Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 74
Текст из файла (страница 74)
31 9 в 3 31.16). Линия, трансверсальная к (.а точно внутри границы, пересекается с этими листами в канторовом множестве точек, как это будет объяснено ниже. Обозначим через 1„ 1„ ... последовательные пересечения траектории )у,"(О) с полосой 5 (они могут лежать по любую сторону от нуля), а через г„ г,, ... — пересечения й!т",(О) с 5; все они Рнс. 3!.6. Поееркностнмй элемент на аттракторе Лоренца. являются точками 5.
При проектировании на е'.„точка 1, займет на линии ветвления ВВ крайнее левое положение, а г,— крайнее правое положение; проекции остальных точек будут находиться между ними. Каждый лист аттрактора Ь пересекает полосу 5 по кривой й, являющейся некоторым звеном множества г", и если и" будет переноситься потоком вкруговую до тех пор, пока она снова ие окажется на 5 в виде другой кривой а ', то она опишет поверхностный элемент Х в ес'", как показано на рис.
31.8, и мы будем представлять себе Е составленным из таких поверхностных элементов; э' и и" е являются соответственно начальной н конечной кривыми элемента Х. Сделаем предварительное предположение о том, что на 5 найдется кривая, соединяющая точки 1т и г; и состоящая из точек аттрактора е..
(Это предположение обосновывается ниже, а именно в 3 31.17.) Такая кривая проходит через нуль и поэтому состоит из двух звеньев множества В. Мы должны рассмотреть их отдельно, и пусть Ж будет тем звеном, которое соединяет нуль с г,. Как и переносится потоком вкруговую, описывая цоверх- Гл. 81. Ранюи стадш» турбуяеатногтч ность Х, так и ее левый конец, вначале расположенный в нуле, переносится из нуля вправо вдоль Яг",'(О), так что он, как и все точки кривой М, обходит точку Р, один раз против часовой стрелки; после этого он оказывается на 3 в точке 1,; следовательно, конечная кривая э" поверхностного элемента Х соединяет 1, с г, в 5, располагаясь чуть впереди й (т. е.
ближе к наблюдателю). Прежде чем переносить по потоку точки кривой й', следует заметить, что, так как 1, и г, лежат по разные стороны от нуля (согласно пятому из приведенных выше предположений), мы должны разделить Ж' на два звена, скажем Ы; и М;, соединяющих 1, с нулем и нуль с г, соответственно. Тогда й; будет обходить по часовой стрелке точку Р„а М,' — против часовой стрелки точку Р„создавая таким образом два новых поверхностных элемента на Е, скажем Х; и Х;. Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго. В общем случае для двух данных точек 1; и г, получающихся соответственно при пересечении В',"(О) и Ф,"(О) с Ю и лежащих по одну сторону от нуля, может существовать (а может и не существовать) звено из Р, связывающее 1; с г (т.
е, кривая на Я, соединяющая 1; с г и состоящая из точек аттрактора Ь, причем если существует одйа такая кривая, то их будет бесконечно много). Если такая кривая переносится вдоль по потоку, как это было описано выше, она описывает некоторый поверхностный элемент Х аттрактора Е. Нуль обозначается также через 1, и г,. Будем обозначать его через г„ если он далее переносится вдоль Чу",(О) к г„ и через 1„ если он далее переносится вдоль Ю,"(О) к 1,.
Тогда общий поверхностный элемент Х аттрактора Е получается путем переноса звена, связывающего 1, с г в 5 (теперь допускается 1 0 или 1=-0), вокруг Р, или вокруг Р, до кривой, соединяющей 1г„., с г „. (Если при этом 1,+г и г,+, лежат по разные стороны от нуля, то необходимо разделить новую кривую на два звена, как это делалось выше.) зк1а. символы вильямса (й А Если для данных 1 и 1' точки 1, и гг связаны звеном нз Р (а следовательно, бесконечно многими звеньями, как мы увидим далее), то мы будем говорить, что определен или существует символ (1, 11. Следуя Вильямсу, сформулируем теперь правила, позволяющие ответить на вопрос о существовании таких символов.
Наше предварительное предположение состоит в том, что (О, 11 и (1, О] являются символами (а отсюда и из предположения о том, что г, лежит правее нуля, следует, что (О, 21 тоже символ). Эти правила таковы: Зд!4. Симаолм Вильямса 1й 1] 1) [О, Ц и [1, О) — символы; 2) пусть [1, 11 — символ; тогда (а) если 1,+, и г,, лежат соответственно слева и справа от нуля, то [1+1, 01 и [О, 1+ Ц вЂ” символы; (б) в противном случае [1+1, )+ Ц вЂ” символ. В случае 2(а) мы говорим, что символ [1, 11предилесявует символам [1+1, О) и [О, 1+ Ц или символы [1-1-1, 01 и [О, )+ Ц следуют за [1, Д, а в случае 2(б) — что он предшествует символу [1+1, 1+ Ц (может быть, лучше было бы говорить «непосредственно предшествует»).
(Замечание. В противоположность Вильямсу мы предполагаем, как уже говорилось выше, что 1; и г никогда в точности не попадают в нуль при 1 > 0 или 1 > 0,) Правила выбраны так, что [1, 1) предшествует [1', /'1 тогда и только тогда, когда существует поверхностный элемент Х, начальная кривая которого связывает 1, с г, а его конечная кривая связынает 1и с г;. [Это описывает ли1пь часть конечной кривой н случае 2(а).1 Следующие утверждения непосредственно вытекают из этих правил (некоторые из иих доказываются по индукпии).
1) Если [1, 11 — символ, то (чь). 2) У каждого символа есть один или два последующих в зависимости от того, какой случай имеет место: случай 2(а) или случай 2(б). 3) Символу [1, 1) прн положительных 1 и ) предшествует только один символ, а именно [1 — 1, )' — Ц. 4) Если [1, 11 — символ, то либо 1, < г <О, либо 0 <1,. < г, где знак < обозначает порядок следования после проектирования полосы 8 на линию ветвления ВВ поверхности (.„.
5) Так как, согласно предположению 5 предыдущего параграфа, траектория Уй'",(0) после прохождения точки 1, по меньшей мере еще дважды обойдет неподвижную точку Р„прежде чем перейти через пентр на правую половину полосы 3, мы видим, что первые несколько символов, начиная с [1, 01, будут такими: Р, Л (3, ОД 10, Ц [1, ОД (0,21. В частности, символу [О, Ц предшествуют по крайней мере два различных символа — символы [1, О) и [2, 01.
Ги ад Ранняя етааая турбуяентнаети б) Каждый символ в конечном счете предшествует любому другому символу в том смысле, что если о=[(, )! и т=[!', !'! заданы, то найдется такая конечная последовательность о,=о, о„о„..., и„= т, в которой и, всегда предшествует символу о„.„. Это ясно, если п,=[1, О! (или [О, 1)), так как, согласно правилам, все другие символы следуют за [1, О) или [О, 1) (т. е. получаются из них), и мы только что видели, что [1, О! и [О, 1) следуют один из другого. С другой стороны, если т=[1, 01 (или [О, 1!), а символ о произволен, то нужную последовательность можно найти, используя свойство несохранения близости, которым обладает отображение Пуанкаре ф,(з) линии ветвления ВВ. Грубо говоря, это свойство означает, что можно выбрать такую последовательность, чтобы ширина интервала (1,, гу) постоянно увеличивалась.
Вильямс доказал, что, начав с пройзвольного и, можно достичь символа [1, О) (а тем самым и символа [О, 1!) за конечное число шагов, если производная ф,'(з) > у' 2 для всех з. В случае, изучавшемся Лоренцем, минимум ф,'(з) был больше, чем примерно 1.05; однако при помощи метода, обсуждавшегося в Э 31.11, на ВВ вместо длины дуги з можно внести новый параметр, чтобы превратить график функции ф„(з) в два прямолинейных отрезка, и тогда фе' (з) на самом деле будет больше у' 2 (фактически больше, чем примерно !.9). 7) Для каждого 1> 0 (и каждого ! > 0) найдется по крайней мере одно ! (одно !), такое, что [1, !! будет символом, 31.1$. ПРЕДЫСТОРИИ Согласно ~ 31.4, одно из характерных свойств аттрактора Е состоит в том, что точка х принадлежит Е тогда и только тогда, когда траектория х(!), для которой х(0)=х, лежит на (.
как при всех (я' О, так и при всех ! > О. При ! — оа траектория х(!) проходит по однозначно определяемой последовательности поверхностных элементов Х, Х', Х", ... вида, описанного в Э 3!.13. Если траектории на Х проходятся назад по времени, они переходят на Х' и т, д. Следовательно, начальная кривая элемента Х является по меньшей мере частью конечной кривой элемента Х'. Если начальная кривая для Х связывает 1; с г, а такая же кривая для Х' связывает 1е с г;, то [е', !'] предшествует [(, !!. В общем случае у [1, !! может быть много предшествующих символов, ио как только выбрано конкретное звено, соединяющее 1, с г, тем самым однозначно выделяется и предшествующий элемент, потому что начальная кривая поверхностного элемента Х' однозначно определяется его конечной кривой.
Отсюда следует, что если [1, !! †симв, то каждое звено, связывающее 1, с г, характеризуется такой единственной беско- ак !б. Лттрактор Лоренца. Детала структуры. 1! 34? печной последовательностью символов ..., о „о „о,=[1, !1, в которой о а, предшествует символу о при каждом а. Можно показать, что если продолжить эту последовательность до бесконечности и в другом направлении, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
