Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

Если свойство сильно нетипично, т. е. если ано имеет место на нигде не плотном множестве пространства систем, то для любого е, ее 0 найдется возмущение, по норме не превосходящее е~, при наложении которого это свойство исчезает. Более того, тогда найдется такое ее~ О, что никакое дополнительное возмущение, по норме не превосходящее ез, не может восстановить этосвойс~во. 31.Д. ТЕОРЕМА ПЕЯКСОТО Теорема Пейксото [!962) гласит, что для динамических систем на компактном двумерном многообразии сильно типичное свойство заключается в том, что каждое движение аснмптотнчески стремится к одной из конечного числа неподвижных точек и периодических траекторий.

Следовательно, в частности, квазипериоднческне движения нетипичны. Сформулируем эту теорему для двумерного тора, т. е. для случая, когда М= Те, Пусть 6 и ф †углов переменные на Тз, так что динамическая система примет вид 6=Р(6, ГБ р=б(й,ф), где функции Р и 0 периоднчны по 0 и ф с периодом 2я. Пусть  — банахово пространство всех пар периодических функций Р и 6 класса С' с нормой гпах шах ([ Р [, [ О [, [ двр [, [ днО [, [ д Р [, [ д 6 О, так что топология в В соответствует равномерной сходимости з Сг. Каждая точна пространства В представляет динамическую систему.

Тогда в В найдется плотное'открытое множество, представляющее динамические системы, для каж- дой иэ которых выполняются следующие условия. 1) Существует лишь конечное число неподвижных точек и замкнутых траекторий на Тэ, 2) Каждое движение аснмптотическн стремится к одной из этих неподвижных точек или замкнутых траекторий.

(Здесь преднамеренно исключены ста- ционарные движения в неподвижных точках и периодические движения по замкнутым траекториям.) Б действительности теорема утверждает несколько больше того, что здесь сказано: см. Пейксото [1962[ н равд. 8!.Е ниже. Это утверждение является резким контрастом по отношению к теореме Колмогорова — Арнольда — Мозера (см. книгу Мозера [!928, теорема 2.8)), со- Пригож. к гг, дй Тиличныг ггаггвги гисгпгм гласно которой длн гамильтаноеых систем при определенных предположениях квазипериодические движения устойчивы относительно почти всех малых возмущений.

Здесь нет противоречия, так нак гамильтоновы системы как целое являются весьма частным случаем (например, стационарные гамильтоновы системы консервативны) н в некотором смысле нетипичны среди динамнчесних систем, так что для них малые возмущения, о которых идет речь, отнюль не произвольны, а таковы, что система остается гамильтоновой. 31.Е. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ТИПИЧНЫХ И НЕТИПИЧНЫХ СВОЙСТВ Ргссусотрим пространство непрерывных функций С (О, 1), определенных @ри 0 ~ с ~1, с обычной нормой ![! [!=зпр [) (х) [. Для таких функций дифферевцнруемость — нетипичное свойство и нетипичны дажс днфференцнруемость в отдельной точке и непрерывность по Липшицу в отдельной точке (см. книгу Бааса [1960) и упражнение 1 ниже).

Следующие два примера янляются частью более полного варианта теоремы Пейксото, чем приведенный выше. Как утверждалось, для векторного поля на компактном двумерном многообразии типично существование конечного числа неподвижных точек н периодических траекторий. В системе координат с началом отсчета в неподвижной точке векторное поле запишется как Р (х) = Ах+..., где А — матрица размера 2Х2. В теореме утверждается, что для каждой такой неподвижной точки типично быть гилербо сиенской, т.

е. что для матркцы А типично отсутствие чисто мнимых собственных значений; следовательно, есть три возможности: если оба собственных значения имеют отрицательные вещественные части, то неподвижная точка будет лригигигиюи(гб! если оба они имеют положительные вещественные части, то она будет олинигкигиюи!гй; если одно из них ниеет положительную вещественную часть, а другое — отрица. тельную, то неподвижная точка будет сгдлогой. Другое утверждение теоремы Пейксото состоит в том, что существование сраектории, идущей от одной седловой точки к другой, нетипично: если такая траектория существует для некоторого векторного паля, то малейшее возмущение может сделать ее проходящей мимо второй седловой точки. В 6 29.6 было сделана предположение, которое не доказано н даже полностью не сформулировано.

Там говорилось, чта в существующих теоремах о полноте систем собственных функций для гидродинамических задач предполагается, что обобщенные собственные функпин (еслн они и существуют) исключены [см. уравнение (29.6.6)). Это обосновывается тем, что в некотором сюдходящем пространстве гидродннамнческих систем существование обобщенных собственных функций нетипично. Говорят, что собственное значение й имеет индекс 1, если не существует соответствующих ему обобщенных собст.

венных функций. Представляется вероятным, что для любого собственного значения ьа иметь индекс 1 сильно типично, тогда как для всех них иметь индекс 1 только типично, так как счетный набор плотных открытых множеств не обязательно будет открытым множеством, но в любом случае будет бэроеским множеством. Упрджнпннн 1. Для каждого целого положительного л определим подмножество Ег из С(0, !) следующим образом: функция / принадлежит Е„, если найдется такое х„из [О, ! — 1,'н), что [[)(хг+й) — )(хе)[(й [~и при 0 < й < 1/л. (31.6.1) Покажите сначала, что ń— замквутое подлсножество пространства С(0, 1), прочерив, что если )г(х) равномерно сходятся к )(х) при й со и каждая Гл.

8А Раннлл шпааия турбулентности функция )з удовлетворяет условию (3!.Е.!), то ему удовлетворяет и ). Пока. жите далее, чта дополнение подмножества Еи паап!о: покажите на самом деле, что любую функцию ) иэ С (О, 1) можно сделать днфференцнруемой при помощи малого возмущения (используйте для этого введенные в томе ! операторы сглаживания); затем получившуюся функцию можно сделать нарушающей условие (3(.Е.1), добавив к ней в случае необходимости дополнительное малое вазиущение, ямеющес достаточно большую производную в тачке х=хе. Следовательно, наждое Еи — нигде не плотное множество, и и поэтому (.) ń— тощее множество, а отсюда следует, что для функшн! из и=а С(0, 1) нетипично быть непрерывной по Лнпшицу справа от любой точки. 31.Ж. ОТСУТСТВИЕ СООТВЕТСТВИЯ МЕ!КДУ ТИПИЧНОСТЬЮ И СУЩЕСТВОВАНИЕМ МЕРЫ ЛЕБЕГА УПРАЖНЕНИЯ 1, Пусть Х вЂ” единичный интервал на вещественной аси, рассиатриваемый как метрическое пространство с расстоянием (х, у) = ) х †у ), н пусть я †целое положительное число.

Каждому рациональному числу р)д, где 0 < р < д, поставим в соответствие интервал р)4 в ! Л )24) < х < р)а+ !)( )21) и обозначим через 5„объединение всех таких интервалов. Покажи!с, что множество 5„открыто и плотно в Х и имеет меру Лебега, не прсвосходящ»ю 4)я. Убедитесь далее, что бэровсное множество в Х может иметь лебегаву меру нуль, а тощее множество — меру 1. 2. Пусть 5 — пересечение множеств 5„.

Согласно упражнению 1, 5 — баронское множество. Покажите, что оно несчетно рассмотрев числа х из [О, 1), имеющие двоичное представление вида х= О.а,Оаэ00...0аэ00...0а,00..., где каждое а! равно 0 или !. Покажите, что если число нулей ч! между а! н а!+т достаточно быстро возрастает с ростом 1, то х будет принадлежать всем множествам 5 . Покажите, что множество всех таких х несчетно.

31.3. ВЕРОЯТНОСТЬ И ФИЗИКА Предположим, что топологическае пространство Х представляет собой пространство физических систем. Когда физик говорит, что проявление определен. ного свойства такой системы весьма маловероятно, он скорее всего имеет в виду следующее: если из Х каким-либо образом выбрано большое число й систем, то очень немногие из ннх обладают рассматриваемым свойством а с ростом Л' относительная доля обладающих этим свойством систем стрел!нтся к нулю. Такое утверждение, если оно верно, неизбежно носит вероятностный характер. В этом описании недостает только обьяснения того, как зти Л' систем выбираются из Х Так как Х в общем случае бескоиечномерно и, следавательяо, в нем нельзя определить лебегову меру, не существует возможности выбирать Л! систем случайныи образом на основании равномерного распреде.

ления в Х, потому что такого распределения не существует. Метод выбора должен определяться с учетом физических соображений н не может исходить лишь из концепции типичности. Конечно, есть много способов определения вероятностных мер в бескоиечномерных пространствах (прнмерамв служат гауссовы меры в гильбертоеом пространстве, описанные в 4 13.11 тома 1). Таная мера может быть исполь.

Пригож, к гл. И. Тплггчнмв свойгпма гигшгм зовзнз для выбора Ь систем из Х. Представляющиеся здесь возможности, по-видимому, весьма разнообразны, и может оказаться необходимым нспользоваэь ряд физических соображении. Например, должно предстанляться разумным требование о том, чтобы асроятностная мера была положительной на отары гых множествах в Х, так как э противном случае сам выбор простран. ства Х выглядел бы ошибочным н некоторые его части следовало бы исключить. Затем предположим, что в Х существуют преобразования, приводящие к таким модификациям систем, при которьж основные их свойства изменяются и в то же время свойства, представляющиеся маловероятными, остаются таковыми; тогда после такого преобразования в Х множества меры нуль должны переходить в множества меры нуль. С точка зрения физической интерпретации, приведенной в равд.

31.Г, необходимо лишь, чтобы сильно нетипичное свойство имело место только на множесэве меры нуль. Все зто пока что не более чем общие рассуждения, однако они могут указывать ва то, что в физике типичность вряд ли заменит вероятность, но она, возможно, будет указывать правильный путь для надлежащего выбора вероятностных мер. Упрхмсгэемг!я 1.

Покажите, что дифференцируемость нетипична также и для гильбертова простраисэва Н=бэ (О, 1), Схема доказательства состоит из следующих шагов. Сначала определите в Н линейное многообразие 0=(ф~ Р: ф'~Ьэ), (31.3,1) где производная понимается в смысле теории распределений (см. гл. 5 тома 1), Для любого ф из Н имеет место представление ф (х) =',э ээгэп'"".

(31,3,2) — Ф Тогда многообразие Р можно охарактеризовать как О=(фб6': Х ! лба !' <") (3!.З.з) Для каждого М = 1 2..., определите также меньшее многообразие Ом =(фЕ6э: ф'~6э, !(ф'(! ° М)=(фЕ6э: 4пэ ~э ( Л4э /э~ ЛР). (31.3А) Если бы удалось показать, что каждое Ом нигде не плотно, т. е. что допол- Ф пение С,Рм плотно и открыто, то отсюда следовало бы, что 0= () Ом М=! тощее множество в Н.

Характеристики

Список файлов книги