ilin1 (947407), страница 87

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

Возникает вопрос об оценке погрешности метода итераций, т. е. об оценке отклонения и-го приближения х. от точного значения корня с. Из формулы (11.5) непосредственно вытекает следующая оценка: (х„— с( ~ан ((> — а), где а — точная верхняя грань функции (Г'(х) ( на сегменте "(а, Ь), на котором изолирован рассматриваемый корень. Если производная Р'(х) отрицательна на сегменте 1а, 6), то, как указано выше, хи, н хн лежат по разные стороны от кор- ня с, и поэтому справедлива следующая оценка: (х„— с( ~1х„— х„|!. Если же в рассматриваемом случае взять за приближенное зна- чение корня полусумму двух последовательных приближений хи+ х„, Хн 2 то получим следующую оценку погрешности: (хн с( ~( 2 3.

Методы хорд н касательных. К числу широко распространенных приближенных методов решения уравнения 1(х) =О от-' носятся метод хорд и метод касательных, каждый из которых является одним из конкретных вариантов метода итераций. Прежде всего рассмотрим метод хорд. Пусть искомый корень уравнения й Н Приближенные методы вычисления корней уравнений 427 7(х) О (11.6) изолирован на некотором сегменте [а, Ь]. Предположим, что функция у=[(х) имеет на сегменте [а, Ь] монотонную и непрерывную производную, сохраняюсцую определенный знак.

При этом возможны четыре случая: 1'. ['(х) не убывает и положительна иа [а, Ь]; 2"'. ['(х) не возрастает и отрицательна на [а, Ь]; 3'. )'(х) не возрастает н положительна на [а, Ь]; 4', ['(х) не убывает и отрицательна на [а, Ь]. Ради определенности подробно рассмотрим случай 1'. Рассмотрим вместо уравнения (11.6) уравнение вида х=Р(х), Р(х) =х — ( ) (Ь) — (х) (11.7) Легко видеть, что изолированные на сегменте [а, Ь] корни уравнений (11.6) и (11.7) совпадают, и поэтому на сегменте [а, Ь] эти уравнения эквивалентны. Для решения уравнения (11.7) прнменнм к этому уравнению метод итераций, выбрав за нулевое приближение хо точку а. Как обычно, определим последовательность (х,) по рекуррентной формуле х„=Р(х„1), п=1, 2, ....

Докажем, что последовательность (х„) сходится к искомому корню с. Для этого, в силу утверждения 1 из п. 2, достаточно доказать, что все х„лежат на сегменте [а, Ь] и что последователь. ность (х„) сходится. Применяя метод индукции, докажем, что все х„лежат на сегменте [а, Ь], точнее, на сегменте [а, с], где с — искомый корень. Так как хс лежит на сегменте [а, с], то для проведения индукции достаточно, предположив, что х„лежит на указанном сегменте, доказать, что х„+1 также лежит на этом сегменте. По- скольку х .т=Р (х„)=х„— (Ь вЂ” х.) 7(х„) 1(Ь) — г(х„) то, учитывая, что 1(с) =О, будем иметь ** (11.8) (Ь вЂ” х„) Г(хп) (Ь вЂ” хл) [Г (с) — Г (х„)] х т х„— Г (Ь) Г (ха) [Г ( Ь) Г (с)] + [г (с) Г (хл)) Применяя к выражениям в квадратных скобках формулу Лагранжа, получим 1 (Ь) ' При атом мы считаем, что г" (Ь) =Ь вЂ” —,. Тогда функция Р(х) Р(Ь) будет непрерывна иа всем сегменте [и, Ь].

*' В дальнейшем мы предполагаем, что х <с, ибо если х„=с, то 1(х„) = =1(с) =0 и, анашгв х„ч1=-х,.=-с, т. с. принадлежность х +г сегменту [с, с] установлена, Гл. 11. Приближенные методы 428 (Ь вЂ” х ) 1' Йл) (е — хл) ( — ) 1'(В.")+ ( — ") Р (5.) (11.0) где х„<$„<с, с<с„е<Ь, т. е. к„<~„е. В силу неубывания и положительности производной )" (х) можем записать 0<1'Д,) <)'(к„е). Отсюда, так как Ь вЂ” с>0 и с — х„>0, получим (Ь вЂ” с)~'Д„е)+ (с — х ))'(4„)» [(Ь вЂ” с)+ (с — х„)]['Д„) = = (Ь вЂ” х.) Г(4.). Таким образом, из равенства (11.9) найдем хны — х„.<с — х„, мли х„+~<с, т.

е. индукция проведена. Докажем теперь, что последовательность (х„) является неубываюа(ей. Для этого достаточно доказать, что дробь, стоящая в правой части равенства (11.8), является неположительной. Так как производная 1'(х) положительна иа сегменте [а, Ь], то функция 1(х) возрастает на этом сегменте, и поэтому из неравенств х <с<Ь следует, что 1(х„) «~(с) =О, 1(Ь) — 1(х„) >О. Отсюда и вытекает неположительность указанной дроби.' Итак, последовательность ~х„) не убывает и ограничена сверху числом с.

По теореме 3.1о эта последовательность сходится. В силу утверждения 1 п. 2 пределом ее является искомый корень. Дадим геометрическую иллюв страцию рассмотренного выше случая 1'. Из формулы (11.8) вытекает, что хны является абсциссой точки пересечения хор. ды, соединяющей точки А„(х„, Ь 1(хн) ) и В(Ь, 1(Ь) ) графика функции у=1(х) с осью Ох (на Ах рис. 11.4 изображены точки А~. Ат н Ан). Как уже указано выше, кро- А =Ар ме рассмотренного выше случая 1' возможны еше следующие три случая: 2' производная 1'(х) не возрастает и отрицательна на сегменте [а, Ь], 3' производная 1'(х) не возрастает и положительна на сегменте [а, Ь], 4' производная не убывает и отрицательна на сегменте [а, Ь].

Эти случаи изображены соответственно на рис. 1!.5, 1 1.6, 1 1.7. В случае 2" уравнение (11.6), так же как и выше, заменяется уравнением (11.7) и в качестве нулевого приближения берется точка хо=а (при этом последовательность (х ) также оказывается неубывающей). В случаях 3" и 4' уравнение (11.6) заменяется ,не уравнением (11.7), а следующим уравнением й 1, Приближенные методы вычисления корней уравнений 429 х=Р(х), Р(х) =-х— 1(а) — 1(х) и в качестве нулевого приближения берется точка хо=Ь (при этом последовательность (х„) оказывается невозрастающей), Рис. 11.5 Рис.

11.6 Приведенная выше геометрическая иллюстрация является источником наименования метода хорд. Перейдем теперь к изложению метода к а с а т е л ь н ы х и л и .метода Ньютона. Пусть, как и выше, искомый корень с уравнения (11.6) изолирован на сегменте (а, Ь), на котором Дх) имеет непрерывную и монотонную первую производную, сохраняющую определенный знак. При этом возможны те же самые четыре случая, которые от.

а мечены при изложении метода хорд. Рис. 11.7 Ради определенности рассмотрим подробно случай 1', т. е. предположим, что производная 1'(х) не убывает и положительна на сегменте (а, Ь]. Заменим уравнение (11.6) эквивалентным ему на сегменте ,(а, Ь) уравнением х=Р(х), где Р(х)=х —, (11.10) Г (х)' и будем решать последнее уравнение методом итераций, приняв .за нулевое приближение хо точку Ь и определив последовательность (х„) рекуррентной формулой х„,=Р(х„) =х„— (11.11) Г (хл) Чтобы доказать, что последовательность (х„) сходится к искомому корню с, достаточно в силу утверждения 1 п.

2, доказать, что все х„лежат на сегменте [а, Ь] и что последовательность (х„) сходится, Применяя метод индукции, докажем, что все х„лежат на сегменте (а, Ь), точнее, на сегменте (с, Ь], где с — искомый корень. 'Так как хо=Ь лежит на сегмгите 1с, Ь], то дли пРоведениЯ ин- Гл. Ы. Приолижеииые методы 430 Применяя к выражению, стоящему в числителе последней дроби, формулу Лагранжа, найдем х — х =(х — с) /' йл) р (хл) где с<5л<х„. В силу неубывання и положительности производной дробь " положительна и не превосходит единицы, т.е.

!' (хл) хл — хи+1~к„— с или хл.н=-.-с. Таким образом, индукция проведена. Из положительности производной Г'(х) следует возрастание функции !(х), а поэтому из неравенства с(хл следует, что 0=1(с) с[(х„). Таким образом, [(х„)!)'(х„)»0. Отсюда в силу формулы (11.11) х„+~~к„, т. е. последовательность (хл) не возрастает. Так как эта последовательность, кроме того, ограничена снизу числом с, то по теореме 3.15 она сходится. В силу утверждения 1 из п.

2 пределом ее является искомый корень с. Дадим геометрическую иллюстрацию рассмотренного нами случая 1'. Из формулы (11.11) вытекает, что х„е1 является абсциссой точки пересечения с осью Ох касательной к графику функции у=[(х) в точке В„(хл, )(х„)) (на рис. 11.8 изображены точки Вм В, и В.). Приведенная геометрическая иллюстрация является источником наименования метода касательных. Предлагаем читателю самостоятельно разобрать метод касательных для случаев 2", 3', 4', указанных при изложении метода хорд.

3 а м е ч а н и е 1, Возникает вопрос об оценке погрешности метода хорд и касательных, т. е. об оценке отклонения л-го приближения от точного значения корня с. Применяя к выражению 1(х„) =((х„) — )'(с) формулу Лагранжа, будем иметь 1(х„) = = (х„— с)Г'(~„). Отсюда получим следующую оценку: [х„— с[< т (11.12) где т — минимальное значение [Г'(х) [ на сегменте [а, Ь[.

Фор- мула (11.!2) позволяет. оценить отклонение х„от точного значе- ния корня с через значение модуля заданной функции у=)(х) в точке х„. дукции достаточно, предположив, что х„лежит на сегменте [с, Ь[, доказать, что и хиы также лежит на этом сегменте. Если х„=с, то ('(хи) =-[(с) =О, и из формулы (11.! 1) следует, что х,е1=х„=с, т. е. индукция проведена. Пусть теперь х„)с. Тогда из формулы (11.11), учитывая, что 1(с) =О, получим 1 (хл) — 1 (с) Кл — х,+, —— 1' (ил) й 2, Прнближевные методы вычисления определенных интегралов 431 3 а меч ание 2.

На практике часто используют комбинированный метод, заключающийся в поочередном применении метода хорд и метода касательных. Ради определенности остановимся иа подробно рассмотренном выше случае 1', т. е. предположим, что Г'(х) не убывает и положительна на сегменте (а, Ь] (рис.

1!.9). Определим х~ по методу касательных, взяв за нулевое приближение точку Ь. Пбсле этого определим хы применяя в;-в Рис. 11.8 Рис. 11Л метод хорд, но не к сегменту (а, Ь], а к сегменту [а, хг]. Далее, определим ха по методу касательных, исходя из уже найденного хб а х4 по. метоДУ хоРД, пРнменЯЯ его к сегментУ [хх, ха]. Указанный процесс иллюстрируется на рис. 11.9. Преимущества комбинированного метода состоят в следую.

Характеристики

Список файлов книги