(Ь) >О.

Разделим сегмент (а, Ь) пополам. При этом может представиться два случая: 1) значение функции в середине сегмента (а, Ь) равно нулю (в этом случае теорема доказана), 2) указанное значение не равно нулю. В этом случае одна * При этом может быть использована вытекающая из физического содержания задачи дополнительная информация о расположении корня.

423 й К Приближенные методы вычисления корней уравнений из половин сегмента [а, Ь) является «вилкой». Эту половину мы обозначим [аг, Ь~]. Очевидно, что 1(аг) <О, 1(Ь,) >О. С сегментом [пь Ьг] поступим точно так же, как с сегментом [а, Ь], т. е. разделим сегмент [аь Ь~] пополам. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы бу~дем иметь две возможности: 1) либо описанный выше процесс оборвется вследствие того, что значение функции в середине некоторого из сегментов окажется' равным нулю (в этом случае теорема доказана), 2) либо описанный процесс можно продолжать неограниченно, и мы получим стягивающуюся систему се~ментов — «вилок» [аг, Ь1), [аз, Ьз], ..., [а„, Ь„], ..., причем для любого номера и 1'(а„) <О, 1(Ь„) >О. Согласно следствию из теоремы 3.15 указанная стягивающаяся система сегментов имеет одну общую точку с, к которой сходятся каждая из последовательностей (ав) и (Ь„). Докажем, что )(с) =О.

ПосколькУ фУнкциЯ 1(х) непРеРывна в точке с, то каждаЯ из последоватепьностей 1(ав) и 1" (Ь„) сходится к 1(с), Но тогда из условий [(ав) <О и 1(Ь„) >О в силу теоремы 3.13 получим, что одновременно справедливы неравенства 1(с) <«О и [(с)) О, т. е. 1(с) =О. Утверждение доказано. Предположим теперь, что в условиях доказанного выше утверждения сегмент [а, Ь] содержит только один корень с уравнения 1(х) =О*. Тогда за приближенное значение этого корня ал+ Ь„ можно взять точку " ", т.

е. середину сегмента [ан, Ь„]. Ь вЂ” а Поскольку длина сегмента [а„, Ь„] равна, то число 2л а„+ Ь„ отличается от точного значения корня не более чем на Таким образом, описанный выше процесс последователь- 2 Ь вЂ” а 2а х=Р (х). (11.1) * Т. е, предположим, что корень с является изолированным ва сегменте (а, Ь). Этот метод называют методом последовательных приближенийй.

ного деления сегментов — «вилок» пополам позволяет вычислить искомый корень с с любой наперед заданной степенью точности. Так как описанный процесс приводит к многократному повторению однотипных вычислительных операций, он особенно удобен для проведения вычислений на быстродействующих математических машинах. 2, Метод итераций"*. Излагаемый в этом пункте метод лежит в основе многих других приближенных методов. Этот метод применяется для решения уравнения 424 Гл.

11. Прггближенкые методы Введем понятие итерационной последовательности. Последовате гьность хе, хг, ..., х„... будем называть итерационнойй, если для любого а~1 элемент х„выражается через элемент х„г по рекуррентной формуле х„=Е(х„г), а в качестве хе взято любое число из области задания функции Г(х). Мы докажем, что при определенных условиях итерационная последовательность сходится к корню уравнения (11.1) и, значит, ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня.

Справедливо следующее. У т в е р ж д е н и е 1. Пусть функция Г(х) непрерывна на сегменте [а, б), и пусть все элементы итерационной последовательности хе, хг, ..., х„, ... лежат на этом сегменте. Тогда, если эта последовательность сходится к некоторому числу с, то указанное число с является корнем уравнения (11.1). Доказательство. Так как последовательность (х„) сходится к с и все ее элементы принадлежат сегменту [а, (г[, то и предел с принадлежит сегменту [а, Ь) (см.

следствие 2 из теоремы 3.13). По условию функция Е(х) непрерывна в точке с, и поэтому последовательность (Е(х„г)) сходится к Р(с). Таким образом, равенство х„=р(х„г) в пределе при и- о переходит в равенство с=Е(с), т. е. с является корнем уравнения (11.1). Доказанное утверждение будет существенно использовано нами в п. 3 для обоснования метода хорд и касательных. Докажем еще одно утверждение, часто используемое для приближенного вычисления корня уравнения (11.1) с помощью итерационной последовательности. Утверждение 2. Пусть с — корень уравнения (11.1), и пусть в некотором симметричном относительно точки с сегменте [с — е, слса) производная функции Е(х) удовлетворяет условию )Р'(х) ~ ~а<1. Тогда итерационная последовательность хе, хг, ..., ..., х„, ..., у которои в качестве хе взято любое число из сегмента [с — з, с+е), сходится к указанному корню с. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Прежде всего докажем, что все элементы итерационной последовательности [х„) принадлежат указанному сегменту [с — е, с+е]. В самом деле, хе принадлежит этому сегменту по условию. Поэтому достаточно, предположив, что х„, принадлежит этому сегменту, доказать, что ему принадлежит и х„. Для этого применим формулу Лагранжа к разности Г(х г) — Г(с) и учтем, что Г(с) =с, х„=Г(х„г). Получим х„— с=у(х„г) — Г(с) =Г'(е) (х„,— с), (11.2) где 5 — некоторая точка, лежащая между х„г и с и, значит, принадлежащая сегменту [с — е, с+е).

Так как 1Г(р) ~ <а<1, то из равенства (11.2) получим |х„— с! <а1х„г — с!. (11.3) й 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений 425 Из (11.3), поскольку 0<а<1, в свою очередь, получим ]х,— с[<]х„,— с[. (11.4) Неравенство (11.4) устанавливает, что каждый последующий элемент хв расположен к с ближе, чем предыдущий элемент х, и и, значит, так как х„~ принадлежит сегменту [с — и, с+и[ и так как этот сегмент симметричен относительно точки с, то и х„принадлежит этому сегменту. Остается доказать, что последовательность (х„) сходится к с.

Поскольку неравенство (11.3) справедливо длл всех номеров и, то с помощью этого неравенства получим [х„— с[ <а" (хо — с[. (1! .5) Ряс. 1К! Из последнего неравенства очевидно, что х„- с, ибо а" — -О. Утверждение 2 доказано. Сделаем практические замечания относительно только что до- казанного утверждения. Предположим, что путем предваритель- ной прикидки мы установили, что интересующий нас корень уравнения (11.1) изолирован на некотором сегменте [а, 6), на котором производная функции Р(х) удовлетворяет условию [Е'(х) [ <а<1.

Так как сегмент (а, Ь), вообще говоря, не являет- гя.симметричным относительно искомого корня, то, естественно, возникает вопрос о том, как выбрать нулевое приближение хо, с тем, чтобы можно было применить доказанное выше утвержде- ние 2. Заметим, что где бы внутри сегмента [а, Ь] ни находился ис- комый корень с, хотя бы один из двух симметричных относитель- но с сегментов [а, 2с — и], [2с — 6, 6] (рис.

11.1) целиком принад- лежит сегменту [а, 6]. Поэтому хотя с о „в бы одна из точек а или 6 принадле- а ' 6 жит симметричному относительно корня с сегменту, всюду на котором а гс-ь с ] Е" (х) [ .< а < 1. Значит, по крайней мере одну из точек а или Ь можно, согласно доказанному выше утверждению 2 выбрать за хо. Конкретно за хо следует выбрать ту из двух точек а или 6, для которой приближение х~=с" (хо) не выходит за преде- лы сегмента [а, 6], На практике чаще всего встречается случай, когда производ- ная Г'(х) имеет на сегменте [а, 6] определенный знак.

Если этот знак положителен, то из формулы (11.2) следует„ что последова- тельность ('х,) монотонна. Этот случай приводит к так называе- мой ступенчатой диаграмме, изображенной на рис. 11.2. Если же производная Г'(х) отрицательна на сегменте [а, Ь], то из той же формулы (11.2) видно, что любые два последовательных элемен- та х„~ и х„лежат по разные стороны от корня с. 42б Гл. ! ц Приближенные методы Рис. 11.2 Рнс. ! КЗ Этот случай приводит к так называемой спиралеобразной диаграмме, изображенной на рис. 1!.3. 3 а меч ание.

Характеристики

Список файлов книги