ilin1 (947407), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Пусть кривая Е задана в полярной системе координат уравнением г=г(0), си<0 <р (рис. 102), причем функция т(0) непрерывна и неотрицательна на сегменте [а, р). Назовем криволинейным сектором плоскую фигуру, ограниченную кривой ~ и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и и р. Докажем следующее У т в е р ж д е н и е.
Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру Р, площадь 1а(Р) которой может бытьвьгчислена по формуле 416 Гл. 1О. Геометрические приложении определенного интеграла Обратим внимание на то, что первая из этих сумм является нижней суммой з, а вторая — верхней суммой 5 функции — г (О) 1 2 на сегменте [а, р1 для указанного разбиения этого сегмента. Так как непрерывная на [а, р) функция — г'(О) интегрируема на 2 этом сегменте, то для любого е)0 найдется разбиение, для которого разность 5 — з=1с(В) — п(А) меньше е.
Так как А и  — две квадрируемые фигуры, первая из которых содержится в криволинейном секторе г", а вторая содержит Е, то в силу теоремы 10.2' криволинейный сектор квадрируем. Справедливость для его площади формулы (10.29) вытекает из того, что эта площадь 1т(Р) заключена между з=1г(А) и 5=в(В), а обе суммы з и 5 стремятся к интегралу, стоящему в правой части (10.29), при стремлении диаметра разбиения к нулю. 4.
Примеры вычисления площадей. 1.' Найти плошадь 1с(Г) фигуры Е, ограниченной графиками функции у=х" и х=у, а~1 (рис. 10.3). Поскольку фигура Р симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то ее площадь может быть получена посредством вычитания из единицы (плошади квадрата) удвоенной площади криволинейной трапеции, задаваемой графиком функции у=х", а~ 1, иа сегменте [О, 11. Таким образом, по формуле (10.28) мы получим, что 1 хо+1 р(В)=1 — 2~ (х=1 — 2 [ " ( се+1 )о се+1 2'.
Через три точки с координатами ( — Й, Уо), (О У~)~ (" Уе) проходит только одна парабола У=Ах'+Вх+Р (или прямая, если эти точки лежат на одной прямой). Рис. 10Л Рис. 10.3 В самом деле, условия расположения точек ( — й, уе), (О, у1), (6, у,) на параболе приводят к системе уравнений относительно А, В, 0 417 4 3. Объем тела в прастраистве А)тт — В)с+1)=Уа, В=ум Айт+Вй+В =у,.
Эта система имеет единственное решение  — — 1~ — у 2аа 2п Н " ощадь 1т(Г) криволинейной трапеции тс, определяемой айдем пло указанной параболой, ординатами в точках ( — , ) и (, ) резком оси Ох между этими точками (рис. 10.4). По фор мул е (10.28) р (р) =- ~ (Ах'+ Вх+ 0) Ых = ~ Яла Нлт ~а 2ЯЙ 2яаа 3 2 ) а 3 Рис. !0.3 Рис. 10.б Подставляя найденные значения А и В через ординаты уа, у~ и ут и величину Ь, получим рт(У) = — (до+ 4у,+ у,).
3'. Н лощадь р(тс) тр ил исти и к а г4 асов 39 (рис. айти п о но вычислить 10.5). И исунка можно заключить, что достаточно вь з ри и 9 от 0 до площадь ь части трилистника, отвечающей изменению 9 . Поэтом по о . л/6, и полученный результат умножить на шесть.. у ф р. муле (10.29) получаем, что а п1 р (У) = 6 — ' ( созе 30с(0 = 2 а и/б мп бб и/б пат о 14 заи. и 418 Гл. 10. Геометрические прилолгения определенного интеграла й 3. ОБЪЕМ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ Основные определения и утверждения настоящего параграфа аналогичны соответствующим определениям и утверждениям 5 2.
Это позволяет нам ограничиться основными формулировками. 1. Объем тела. Рассмотрим множество всех точек пространства и фиксируем одну из этих точек А. н-о к р е с т н о с т ь ю т о ч к и А будем называть множество всех тех точек пространства, которые расположены внутри шара радиуса е с центром в точке А. Точку А будем называть внутренней .(внешней) точкой произвольного множества точек пространства (М), если найдется е)0 такое, что е-окрестность точки А целиком принадлежит 1целиком не принадлежит) множеству (М).
Точки множества (М), не являющиеся ни внутренними, ни внешними, назовем гран и ч н ым и точками множества (М), а совокупность всех граничных точек назовем г р а н и ц е й множества (М). ' Множество (М] точек пространства назовем о г р а н и ч е иным множеством или телом, если найдется шар, содержащий все точки этого множества. Среди всех тел выделим так называемые м н о г о г р а н н ы е тела, представляющие собой объединение конечного числа ограниченных многогранников. Объем многогранного тела заимствуем нз курса средней школы. Подчеркнем, что этот объем (как. и площадь многоугольной фигуры) обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности.
Рассмотрим произвольное тело Р, а также всевозможные многогранные тела Р, содержащиеся в Р, и всевозможные многогранные тела О, содержащие Р. Назовем в е р х н и м об ъе м о м ' тела Р точную нижнюнэ грань числового множества (14(О)) объемов всех многогранных тел О, содержащих Р т. е. число 14* = р* (Р) = (п1 р (О).
о~е Аналогично назовем н и ж н и м о бъ е м о м тела Р точную верхнюю грань числового множества (14(Р)) объемов всех многогранных тел Р, содержащихся в Р, т. е. число р.=р.(Р)= црр(Р). ест Из этих определений очевидно, что а ~1г*. О п р е д е л е н и е 1. Тело Р называется к у б и р у е м ы м (или имеющим объем), если 1г*=р*. При этом число 1г=р(Р) =1г*=14, называется объем ам тела Р.
В полной аналогии с теоремой 10.2 доказывается следующее утверждение. 4 3. Объем тела в пространстве 419 Т е о р е м а 10.4. Для кубируемости тела Е необходимо и достаточно, чтобы для любого г)0 нашлись такое содержащиеся в Е многогранное тело Р и такое содержащее Е многогранное тело 6, для которых 14(тг) — 14(Р) <г.
3 а м е ч а н и е. В формулировке теоремы 10.4 вместо многогранных тел Р и (г могут быть взяты п р о и з в о л ь н ы е куб нр у ем ы е т ел а Р и Я, удовлетворяющие всем другим условиям этой теоремы. Определение 2. Множество точек пространства назо вем множеством о б ъ е м а н у л ь, если это множество содержится в многогранном теле сколь угодно малого объема. Теорема 10.4 может быть переформулироваиа.
Теорем а 10.4'. Тело Е кубируемо тогда и только тогда, когда его граница имеет объем нуль. Введенное нами понятие объема тела обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности. 2. Некоторые классы кубируемых тел. Цилиндрическим т ел ам будем называть тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси. Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, называемые о с н о в а н и я м и цилиндрического тела, а расстояние й между основаниями цилиндрического тела называется его в ы с о т о й (рис.
10.6) .. Справедливо следующее У т в е р ж д е н и е. Если основанием цилиндрического тела Е является плоская квадрируемая фигура 6, то тело Е кубируемо, причем объем 14(Е) этого тела равен 14(6)й, где 14('6) — площадь основания 6, а й — высота этого цилиндрического тела. До к аз а тельство. Поскольку плоская фигура 6 квадрируема, то для любого е>0 можно указать такие описанную н вписанную в эту фигуру многоугольные фигуры Я и Р, что р Я) — 14(Р) <е/й. Объемы цилиндрических многогранных тел Еч и Еэ, основанием которых служат многоугольные фигуры Я и Р, а вьюота которых равна Ь, равнь1 соответственно 14Я)й и р(Р)й.
Поэтому 1х(6) й — р(Р) й= ~р(6) — р(Р)1 Ь ( — Ь= Л Так как многогранное тело Ео содержит Е, а многогранное тело Ее содержится в Е, то в силу теоремы 10.4 тело Е кубируемо. Поскольку р(Р)Ь~14(6)й«14Я)й, то объем цилиндрического тела Е равен 14(6)й. Из свойства аддитивности объема и из доказанного утверждения вытекает кубируемость с т у п е н ч а т ы х тел (ступенчатым телом называется объединение конечного числа цилиндрических тел, расположеннь1х так, что верхнее основание каждого 14* 420 Гл.
10. Геометрические приложения определенного ггитеграла предыдущего из этих тел находится в одной плоскости с нггжним основанием последующего; см. рис. 10.7). Рис. 10.0 Рис. 10,7 р(Р) =и] )т(х)с(х. а (10.30) Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьем сегмент [а, Ь] на частичные сегменты точками а=хс<х,«...х„=Ь. Пусть тг и Мг — точные гРани 1(х) на частичном сегменте [хг ь хг].
На каждом таком сегменте построим два прямоугольника с высотами гпг и Мг (на рис. 10.8 эти прямоугольники изображены только па одном сегменте [х; г, хг]). В результате получатся две ступенчатые фигуры, одна из которых содержится в криволинейной трапеции, а другая содержит ее. При вращении криволинейной трапеции н этих ступенчатых фигур мы получим тело Р и два ступенчатых тела, одно из которых Я содержит Р, а другое Р содержится в О. Объемы этих тел О н Р равны соответственно Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает утверждение. Если для любого положительного числа е можно указать такое содержащее Р ступенчатое тело Рг и такое содержа- ЩеесЯ в Р стУпенчатое тело Рь что 1г(РД вЂ” 1с(Ря) <гь то тело Р кУ- бируемо. Пользуясь этим, докажем кубируемость тела вращения.
Утвер жде н не. Пусть функция у=1(х) непрерывна на сегменте,[а, Ь]. Тогда тело Р, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 11'(х) ) ординатами в точках а и Ь и отрезком оси Ох от а до Ь„. кубируемо и его объем 1г(Р) может быть найден по формуле 421 Е 3. Объем тела в пространстве а П р (О) =- н~ М,'йх„)ь(Р) =- нЯ пттйх!. ь=! ! 1 Легко видеть, что эти выражения представляют собой верхнюю и нижнюю суммы для функции н)а(х).
Поскольку эта функция интегрируема, то разность указанных сумм для некоторого разбиения сегмента [а, Ь) будет меньше наперед взятого положительного числа е. Следовательно, тело кубируемо. Поскольку предел указанных сумм при стремлении диаметра разбиения сегмента ь [а, Ь1 к нулю равен и ') )а(х)дх, то объем 1ь(Е) тела Е вычис- а ляется по формуле (10.30). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
