ilin1 (947407), страница 83

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 83)

** Причем разность Рз Рг двух многоугольных фигур представляет собоа также многоугольную фигуру. й 2. Площадь плоской фнгуры фигуру Ра взятой с границей, а фигуру Р, взятой без границы. При такой договоренности разность Ра',Р, будет представлять собой некоторую многоугольную фигуру, взятую с границей.

Перейдем теперь к определению площади некоторой произвольной плоской фигуры Р (т. е, некоторого произвольного ограниченного множества точек плоскости). Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в Р, и многоугольные фигуры 1г, целиком содеожащие Р. Фигуры Р будем называть апис а иным и, а фигуры 1~ — описанными. Числовое множество (р(Р)) площадей всех вписанных многоугольных фигур Р ограничено сверху (например, площадью любой описанной многоугольной фигуры сг). Числовое множество (1сЯ)) площадей всех описанных вокруг фигуры г многоугольных фигур 1г ограничено снизу (например, нулем).

Поэтому существуют точная верхняя грань, 1ь,=1с.(Р)=зпр (Р) Рщг (10,24) плошадей всех многоугольных фигур, вписанных в фигуру Р, н и точная нижняя грань и' = 1а' (Р) = 1п1 р,(ф ощг (10.25) площадей всех многоугольных фигур, описанных вокруг Р. Заметим, что если в фигуру Р нельзя вписать ни одного многоугольника, то по определению полагается 1а.=0. Величину и.

называют н и ж ней площадью фигуры Р, а р* — верхней площадью этой фигуры. Из того, что плошадь л|обой вписанной фигуры не больше, чем площадь любой описанной фигуры, следует, что р (Р)~р (Р). Определение 1. Ллоская фигура Р называется квадрируемой (или имеющей площадь), если верхняя площадь и' этой фигуры совпадает с ее нижней площадью и,. При этом число р=р(Р) =1ь*=и. называется ил о ща д ь ю фигурьс Р. Ясно, что всякая многоугольная фигура Р является квадрнруемой в смысле данного нами определения и для нее площадь )ь(Р) =1ь*(Р)=..р (Е), являющаяся точной нижней гранью площадей описанных многоугольных фигур н точной верхней гранью площадей вписанных фигур, совпадает с исходной величиной площади, заимствованной из элементарного курса.

Таким образом, мы распространили понятие площади многоугольников на некоторый более широкий класс фигур. Сохранение свойств аддитивности, инвариантности и монотонности будет доказано ниже. 408 Гл. !О. Геометрические приложения определенного интеграла Начнем с доказательства следующего критерия квадрируемостн плоской фигуры. Теорем а !0.2.

Для квадрируемости плоской фигуры Р необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлись такая описанная вокруг Р многоугольника фигура () и такая вписанная в Р многоугольная фигура Р, для которых и Я) — 1л(Р) <г. (10.26) До к аз а тел ьств а. Необходимость. Пусть фигура Р квадрнруема, т.

е. и*= 1с.. По определению точных граней (10.24) н (10.25) для любого фиксированного нами з>0 найдутся вписанная многоугольная фигура Р и описанная многоугольная фигура сг такие, что — — < р (Р) < р., р* ., р (1г) < р'+ — '. Из этих неравенств и из равенств 1л"=1л. заключаем, что 1лЯ) — 1л(Р) <е. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть для любого г>0 существуют много- угольные фигуры сг и Р, указанные в формулировке теоремы. Тогда из неравенства (10.26) и из соотношений р(Р) . и*< р" < и Я) получаем, что 0~1с* — 1г (1гЯ) — 1г(Р) <е. Поскольку в — произвольное положительное число, то из ус. ловия 0<1л* — и.<г вытекает, что 1с"=1г+, т.

е. доказано, что фигура Р квадрируема. Теорема доказана. Теорема 10.2 допускает простое, но важное обобщение: в ее формулировке вместо описанной и вписанной многоугольных фигур (г и Р можно взять произвольные описанную и вписанную квадрируемые плоские фигуры 1;1 и Р.

Именно справедлива теорема. Теорем а 10.2'. Для квадрируемости плоской фигуры Р необходимо и достаточно, чтобы для любого г>0 нашлись такие содержащая Р квадрируемая плоская фигура (г и такая содержащаяся в Р квадрируемая плоская фигура Р, для которых рЯ) — р(Р) <з Необходимость доказательства не требует, ибо многоугольные фигуры сг и Р являются квадрируемыми. Докажем достаточность.

Фиксируем произвольное е>0 и построим по нему квадрируемые плоские фигуры г и Р, первая из которых содержит Р, а вторая содержится в Р, такие, что р Ж) — р(Р) < — '. 2 (10.26') з 2. Площадь плоской фигуры Так как (г и Р— квадрируемые плоские фигуры, то найдется многоугольная фигура сг, содержащая Я, и многоугольная фигура Р, содержащаяся в Р, такие, что р(Ф вЂ” рй)( — ', р(Р) — р(Р)( — '. а а Из двух последних неравенств и из (10.26') вытекает, что 1з((~) — р(Р)(а. Но тогда, поскольку многоугольная фигура 4 содержит Р, а многоугольная фигура Р содержится в Р, фигура Р квадрируема в силу теоремы !0.2.

Установим теперь еще одну эквивалентную формулировку теоремы 10.2. Пусть Р— произвольная плоская фигура, Я вЂ” многоугольная фигура, взятая вместе с границей и содержащая фигуру Р, а Р— многоугольная фигура, содержащаяся в фигуре Р и взятая без границы. Тогда разность гг',Р представляет собой многоугольную фигуру, взятую вместе с границей и содержащую все точки дГ фигуры Р*. В силу свойства аддитивности площади многоугольной фигуры справедливо равенство 1х(Я'~Р) =1зЯ) — 1з(Р), из которого следует, что неравенство (10.26) в формулировке теоремы 10.2 может быть переписано в виде 1з(Я",Р) <в. (10.26") Договоримся о следующей терминологии.

Определение 2. Множество точек плоскости назовем множеством и л о щ а д и н у ль, если оно содержится в многоугольной фигуре сколь угодно малой площади. Неравенство (10.26") и тот факт, что многоугольная фигура Я',Р содержит все точки границы дР плоской фигуры Р, дают нам право следующим образом переформулировать теорему 10.2. Те о р е м а 10.2". Плоская фигура Р квадрируема тогда и только тогда, когда ее граница дР имеет площадь нуль.

Необходи,ность условия теоремы очевидна. Остановимся иа доказательстве достаточности. Впишем плоскую фигуру Г в квадрат Е со сторонами, параллельными координатным осям, и прямыми, параллельными этим осям, разобьем квадрат Е на элементарные квадр а т ы со стороной й. Это разбиение квадрата Е договоримся называть сеткой с ш агом й. Докажем сначала, что если граница дР фигуры Г содержится в многоугольной фигуре площади, меньшей е, то при доста- * Это следует нз того, что любая внутренняи точка многоугольной фигуры Р является внутренней точкой Р, а любая внешняя точка многоугольной фигуры Я является внешней точкой Р. достаточно учесть, что разность Я Р содержит все точки плоскости, кроме внешних точек 0 и внутренних точек Р. 410 Гл.

1О. Геометрические приложения определенного интеграла точно малом шаге г| сетки граница дР фигуры Р содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше 32 и. В с а мам деле, достаточно заметить, что любая многоугольная фигура, площади меньшей и, представляет собой сумму конечного числа треугольников, не имеющих общих внутренних точек; каждый треугольник равен объединению двух прямоугольных треугольников (без общих внутренних точек); каждый прямоугольный треугольник содержится во вдвое большем по площади прямоугольнике; каждый прямоугольник содержится в объединении не более чем вдвое большей по площади сумме конечного числа квадратов; каждый квадрат содержится во вдвое большем по площади квадрате со'сторонами, параллелиными осям координат.

Итак, любая многоугольная фигура площади, меньшей г, содержится в объединении конечного числа квадратов со сторонами, параллельными координатным осям общей площади, меньшей 8е. Из указанного конечного числа квадратов выберем квадрат с наименьшей стороной (если таких квадратов несколько, то выберем один из них) и возьмем шаг й сетки равным половине длины стороны этого квадрата. При таком выборе й каждый указанный квадрат (со сторонами, параллельными координатным осям) будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых не больше учетверенной площади квадрата.

Поэтому вся многоугольная фигура, площади меньшей г, содержится в объединении элемечтарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше 32г. Значит, если граница дР плоской фигуры Р имеет площадь нуль, то для любого г)0 при указанном выше выборе шага сетки й вся эта граница дР будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше 32 е. Для завершения доказательства достаточности заметим, что объединение всех элементарных квадратов, состоящих только из внутренних точек фигуры Р, представляет собой многоугольную фигуру Р, содержащуюся в Р, а объединение этой фигуры Р со всеми элементарными квадратами сетки, содержащими точки границы дР фигуры Р, представляет собой многоугольную фигуру Щ содержащую фигуру Е, причем 1|Я) — 1|(Р) (32 е. Пользуясь этой теоремой, установим квадрируемость широкого класса, плоских фигур.

Характеристики

Список файлов книги