ilin1 (947407), страница 72
Текст из файла (страница 72)
в) Пусть функции ((х) и й(х) интегрируемь) на сегменте [а, Ь]. Тогда Я(х)д~х) также интегрируема на этом сегменте. Запишем очевидное тождество: 4((х) й(х) = [((х) +д(х) ]' — [((х) — д(х) ] '. Заметим, далее, что в силу теоремы 9.4 из интегрируемости какой- либо функции и(х) следует интегрируемость ее квадрата". Поскольку функции )(х)+й(х) и ((х) — д(х) по свойству а) интегри. руемы, то по сказанному интегрируемы и их квадраты, а следовательно, в силу указанного, функция [(х)д(х) интегрируема. г) Пусть функция 1(х) интггриругма на сегменте [а, Ь].
Тогда эта функция интегрируема на любом сегменте [с, д], содержагцгмся в сегменте [а, Ь]. Выберем произвольное число в>0 и такое разбиение (хь) сегмента [а, Ь], что 3 — з<в. Добавим к точкам разбиения (хь) точки с и А Для верхних сумм 5' н нижних з' вновь полученного разбиения (ха'] в силу леммы 3 9 2 тоже будет справедлива оценка Я' — э'<в. Рассмотрим разбиение (хь) сегмента [с, й], образованное точками разбиения (хь') всего сегмента [а, Ь].
Для верхних и нижних сумм Я и э разбиения (хь) выполнено, очевидно, соотношение Б — э<Я' — э', поскольку каждое неотрицательное слагаемое (Мь — та)йха в выражении Я вЂ” й будет слагаемым и в выражении 5' — э'. Таким образом, 8 — з<г, и функция 1(х) интегрируема на сегменте [с, й]. Свойство г) доказано.
* так как иа(х) =фи(х)) при ф(1) =н и функция ау(1) удовлетворяет условию Липшипа на любом сегменте (т, М), ибо для любых 1, и 1а иа сегмента (т, М) справедливо неравенство ]гр(11) — гр(1г) ) = [га1 — 1га[= [6 — 1а( [1~+ге[~ <С[1~ — 1г[, где С вЂ” наибольшее иа двух чисел 2(т[ и 2)М(. $ 4. Свойства определенного интеграла 349' Будем по определению всегда считать, что интеграл Римана от функции', взятьгй в пределах от точки а до точки а, равен с нулю, и. е. ) 1(х)йх=О.
Это свойство следует рассматривать как в соглашение. Условимся также о том, что при а<Ь по определеа ь нию ) ~(х) дх= — ~ ~(х) йх для любой интегрируемой функции. ь в Эту формулу следует также рассматривать как соглашение. д) Если функция Я(х) интегрируема на сегментах [а, с] й [с, Ь], то функция Ях) ингегрируема и на сегменте [а, Ь], причем ь с ь 1 ~ (х) йх = ) ) (х) йх+ ~ ) (х) йх. в с с При а=Ь это свойство справедливо в силу принятых выше соглашений. Предположим сначала, что а<с(Ь. Выберем произвольное число в) О.
Пусть (хь') и (хь") — такие разбиения сегментов [а, с] и [с, й], что на каждом из этих сегментов 5 — з<в/2. Пусть (хь) — разбиение сегмента [а, Ь], состоящее из точек разбиений (хь') и (хь"). Очевидно, что разность между верхней и нижней суммами разбиения (хь) не будет превосходить г. Интегрируемость функции г(х) на сегменте [а, Ь) доказана. Пусть теперь (хь) — произвольное разбиение сегмента [а, Ь] „содержащее с. Тогда ~ 1($.) йхь = Х'1(йь) йхь+ Х" 1(Ы Лх. и-1 где Х' берется по частичным сегментам, принадлежащим [а, с], а Хв — по частичным сегментам, принадлежащим [с, й].
Посколь- ку это верно для любого разбиения, то, перейдя к пределу при стремлении диаметра разбиений к нулю, получим, что ь с И ) у (х) йх = ~ ) (х) йх+ ) ~ (х) йх. о с с Если с не принадлежит [а, Ь], то сегмерт [а, Ь] принадлежит либо [с, Ь], либо [а, с]. Пусть, например, с(а<Ь. В силу свой- ства г) функция [(х) интегрируема на [а, Ь] Действительно, функция )(х) интегрируема на [с, Ь] по условию, а [а, Ь] с: [с, Ь]. Далее, поскольку с<а<Ь, с ь ь ) ((х)йх+] ~(х) йх=-) ~(х) йх. с а с ' Функция в точке а определена и принимает конечное значение, Гл.
9. Определенный интеграл Римана :зео Но по принятому соглашению ) 1(х)дх= — ) Г(х)дх. Таким обе а ,.разом, свойство д) установлено нами и для случая, когда с лежит вне сегмента (а, Ь). Заметим, что формулу этого свойства можно записать так: ь а ~ ~ (х) йх + ~ ~ (х) дх+ ~ ~ (х) йх = О. а с ь 2. Оценки интегралов. а) Если функция 1(х) интегрируема на сегменте (а, Ь) и г!х)>0 для всех х из (а, Ь), то интеграл от функции 1(х) по этому сегменту неотрицателен. Доказательство следует из того, что для любого разбиения (хь) н любого выбора йь интегральная сумма а а=~' ~(Е„,) Лхь)~0. ! — ! 'В этом случае предел интегральных сумм тоже будет неотрицате.лен.
Действительно, допустим, что предел А этих сумм отрицателен. Пусть в=~А(. Выберем разбиение (хь) такое, что )а — А~< < ~А~. Но последнее неравенство может выполняться, только если ь о<0, что противоречит условию о>0. Значит, ) 1(х)йх>0. а б) Интегрирование неравенства. Если функции 1(х) и у(х) гинтегрируемы на сегменте [а, Ь) и 1(х)н-д(х) для все» х из ь ь (а, Ь), то ) 1(х) йх~~,') у(х) йх. а а Действительно, функция у(х) — 11х) интегрируема и неотрица.тельна на (а, Ь), так что ь ~ (у(х) — ~(х)) йх> О. а ь ь Но тогда в силу свойства а) из п. 1 ) у(х) йх — ) 1(х) йх) О, что и требовалось установить.
в) Пусть функция 1(х) непрерывна и неотрицательна на сег.менте (а, Ь). Если существует хотя бы одна точка хе сегмента (а, Ь), в котоРой 1'(хь)>0, то найдетсЯ положительное число а какое, что ) Г (х) йх -: а О. а й 4, Свойства определенного интеграла Действительно, пусть )(хо) =б>О. Тогда в силу непрерывности функции ((х) в точке хо найдется такая окрестность, точки хо, что для любого сегмента [с, й), счьй, лежащего целиком в этой окрестности, будет выполнено неравенство )(х))(1(2 Но тогда в силу оценки из и. б) )(х)йх) ~~~(х)йх > "— йх=- й (й — ) = «> О. г р 3 2 2 а г с Следовательно, ) 1(х) йх Ъ ««> О. а г) Если функция ((х) интегрируема по Риману на сегменте (а, Ь), то функция [1(х) ~ интегрируема на этом сегменте и ь ь ~ ~ ~ (х) дх ~ ~( ~ Ц (х) (йх. е а Рассмотрим функцию «р(«) = («~.
Согласно теореме 9.4 из интегрируемости ((х) следует интегрируемость «р(((х)) =(1(х) ~ (так как функция «р(«) = (« ~ на любом сегменте удовлетворяет условию Липшица"). Выберем теперь число а=+.1 так, чтобы ««) )(х)йх) а ъО. Очевидно, что а((х)(~а((х) ~=(1(х) !. Тогда в силу свойства б) ь ь ь ~ ) ( (х) йх ~ = а ) ( (х) йх = ') а) (х) йх < ) () (х) (йх, что и требовалось. д) Первая формула среднего значения. Пусть каждая из функций Я(х) и я(х) интегрируема на сегменте (а, Ь) и функция д(х),. кроме того, неотрицательна (или неположительна) на этом сегменте. Обозначим через М и пт точные грани )(х) на сегменте "(а, Ь]* .
Тогда найдется число р, удовлетворяющее неравенствам гп((«М и такое, что справедлива следующая формула: ь ь ) 1 (х) д (х) йх = р ) и (х) йх. (е)« При дополнительном предположении о непрерывное~и ((х) на сег- " Функция «р(() = («(, очевидно, удовлетворяет условию Липшица на любом сегменте, ибо /«р(ьд — «рЩ ( = ~()«( — ((«((~((« — и', *' Интегрируемая на (а, Ь) функция ограничена на (н, Ь), и потому у нее существуют на (а, Ь) точные грани. 352 Гл.
9. Определенный интеграл Римана иенге [а, Ь[ можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка и такая, что справедлива формула ь ь ~ [(х) д(х) йх= ~($) ~ сг(х) дх. (ее) млн, что то же самое (в силу свойства б) из п. 1), ь ь ь т ~й(х) дх < 11(х)д(х)дх< М ) д(х)дх. 6 а а (еееа) ь и Могутпредставиться дваслучая:1) ) д(х) дх=О и 2) ~ д(х)дх >О. а И В первом случае нз неравенств (ееьь) вытекает, что ь ~[(х)д(х)дх=О, и потому формула (*) справедлива при любом р. а Во втором случае, поделив неравенства (ее ее) на ь ) к(х)йх, мы получим, что Формулу (ее) принято называть первой формулой среди его з н а ч е н и я.
Формулу (е) иногда также называют первой формулой среднего значения. Заметим сразу же, что формула (ее) сразу вытекает из формулы (*) и из того, что непрерывная на сегменте [а, Ь[ функция достигает на этом сегменте как своих точных граней М и па, так .и любого промежуточного значения 1ь(т'. «1ь<М). Таким образом, нужно доказать'только формулу (е). Для доказательства формулы (е) заметим, что по определению точных траней для любого значения х из [а, Ь[ справедливы неравенства т 7(х) <М. Предполагая ради определенности д(х) неотрицательной на '[а, Ь[,.мы получим, умножая последние неравенства на д(х), что для любого х из [а, Ь) ту (х) Я(х) а (х) (Му(х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
