Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 73
Текст из файла (страница 73)
функция Ь((е) является непрерывной по Гельдеру, причем показатель Гельдера равен )од, а, где а — наивысшая оценка снизу для ~/'(2)~, но она не будет абсолютно непрерывной; следовательно, то, что верно для отображения у: )Р' — д(В') при почти всех (й, не обязательно верно для отображения /: 2 /(2) при почти всех 2. Следствием непрерывности функции ь(Ф') (для этого не требуется абсолютной непрерывности) будет то, что отображение / не сохраняет близоспш (так назвал это свойство Вильямс — см, 3 31.10): если / — любой интервал а < 2 < а+ е, то после некоторого конечного числа итераций п множество /" (/) полностью покроет 10, 1!. Ясно, что / будет обладать этим свойством тогда и только тогда, когда и также обладает им, но для и оно почти очевидно.
В самом деле, длина любого интервала / на оси Р удваивается под действием и, если д(/) не содержит точку Ре ='/„ а в этом последнем случае длина по крайней мере не уменьшается. Следовательно, после каждой пары итераций длина по меньшей мере удваивается, пока для некоторого / оба множества д(/) и п(п(/)) не будут содержать точку К = '/„ а в этом последнем случае п(п(/)) полностью покроет интервал 11, так что й(й(й(/))) покроет [О, 1). Отсюда следует, что итерации отображения / неустойчивы в смысле Ляпунова, так как независимо от того, насколько две точки были близки друг к другу вначале, оии будут в конце концов отстоять одна от другой на конечное расстояние (например, по меньшей мере на '/,).
Следовательно, если мы можем пренебречь тонкой структурой графика Лоренца, то движение на аттракторе Лоренца также станет неустойчивым по Ляпунову и тем самым будет иметь чисто непрерывный энергетический спектр. ЗА!2. Статистииесние свойства отображений ! и Е ЗЗЭ 3!лх.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ 2 И Ае Статистические свойства этих отображений несколько различны; первым рассмотрим отображение д. Чтобы воспользоваться специфическими свойствами функции д(!Р), определенной в (31.1!.2), представим )й в двоичном виде как %=0.аеа,а,..., где каждое а, равно 0 илн 1. Тогда для й(В') будем иметь просто ) О.а,ае ..., если по=О, ! О. а,ае ..., если ав=1, где черта сверху обозначает дополнение, т. е. замену 0 на 1 и 1 на О.
Теперь предположим, что начальный элемент (Р, последовательности (Ф'„)„" „получающейся путем итерирования р, выбран случайным образом исходя из равномерного распределения на интервале [О, 11. Тогда каждая двоичная цифра элемента В', может с одинаковой вероятностью быть равной 0 или 1 независимо от значений других цифр и, более того, йг„будет меньше '/, или не меньше ",, в зависимости от значения и-й цифры элемента Ф'е. Отсюда следует, что каждый элемент (р„ может с одинаковой вероятностью быть меньше '1, или не меньше '!е, и поэтому не существует корреляции между близкими членами последовательности.
Чтобы установить соответствующие свойства отображения ), путем итернрования ~ была численно сгенерирована последовательность (А„) длиной в 200 000 элементов (см. работу Рихтмайера 11981!). Лля анализа результата на ее элементах былаопределена функция ( — 1, если с,„< ",„ (+1, если 2„) Ч,. Среднее значение з„оказалось равным — 0.1416 (около 64 стандартных отклонений), а значимые положительные корреляции были обнаружены между з„и з., з„+, н з„„. Корреляции между з„и зе е при й)~4 уже не были значимыми по отношению к размеру взятой выборки. Разница между свойствами отображений )' и хс отражает отсутствие абсолютной непрерывности у функции ~(!Р'), которая связывает А и (й'. Ясно, что йг< Че тогда и только тогда, когда е,= =Ь(!Р)(сне (потому что изображенный на рис.
31.4 график Лоренца симметричен с высокой степенью точности), но поведение функции й()р) при почти всех )й' не является таким же, как поведение функции г(2) при почти всех е. на интервале 10, 1) найдется некоторое множество меры нуль, которое под действием ь преобразуется в множество положительной меры (в действительности равной 1), н аналогичные множества имеются для ь '. Тем не менее оба ото- 340 Гя. ЗЕ Ранняя стадия турбулентности бражения имеют аналогичное поведение; следовательно, качественные статистические свойства системы Лоренца могут быть получены при помощи изучения Е как это и сделал Лоренц. 31.13. АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА.
ДЕТАЛИ СТРУКТУРЫ. 1 Согласно 5 31.!О, аттрактор Лоренца Е содержит бесконечно много листов (фактнчески несчетное множество), лежащих вблизи идеализированной ветвящейся поверхности Е, и как-то связанных вместе, в результате чего образуется некоторая многолистная структура в 9.'. Структура аттрактора Е была исследована Вильямсом [19771, и мы приведем его основные результаты, изложив их на некотором интуитивном геометрическом уровне без учета определенных топо- логических трудностей. таких, которые возникают из-за наличия бесконечно многих вершин у клеточного комплекса Р в ограниченной области полосы 5 (см.
ниже). Конечно, аттрактор полностью определяется дифференциальными уравнениями (3!.9.1). Однако до сих пор неизвестен метод для его точного определения, исходящий из этих уравнений, и даже метод для определения его общих топологических свойств. Более того, эти уравнения являются несколько специфическими и искусственными; следовательно, представляются более интересными общие разновидности аттрактора, которые определяются уравнениями, в общем аналогичными уравнениям (31.9. !).
Целью работы Вильямса было найти все аттракторы, которые связаны с ветвящимся многообразием Е, описанного выше вида точно так же, как н аттрактор Е. Он назвал их атгпракторами Лоренца в общем. Вильямс использовал абстрактную топологическую конструкцию, называемую обратным пределом. Топологические свойства получившегося аттрактора и поток на нем полностью определяются заданным на Е, полупотоком, а на самом деле так называемыми последовательностями обходов ') для траекторий Ф7 и ((г"",.
Вильямс показал, что существует несчетное множество таких различных аттракторов (различных в топологическом смысле). Обнаруженные Вильямсом аттракторы могут быть вложены в В', но вопрос о том, какой из них будет определяться системой дифференциальных уравнений типа (31.9.1), остается открытым. Чтобы исследовать структуру аттрактора, следуя Вильямсу, рассмотрим кусок поверхности и затем продолжим его„двигаясь по лежащим на нем траекториям как вперед, так и назад по времени. Если траектория обходит точку Р„то она движется к листу многообразия Е„расположенному позади того, который был перед этим (с точки зрения наблюдателя, смотрящего на рис.
3!.За), а если она обходит Р„ то движется к листу, расположенному спере- г! В оригинале Кпеагдпк ееяиепсея.— Прим. нерее. ЗГЛЗ, Аттрактор Лоренца. Детали структуры. 1 341 ди. Если она сначала обходит одну, а затем другую точку, то уже нельзя сказать определенно, впереди или сзади от начальной точки она будет после этого; она даже может вернуться в свою начальную точку, и тогда мы получили бы периодическую траекторию. Один из результатов Вильямса состоит в том, что периодические траектории плотны на Е. Роль неустойчивого многообразия )у"с(0) заключается в следующем. Как было указано в 5 31.10, оно состоит из двух траекторий, которые выходят из нуля горизонтально в двух противоположных направлениях, образуя границу поверхности Е, и затем уходя внутрь нее.
Формально возможен тот случай, когда одна нз них или обе они могут в конпе концов пройти точно через центр линии ВВ и затем асимптотически устремиться к состоянию покоя в нуле. Мы отбросим эту возможность как маловероятную и предположим, что они будут бесконечно долго вращаться на Е,. Следуя Вильямсу, обозначим через )Ь'",'(О) траекторию, которая выходит из нуля вправо и, следовательно, впервые пересекает линию ВВ в ее левом конце, а через )Р","(О) — траекторию, которая выходит из нуля влево и, следовательно, впервые пересекает линию ВВ в ее правом конце.
Определим так называемую посеедовательность обходов для этих траекторий как г,гег«..., где гк равно 1 или 2 в соответствии с тем, вокруг какой нз точек, Р, или Р„происходит Ьй виток траектории. Ниже будет предполагаться, что эти последовательности начинаются как 2111... и 1222... соответственно для %7(0) и В'а,(0), и будет показано, что они полностью определяют топологию аттрактора Е. Чтобы осуществить намеченное, нам придется сделать следующие предположения [считая их, таким образом, следствиями дифференциальных уравнений (31.9.1) — численные расчеты вполне подтверждают большинство из них). 1. Ветвящаяся поверхность Е, н полупоток на ней являются такими, как описано в 5 31.10. [Мы говорим «полупотокь, а ие «поток» потому, что из-за ветвления траектория х(1) на Е, в противоположность траектории на Е не может быть однозначно определена при ((О, исходя из х(0).1 2. Отображение Пуанкаре ф, линии ВВ не сохраняет близости.
3. Существует непрерывное отображение (проекция) р многообразия Е на Е„ которое переводит траектории на Е в траектории на Е,: если х(г) — движение на Е, то р(х(!)) — движение на Ее. 4. Каждое движение на Е, получается как результат действия р на единственное движение на Е. (Представляется затруднительным получить убедительное подтверждение этого предположения численным путем.) Более того, движение на Е непрерывно зависит от движения на Е;. если траектории хо(!) и х,'(!) близки друг к другу на Е, в течение длительного интервала времени ( — Т, Т), то они Гя.
31. Ранняя стадия турбулентности 342 будут проекциями траекторий х(1) и х'(1), близких друг к другу в пространстве (т. е. на Ь) в течение длительного интервала времени. й. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтИ ОбХОдОВ дЛя Маги (0) И %',"(0) НаЧИНаЮтСя как 2!11... и 1222... соответственно. Зто означает, что траектория (аг",(0) после своего первоначального обхода точки Р, затем обойдет Р, по крайней мере три раза (для системы Лоренца она делает это 25 раз) перед тем, как она снова начнет обход точки Р;1 аналогичное утверждение справедливо и для Ф'п,(0), Чтобы двигаться по траекториям собственно в трехмерном пространстве, заменим линию ветвления ВВ полосой 5, поперечной к Л, и пересекающей Е, по ВВ.
Оказывается удобным оття- Рис. 31.7. Полоса 3. путь как 5, так и ВВ вниз настолько, чтобы они прошли через нуль, как показано на рис. 31.7. Мы приведем детальное описа- ве1 нне пересечения 5П(.=Р полосы 5 и аттрактора Е. Множество Р будет описано в форме так называемого клеточного комплекса, состоящего из точек, называемых вершинами, и кривых, которые называются «звеньями»') и каждая из которых связывает некоторую пару вершин. Мы установим, что вершины — это нуль и точки пересечения многообразия Уе""(О) с полосой 5, а звенья — это пере. сечения составляющих аттрактор й листов с полосой 5.
Множество Р состоит из нуля и двух частей, лежащих по разные стороны от линии, пересекающей полосу 5 в нуле. Эта линия принадлежит относящемуся к нулю устойчивому многообразию и служит для того, чтобй отделить траектории, которые будут в очередной раз обходить Р„от траекторий, которые будут в очередной раз обходить Р,. г) В оригинале 1-се11а.— Гг рая, перев. 31.13. лттроктор Лоренца. Детали структуры. ! 343 Мы увидим, что )Р (О) на всей своей протяженности является границей бесконечно многих листов аттрактора 1, которые скреп. лены вместе этой границей, образующей, по выражению Вильямса, «корешок канторовой книги» (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
