ilin1 (947407), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Тогда, согласно результатам п, 2, многочлен )(х) может быть представлен в виде у(х) =(х — Ь,)Р'(х — Ьх)а*...(х — Ь )а'" м х (х — ах) '(х — а ) '(х — ах) *(х — ах) '...(х — ал) "(х — а„) . (8.32) Обозначим вещественную и мнимую части корня аь (й=!,2, ...,и) соответственно через ыь и оы т. е. пусть аь=ыь+(оь Тогда ах=их — (ое. Преобразуем для любого Й=),2, ..., и выражение (х — аь) л(х — аь) л = ((х — ал) (х — пе)] ь = к — х х = ((х — и„— (оь) (х — ил + (о,)] и = == [(х — иь)х + охе] « = (х'+ р,х + г)л) ь, 2 х в.де р„= — 2ию де =- иь+ ое. Используя (8.33) в (8.32), окончательно получим следующее разложение многочлена ((х) на произведение вещественных не- приводимых множителеи: * Ибо представление (3.30) при условии ф(а) ФО и аэначвет по определе.
~нию, что комплексное число а является корнем многочленв 1(х) кратности Х. "' Мы учитываем, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равно нулю сопряженное ему комплексное число (см. п. 1 настоящего аарагрвфа). згз г л 8. Первообрааная функция н неопределенный интеграл р(х) =(х — Ь,)Р'(х — Ьа)Р*... (х — Ь )"'" х Х (х'+ Рх + г))"'(ха+ Рах+ г)а) ...(х'+ Рх+ г)) ". (834) Мы приходим к выводу, что многочлен ((х) с вещественными коэффициентами распадается па произведение (8.34) неприводи- мых вещественных множителей, причем множители, соответствую- щие вещественным корням, имеют вид двучленов в степенях, рав- ных кратности корней, а множители, соответствующие комплекс- ным парам корней, имеют вид квадратных трехчленов в степе- нях, равных кратности этих пар корней.
4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму прос- тейших дробей. Р а ци он а ль ной дробью называется отно- шение двух алгебраических многочленов. Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать рациональную дробь, являющуюся отношением двух алгебраических многочле- нов с в е ш е с т и е н н ы м и коэффициентами (такую дробь при- нято называть рациональной дробью с веществен- ными коэффициентами). Р (х) Рациональная дробь — называется п р а в и л ь н о й, если гс (х) степень многочлена Р(х), стоящего в числителе, меньше степени многочлена Я(х), стоящего в знаменателе, В противном случае рациональная дробь называется не и р а- вильной. Докажем две вспомогательные теоремы. Л е м и а 1.
Пусть — — правильная рациональная дробь Р (х) Я (х) с вещественнагми коэффициентами, знаменатель (г(х) которой имеет вещественное число а корнем кратности а, т. е. г;)(х) = (х — а)'гр(х), где гр(а) ~0. (8.35) Тогда для этой дроби справедливо следующее представление; (к) т ) (8 б) гг(к) (х — а) (х — а]~ а гр(к) В этом представлении А — вещественная постоянная, равная А = —, й — целое число, удовлетворяющее условию й) 1, Р (п) ~р (а) гр(х) — некоторый многочлен с вещественньсми коэффш(иентами такой, что ггоследняя дробь в правой части (8.3б) является пра- вильной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначив через А — вещественное Р(п) ' число А =-, рассмотрим разность ф (п) * Число А всегда определено, нбо Чг(а) ФО в силу (8.85).
$ 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 313 Р (х) А О (х) (х — а)" Приводя эту разность к общему знаменателю, будем иметь Р (х) и Р (х) — А!р(х) Ф (х) О (х) (х — а)а (х — а)" ср(х) (х — а)а !р(х) ' где через Ф(х) обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида Ф(х) =Р(х) — Аф(х). Так как Ф(а)=Р(а) — Аср(а)=Р(а) — — ср(а)=О, вещест- Р (а) !р (а) венное число а является корнем многочлена Ф(х) некоторой, кратности й~1. Это означает, что справедливо представление Ф(х) = (х — а) х!р(х), где ф(а) ФО, (8.38) а ф(х) — некоторый многочлен с вещественными коэффициентами.
Вставляя представление (8.38) в равенство (8.37), окончательно будем иметь ср (а) чьО, (8АО) Я(х) =(хх+рх+гр)'чр(х), где р(а)~0 р= — 2и, !)=ив+о'. Тогда для этой дроби справедливо следующее представление: — (8.4!! е ы <Р.! !* !-,!' е' !.,*.;,! Ее!*! ' В этом представлении М и )х' — некоторые вещественные постоянные, й — целое число )1, а ф(х) — некоторый многочлен с вещественными коэффициентами такой, что последняя дробь в правой части (8А1) является правильной.
Р (х! А !р(х) (8.39) (1 (х) (х — а)" (х — а)а — х ср (х) ' Тем самым представление (8.36) доказано. Остается только убедиться в том, что дробь, стоящая в правой части (8.39), является правильной, но это сразу вытекает нз того, что разность двух правильных рациональных дробей является правильной рациональной дробью (чтобы убедиться в этом, достаточно привести разность правильных рациональных дробей к общему знаменателю). Лемма 1 доказана.
Л е м м а 2. Пусть — — правильная рациональная дробь Р (х) о (х) с вещественными коэффициентами, знаменатель которой Я(х) имеет комплексные числа а=илг(о и а=-и — ро корнями кратности ус, т. е. ЗР4 Гл. 8. Первообрааная функция и неопределенный интеграл Д о к а з а т с л ь с т в о. Договоримся обозначать вещественную часть комплексной величины А символом Ке(А), мнимую часть комплексной величины А символом 1ш [А). Положим "' Нетрудно проверить, что указанные М и йг являются решением следующего уравнения; Р(а) — (Ма+У)гр(а) =О, (8.42) В самом деле, поделив это уравнение на гр(а) и приравняв нулк» действительные н мнимые части, мы получим два равенства нз которых определяются написанные выше М и М.
Рассмотрим теперь разность Р (х) Мх + )У 0 ( ) (х' + Р + 4) Приводя указанную разность к общему знаменателю, будем иметь Р(х) Мх+»У Р(х) — (Мх-)-)У)Ч»(х) Ф(х) ( ) я(х) (ха+~ +4) (х'+па+4)а р(х) (ха+Рх+4)~4»(х) Здесь через Ф(х) обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида Ф(х) =Р(х) — (Мх+И)ср(х), Равенство (8.42) позволяет утверждать, что комплексное число а, а значит, в силу теоремы 8.3 и сопряженное ему число а являются корнями многочлена Ф(х) некоторой кратности й~!. В таком случае для многочлена Ф(х) справедливо представление Ф(х) = (х'+рх+г))лтр(х), (8.44) 'где ф(х) — некоторый многочлен с вещественными 'коэффициентами, не имеющий в качестве корней числа а и а. Вставляя представление (8.44) в формулу (8.43), пслучим представление (8.41).
Тот факт, что последняя дробь„стоящая в правой части (8.41), является правильной, вытекает из того, что эта дробь равна разности двух правильных дробрй. Лемма 2 доказана Последовательное применение лемм 1 и 2 к дроби — по Р (х) е() Р (а) ' В силу (8.40) Ч»(а) ФО, так что отношение — рассматривать <р (а) можно.
$ 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 31$ всем корням знаменателя приводит нас к следующему замечательному утверждению. Теорема 8.4. Пусть — — правильная рациональная дробь Р (х) е() с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид Я(х) = = (, Ьх)а(х — Ьа)~...(х — Ь.)$-(х+рхх+Чх)"...(х+р„х+Ч.)). (8.45) Тогда для этой дроби справедливо следующее разлозсение на сумму простейших дробей; В<п ВО< В<о <)(х) (х — ьд (.— ьх)э + " ' (.— ь,)р в',"> в« Вьэ) + + ',+...+ "а + рм (» ьт) (» ьм) (».
ь )зги »<*эх" ,в<эээт м'„'~*эх<) е'-';э*ээ> (ээ -'; р ' ' (*'э *ээ) М<М»+ Н<Ю Л<<е<х+ Н<Ю я<<ХМ»+ й<Х<"1 (»а+ Рех+9п) (» + Рв»+ ее) (ха+ Р„»+йе) " В этом разложении В«<, ВРх<„..., ВРр ~ М<<~ А<1~ - М<<1 Л<),,~— некоторые вещественнь<е постоянные, часть из которых может бь<ть равна нулю. 3 а м е ч а н и е.
Для конкретного определения только что указанных постоянных следует привести равенство (8.46) к общему знаменателю и после этого сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х в числителе. Примеры и разъяснения. 1'. Разложить на сумму простейших правильную дробь 2»'+ 4хх + х+ 2 (8 47) (х — 1)э(ха + х+ 1) Убедившись в том, что квадратный трехчлен х'+х+1 имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение дроби (8.47) в виде 2ха+ 4ха+ х+ 2 Вх Ва Мх+ <«(8 48) (х — 1)х(х'+х+ 1) (х — 1) (х — 1)' х'+ х+ 1 Приводя равенство (8.48) к общему знаменателю, получим 2ха+ 4ха + х + 2 В, (ха — 1) + Вэ (х'+ х+ 1) + (Л4»+ У) (хэ — 2х+ 1) (х — 1)' (х' -1- х -1- П (х — 1)а(ха+ х+ 1) 318 Гл, 8. Пераообразная функция и неопределенный интеграл Сравнивая в числителях коэффициенты при хо, х', хз и хз, придем к системе уравнений * В,+М =2, Ва+ Ф вЂ” 2М = 4, В,+М вЂ” 2У=.1, В,+В, + Н=2.
Решая эту систему, найдем В!=2, Вз=З, М=О, Лг=1. Окончатель- но получим 2хз+ 4хз+х+ 2 2 3 ! (й 4о) (х — 1)з(х*+ к+ 1) к — 1 (х — 1)' ха+ к+ 1 Только что проиллюстрированный метод отыскания разложения правильной рациональной дроби называется методом неопределенных коэффициентов. Этот метод приводит к цели всегда; доказывать разрешимость полученной в результатеприменения этого метода системы уравнений не нужно — разрешимость вытекает из теоремы 8.4. 2'.
Проиллюстрируем метод неопределенных коэффициентов еще одним 4!римером. Требуется найти разложение правильной дроби Зке + 2хз + Зхз — 1 (х — 2) (х'+ 1)з Так как квадратный трехчлен х'+1 имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение в виде Зхь+ 2хв+ Зхз — 1 В Мгх+Лт Мах+ ага + ' + (к — 2)(хз+ 1)з х — 2 хз+ 1 (ха+1)а Последнее равенство приводим к общему знаменателю и после этого сопоставляем числители. Получим Зх'+ 2хз+ Зхз — 1 = =В(х'+2х +1)+ (М,х+Л!) (хз — 2х +х — 2)+ (Мах+Уз) (х — 2). Сравнивая коэффициенты при х', х', хз, х' и х4, придем к системе уравнений В+М, =3, ту, — 2М, =2, 2В+Мт — 2У,+Ма =3, Л", — 2М, + Фв — 2М, = О,  — 2Лг, — 2Л'а = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
