ilin1 (947407), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

ха[ хи[хе и хе[ По определению верхней и нижней сумм и 5 — э = е~(М,— т,) Лхе. А-! Используя в этом соотношении установленное для выбранного нами разбиения неравенство Ма — та<э/(Ь вЂ” а), утверждающее, енто разность между точными гранями на любом частичном сегменте меньше е/(Ь вЂ” а), мы получим, что для выбранного раз'биения Гл. 9. Определенный интеграл Римана 3 42 л в 3 — з < — ~ 6»ха=в. ь — а А=1 По основной теореме заключаем, что функция /(х) интегрируема на [а, Ь). Теорема доказана.

Следующая теорема дает достаточное условие интегрируемости некоторого класса разрывных функций. Условимся говорить, что точка х покрьста интервалом, если она содержится в указанном интервале. Докажем следующую теорему. Теорема 9.2. Пусть функция //х) определена и ограничена на сегменте [а, Ь), Если для любого числа е>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих оби(ую сумму длин, меньшую в, то функция /(х) интггрируема по Риману на сегменте [а, Ь) .

Доказательство. Пусть М н т — точные верхняя н нижняя грани функции /(х) на сегменте [а, Ь). Заметим, что если М=т, т. е. функция /(х) постоянна„то, как мы уже доказали в $1, она интегрируема. Поэтому будем считать, что М>т. Пусть в>0 — произвольное число. Покроем точки разрыва функции /(х) конечным числом интервалов, сумма длин которых не превосходит числа в»=е/2. (М вЂ” гп).

Точки сегмента [а, Ь), не принадлежащие указанным интервалам, очевидно, образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся сегментов. Назовем эти сегменты дополнительными. На каждом из таких сегментов функция непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна. Значит, существуют такие числа 6»>0, что если ) $' — чл) < <бь то )/(9') — /(йм) ) <в/(2(Ь вЂ” а)) для всех $' и Ч", принадлежащих 1-му дополнительному сегменту. Пусть 6 =ппп 6,. Тогда если взять разбиения дополнительных сегментов на частичные сегменты так, чтобы диаметр каждого нз частичных сегментов не превосходил 6, то разность между точными верхней гранью Ма н нижней гранью та функции /(х) на й-м частичном сегменте будет не больше в/(2(Ь вЂ” а)). Объединяя все разбиения дополнительных сегментов и указанные выше интервалы с присоединенными к ним концами, мы получим разбиение (ха) всего сегмента [а, Ь].

Для так построенного общего разбиения [а, Ь) Я вЂ” з = ~» (Ма — та) Лх„= Г(Ма — т ) Лх + Х" (̄— та) азха, а=! где в сумму с одним штрихом отнесены слагаемые, отвечающие частичным сегментам, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а в сумму с двумя штрихами — все остальные. Рассмотрим первое слагаемое правой части записанного выше 5 3. Классы интегрируемых функций равенства. Поскольку ̄— !п»<М вЂ” и для любого Ь, то Х' (М,— т») Ах»< (М вЂ” т) Х'Ах» < з)2. Далее, в силу сказанного выше, нз свойства равномерной нее!рерывностн функции )(х) на дополнительных сегментах получаем, что Е" (М» — т»)Лх( Е'Лх,( (Ь вЂ” а)=- —.

2 (Ь вЂ” а) 2(Ь вЂ” а) 2 Таким образом, нами указано разбиение (х»), для которого 5 — э<з. По основной теореме получаем, что функция [(х) ннтегрнруема. Теорема доказана. С л е д с т в н е. Ограниченная на сегменте [а, Ь] функция у(х), имеюи(ая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на этом сегменте. 8 частности, кусочно непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Действительно, в условии предыдущей теоремы достаточно выбрать интервалы, покрывающие точки разрыва, одинаковой длнны, меньшей чем з/(2р), где р — число точек разрыва функции )(х). Замечание. Пусть функция )(х) ннтегрнруема на сегменте [а, Ь], а функция д(х) совпадает с функцией )(х) во всех точках сегмента [а, Ь], кроме, быть'может, конечного числа точек.

Тогда функция у(х) ннтегрнруема на сегменте [а, Ь] н ] Г(х)дх= ]»т(х)с(х. У к а з а н н е. Использовать схему доказательства следствия. Теорема 9.3. Монотонная на сегменте [а, Ь] функция Я(х) интегрируема по Рилсану на этом сегменте. Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай, когда функция ) (х) постоянна на сегменте [а, Ь], можно исключить. Рассмотрим, например, неубывающую на сегменте [а, Ь] функцию [(х). Пусть е)0 — произвольное число. Выберем разбиение (х») сегмента [а, Ь] с днаметром с(<з)(1(Ь) — )(а)). Заметим, что поскбльку )(х) не постои янна, то 1(Ь) >)(а).

Оценим разность 8 — з= ) (М» — и») Лх», »=1 М» н пт» — верхняя н нижняя грани )(х) на [х» !, х»]. Получим 8 — з( е~ (М» — и»)!(1'(Ь) — ) (а)). Но для неубывающей »»! и ФуНКцИИ ~ (М» — т»)=1(Ь) — 1(а) е. ПОЭтОМу 5 — Э<Е Н фуНКцИя »=! и Иоо Мх=!(х») =те+! прн»==1, 2, ..., и — 1, М„=)(Ь), т,=Да), $3. Классы интегрируемых функций Теорема 9.4'.

Пусть ['(х) — интегрируемая по Риману на регменте [а, Ь] функция, М и т — ее точные верхняя и нижняя грани на [а,'Ь]. Пусть, далее, функция ф(х) непрервдвна на сегменте [гп, М]. Тогда сложная функция й(х) =др[[(х)] интегрируема по Ри- ману на сегменте [а, Ь]. Доказательство.

Пусть С = шах [др(1)] н е — про- гл~[ЕМ нзвольное положнтельное число. Положим ид — — е/(Ь вЂ” а+2С)„ Ввиду того, что др равномерно непрерывна на [т, М], сущест- вует такое 6>0, что [др(11) — др([д) [<ег, если [11 — [а[<6 н [ь [а~[т, М]. Выберем 6 ещс н таким, что 6<ад. В силу нн- тегрнруемостн функции ['(х) на [а, Ь] существуст такое разбн- ение (х») сегмента [а, Ь], для которого 5 — 'в<6'.

Положим М» — — апр [ (х), т» = дп[ [ (х), х Е ['»-"»] «Е[х» д,х»] М»= зцр й(х), и»=- !п1 й(х). «Е[к» дл»] «а[к» д.к»] Разобьем целые числа 1, ..., и на два множества А н В: число йевА, если М» — т»<6, число ренВ, если Ми — т„ъб. Если ин- декс йенА, то М» — т,<6, следовательно, в силу равномерной непрерывности функции ф(1) на сегменте [т, М] получим, что М»" — т»*<ед, Действительно, если рассматривается индекс ФенА, то мы получим, что М» — т» — — — авр Т(х) — [п1 [(х) < 6, [«1,, к,] [к,к ] т. е. прв х, уен [хх 1, х»] разность [(х) — [(у) =[1 — [и по абсо.

лютной величине не превосходит 6: [[1 — ге[<6, где [1=](х), [д=[(у). Следовательно, в силу равномерной непрерывности функции гр на всем сегменте [т, М] мы получим, что [чд(1 (х)) гр(1 (у)) ] [др(д!) [р(дд) ] <з1. Гак как последнее неравенство справедливо для любых х н у, прннадлежащнх сегменту [х»-1, х»], то н зпр 1р (Г (х)) — дп1 гр (Г (х)) < еы [х,х ] [к, к»] Далее, если йенВ, то, очевидно, что М** — т»*<2С. Запишем теперь разность (5* н з — соответственно верхняя н ннжняя суммы функции й(х) для рассматриваемого разбиения (х»)) л В' — з" =-~," (М» — т»)Лх„=~ (М,— т») Лх»+ »=1 »ел + ~[ (М» — т») Лх»< е,(Ь вЂ” а) 4-2С ~ Лх».

»ЕВ «ЕВ 346 Гл. 9. Определенный интеграл римана Осталось произвести оценку для величины ~ Лх». Имеем »ив Ь т) Лх» < ~" (М» — т») Лх»<~~~ (М» — т») Лх» »ав »ив »=! (здесь мы пользуемся тем, что все слагаемые (М» — т»)ддх» являются неотрицательными). Учитывая, что при выбранном разбиении ~ (М» — т»)ддх»=5 — з< Ь', получаем, что »=1 Ь ~' ддх»<~ (М» — т»)Лх»< Ь', т.

е. ~' Лх»< Ь. »ив ~! »ев Окончательно получим, что 5' — з'<е (Ь вЂ” а)+2С~~ Лх»< »ев < ед (Ь вЂ” а) + 2СЬ < ад (Ь вЂ” а+ 2С) = е. (Выше мы воспользовались тем, что 6(е!.) Таким образом, функция й(х) интегрируема, и теорема доказана. Сл едет в и е. Если функция /(х) интегрируема на сегменте (а, Ь), то для любого положительного числа а функция 1/(х) ~" интегрируема на этом же сегменте. Действительно, достаточно рассмотреть непрерывную функцию !р(1) =1!)' и применить предыдущую теорему. Приведем несколько примеров, Примеры. 1) Пример интегрируемой функции, имеющей бес- конечное число точек разрыва.

Пусть на сегменте (О, 2/и) задана Э функция /(х)=зина)п — (рис, 9.4). Указанная функция имеет х разрывы 1-го рода во всех точках х» — — 1/пй, Ь=1, 2, 3, ..., а также разрыв 2-го рода в точке О. Фиксируем произвольное число е)0. Покроем точку х=О интервалом ( — е/4, и/4). Вне этого интервала находится лишь конечное число р точек разрыва функции. Число р зависит от заданного е. Покроем каждую нз этих точек интер- валом длины меньше е/2р.

Тогда все точки разрыва функции 1 1(х) =зяпз)п — будут покрыты конечным числом интервалов, х е е общая сумма длин которых не превосходит — + р — = е. По 2 2р теореме 9.2 функция /(х) ннтегрируема на сегменте (0,2/и]. * В точке х=о агу функцию доопределяем произвольно, например, полагаем /(О) =О. 4 4. Свойства определенного интеграла 2) Из интегрируемости функции 1((х) ! не следует, вообще говоря, интегрируемость Г(х).

Действительно, рассмотрим функцию Р, (х), равную единице для х рациональных и минус единице для х иррациональных. Тогда '(Р,(х) (= — 1 интегрируема. Точно также, как и дляфункции Дирихле Р(х), показывается, что функция Р,(х) неинтегрируема (см. пример из '5 1). й 4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ !. Свойства интеграла. Выясним основные свойства интеграла Римана. а) Пусть функции Г(х) и д(х) интегрируемы на сегменте (а, Ь). Тогда функции)(х)ь +-у(х) также интегрируемы на Рис.

9Л этом сегменте, причем ~ (!' (х) ~ д (х)) с(х = ~ Г (х) г(х - - ~ д (х) дх. Действительно, при любом разбиении сегмента [а, (!) и любом выборе промежуточных точек й» справедливы следующие равенства: л л л (га (э») -~ к (а»)) Лх» = ~ !' (е») Лх, ~ ~; к ($») Лх,. »=1 Ь=! »=! Поэтому, если существует предел правой части при стремлении диаметра разбиений к нулю, то существует предел и левой части. Из линейных свойств этого предела, которые устанавливаются точно так же, как и для предела последовательностей, вытекает доказываемое свойство. Гл. 9.

Определенный интеграл Римана б) Если функция 1'(х) интегриругма на сегменте [а, Ь], то функция с1('х), где с=соне(, также интегриругма на этом сегмен» тг, причем ь ь ] с)(х) йх= — с1 ~(х) дх. В самом деле, для любого разбиения сегмента [а, Ь] и любого выбора промежуточных точек $а выполнено соотношение с1 (Ц) Лхь = с'~' У'(~а) галю откуда, так же как и выше, получаем доказательство утверждения 6). л С л е д с т в и е. Дйнейная комбинация ) сг)г (х) интегрируе- Г 1 мых функций 1;(х) является интегрируемой функцией.

Характеристики

Список файлов книги