Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Г!окажите сначала, что СОм плотно, убедившись, что любое ф~бэ, не нарушающее условие !ф)!(~М, может быть сделано нару- шающим его (путем добавления к ф произвольно малой функции с большой производной). Затем покажите, что СОэг открыю. Для этого рассмогрите любое ф из СОэг, т. е. такое ф для которого либо (!ф' ! = оэ, либо !!ф'(!=М+6 при неко~ором 6 > О, Нужно показагь, что найдется окрестность этого ф, которая содержится в СРм. Выберите К так, чтобы К тг!э 4пэ(лфэ!~) > М+6!2, Ф=-К и покажите, что есяи у — любая такая функция из (.э, для которой )!)((! < < 6/(4К), то )ф'+Х' ! > М+6/4, так что СОи открыто 2.
Используя аналогичные проведенным выше рассуждения, но полагая везде э э=- $э, покажите, что то же самое верно и для вещественного гиль- бертова пространства 1,'(О, 1). Гт 3!. Ранняя стадия турбулентности 358 Чтобы внести вещественные координаты и вещественные базисные функции, положим й»=хэ й»=(х«+гх «))ре2, »=1, 2, ... ф» (х) ~ 1, гр» (х) = ре2 соз 2пйх, гр»(х)= рс2з)п2лйх. Тогда, подставляя в (3!.3.2) Ц«вместо 5 «, найдем, что чг ф (х) = ~ЧГ х»чг«(х), Ф ф' (х) = 2л ~Р !гх «гр» (х). (31.3.5) (31.3.6) (31.3.7) (3!.3.8) Гзуссовы меры в вещественном гильбертовом пространстве Н были ояисаны в 5 !3.!1 тома 1.
Там отмечались следующие основные моменты. Если М вЂ люб конечномерное надпространство иэ Н и 3 †люб борелева множество из М, то множество Кзк было указано в 5 13.!1, эту функцию множества Р( ) можно единственным образом расширить до вероятностной меры, определенной на а-алгебре А, образованной цилиндрическими мяожесгвамн. Теперь применим эти соображения к вещественному гильбертаву пространству Н= 5»(0, 1), используя координаты х» и базисные функции гр«, заданные в виде (31.3.5) и (31.3.6). Определим оператор А простой формулой Агр (х) = ~ а«х»гр«, где функция ф(х) задана в виде (31.3.7), а и» положительны и х, (!уа«) <га, так что оператор В=А ' компактен.
Рассмотрим цилиндрические множества К гм,к= РЕ!.'. 4л ~Р(йх»)э.ай — К такие, что 2»т, г эЛм, ~ ° .:эйм, к-э °:э Вм, (3! .3 .10) где множество Вм определено в (31.3,4). Тогда (31,3.9) принимает вид к к гг„, г-!) Е,,ггнг)...! *г! — г~гг 2,Я~ *,...Ач, е~.ггч -к 3 -к 2=3+М', т. е, множество всех точек х+у, у которых х~3 н уцМх, называется йияиндричесним множеством. Чтобы определить так называемую гауссову меру в Н, обозначим через В положительный ядерный оператор и положим А=В-». Затем взяв любое цилиндрическое многкество Я=В+Мх, с3гп М=т, обозначим через (гр!)г некоторый ортонормирозанный базис в М и определим мат. рицу А(М) размера ткт, положив А (М)!«=(ф7, Агр»), ! ~(/г~т.
Тогда вероятность Р (Я) полагается равной Р(Л)=((бе)А (А4))'г~)(2л)'"гэ)~ ехр ( — (1)2) ~ х7А (М)!»х«! сВ'. (3!.3.9) г,» ! Прилож. к ел. 3К Типичные сеойстеа сиспмм 359 где 8 †эллипсоидальи область: К 3! ~ йтх' ~ Ма/(4пэ). -к (31.3.12) УПРАЖНЕНИЯ 4. Теперь положим аь=(й(г, где г > ! (чтобы сделать ряд,~ ~(!!аа) сходящимся). Покажите, что если 1 < г < 2, то Р (2лг, к) — ~ О при К вЂ” ~ ог, так что, согласна (31.3.10), Р(х)м) =О, и поэтому благодаря счетной аддитивности у Ф Р (1)) = Р ( 0 ()и =О. м=г Это упражнение показывает, что тощее множество Р дифференцируемых функций в йз(0,1) имеет гауссову меру нуль, если 1 < г < 2.
При г > 2 Р(Р) = 1. Грубо говоря, с возрастанием г гауссова мера все больше пбольше концентрируется в окрестности нуля в и. В силу (31.3.3) дифференцируемые функции лежат вблизи нуля, так что при большой концентрации вероятностной меры в окрестности нуля дифференцируемые функции приобретают положительную вероятность, но при г < 2 они имеют нулевую вероятность. Поэтому в данном случае вероятностная мера может быть выбрана так, чтобы нетипичное свойство (диффереицируемость) не было вероятным, 3.
Полагаи, что в (31.3.11) все переменные интегрирования, кроме последнего, нзменяютси от — ос до оо, тогда как изменение последнего, хк, ограничено условием (хк(ч-М!(2пК), покажите, что Р (гм, к) < м (ок)ы'(((2пз)т!зк). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ с) Абрахам, Роббин (АЬгайаш Я., ЯоЬЫп Л) [1967) Тгапзчегза1 шерр!пйз зпб Посчз.— Ь]есч Чог1с сЧ. А. Веп]аш]п. Адлер, Базин, Шиффер (Аб!ег Я., Ваши М., ЗсЫПег М.! [1965). 1п1гобис(1оп 1о йепега! ге!айчПу.— Ь]еис уотерс; МсОгасч-Й!11. Барут А., Раичка Р.
(Ваги1 А. О., Яархйа Я.) [1977]. ТЬе Гйеогу о1 Егосср гергезеп(а1сопз апб арр1(саНопз.— 'суагзасч; РТЧ]с! РоБзй Зс(еп(1!]с РиЫВЬегз, [Имеется перевод; Теория представлений групп и ее приложения. — Мл Мир, 1980,1 Берендс, Дрейтлейн, Фронсдейл, Ли (Вейгепбз ](. Е., ОгеИ!есп 3., Ргопзба! С., 1.ее сЧ.) [1962]. 31шр!с бгоирз апб з1гопй 1п1егасЛап зупипс1г1ез.— Яеч. Мад.
РЬуз., ч. 34, р. 1 — 40. Бйрнер (Боегпег Н.) [!9551. Оагже1!ипйеп чоп Ссгирреп.— Вег!!и, НеЫе!Ьегй, Ь]есч ЧогЫ Зрг!пйег. Баас (Воаз Я. Р.) [1960]. А ргипег а( геа] 1ипсНапз.— Яайсчау: ТЧ!1еу. Бойер, Линдквист (Воуег ]1. Н., Ыпдцшз1 Я, 'сЧ.) [1967). Л. Марй РЬуз., ч. 8, р. 265. ' Борисевич Ю. Г., Близняков Н. М„Израилевич Я. А., Фоменко Т, Н. [1980]. Введение в топологию.— Мл Высшая школа. Бохер М. (Восйег М.) 1п1гобис(юп 1о Ыййег а18еЬга [1922).— (сенс ЧогЫ ТЬе МасМ]Бап Со.
[Имеется перевод немецкого изд. !910 гд Введение в высшую алгебру.— М.— Лл Гостехиздат, 1933.) Вебер Дж. ()ЧеЬег 3.) [1961). Оепега] ге1аНчПу апд йгачИаНопа1 тчачез.— Хеш УогЫ ЪЧ!1еу [Имеется перевод: Общая теория относительности н гравитационные волны.— Мх ИЛ, 1962.] Вейль (ТЧеу] Н.) [1928).
Огирреп1Ьеопе ипб Оиап1епшесйап!1с,— Бе!рх!Е; 3. Нсгхе1. — [1932). ТЬе Гйеогу о1 Егоирз апб циап1иш шесйап]сз.— Ь]есч ЧогЫ Е. Р. ОЫ1оп апс1 Со. " Векуа И. Н. [1978). Основы тензориого анализа н теории ковариантов. — Мл Наука. Внгнер Е. (1Ч!йпег Е.) [1931]. Огирреприеопе ипб 1Ьге Аписепбипй аи1 сБе Оиап1епшесйапгй бег А(опжреЫгеп.— Вгаипзсйше]8: Рг. хЛесчей и. ЗоЬп АО. [Имеется перевод дополн. и исправл. американского издания 1959 гд Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М„ ИЛ, 1961. ) Виленкин Н. Я. [1965[ Специальные функции и теория представлений групп.— Мх Наука. Вильямс Р.
(%1!1!ашз Я. Р.) [1977]. ТЬе з(гис(иге о1 Ьогепх аНгас1огз.— 1п; ТигЬи!епсе Зеш!паг (Нп1ч. о! Са1П., Вегйеу) 19?6 — 1977, р. 94 — 1!2. [Имеетсн перевод; Структура аттракторов Лорениа. — В кнл Странные аттракторы.— Мл Мир, 1981, с. 58 — 72.) ') Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе В ссылках в тексте номера страниц приводятся по нздвнию, гад выхода которого указан после фамилии автора.— Прим. дерев. Слиож литера|пури 361 Гельфанд И.М., ГраеиМ.
И., Виленкин Н. Я.[1962). Обобщенные функции. Вып. 5. Интегральная геометрия и сиязаиные с ней вопросы теории предстанлений.— Мс Физматгиз. Гельфанд И. М„Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. [1958). Предстанления группы вращений и группы Лоренца.— Мс Физматгиз. Генри, Лонсдейл (Непгу, аспида!е) [1965). !п1егпаПопа! 1аЫез 1ог Х-гау сгуз|а1- !ойгарйу. Глисон (О!еазоп А.) [!952). Огоирз шИЬои1 япаП шЬйгоирз.— Апп. о1 МаИ|., ч.
56, р. 193 — 212. Галлуб, Суиннн (ОоИиЬ Л Р., Ячлппеу Н. 1..) [!975]. Опзе1 о1 1игЬи1епсе |и з го(аИпй ИиЫ.— Рпуз. Реч. 1.ещегз, ч. 35, р. 927 — 930. Ди Прима, Хабетлер ((7!Рг!ва П. С., НаЬеИег О. д.) [1969). А совр(е1епеш (Ьеогев !ог поп-ье!(ас(]о!п! е!йепча!ие ргоЫегпз!п Ьубгодупаппс з1аЬ|И1у.— Агсп. Яа1. Месй. апб Апа!., 8 — 227. Дирак П.
(О!гас Р. А. М.) [1928). ТЬе еиап1ив Гпеогу о1 Гйе е!ее!гоп.— Ргос. Яоу. Яос., Яег. А, ч. 117, р. 610 — 624. — [! 958), ТЬе рппс!р1ез о! снап!ив весЬап |се,— Ох1огф С1агепдоп Ргезз. [Имеем ся перевод: Принципы квантовой механики.— Мл Наука, 1979.) Дзян (Г)ачеу А.) [1962). ТЬе йгочНЬ о1 Тау!ог чогИсез |п По|и ЬеЬнееп го1а1|пй суИпбегз.— Л Р!иЫ МесЬ., и. 14, р. 336 — 368. Дани, Ди Прима, Стюарт (Г|ачеу А. О!Рг|ва (с. С., 51иаг| 3, Т.) [!968).
Оп (Ье |пзгаЬИ!(у о! Тау!ог чогПсез.— д. Р!и!6 Месй., ч. 31, р. 17 — 52. Янгель К (5!ейе( С. Ь.) [1956). Чог!езипйы| ЬЪег Н!ввеВвесйап!Ь.— Вег1|п, НеЫе!Ьегй, Ыем Уог[н Ярппдег. [Имеется перевод. Лекции по небесной механике.— М.: ИЛ, 1959.] Янгель, Мозер (5(еде! С. Ь,, Мозег Л) [1971]. Ьес(игез оп се(езИа1 гпесЬап!сз.— ВегИп, НеЫе!Ьегй, Ь]етч Ъ'огй~ Ярг!пйег. Зоммерфельд (Яоплпег1е!б А.! [1929).
Паз Ма1ейй1 а1з зупипе1пзсйе Кгеше1,— 1п: А1овЬаи ипб Ярес1гаИ!п!еп, иеИепгпесйапВсЬег ЕгйапхипйзЬапб.— ВгаипзсЬ|че!д: Рг!ебг Ч!и|лей и. Яойп АО. Игла (Еай!ез Р. М.) [197!]. Оп а1аЬ|Шу о( Тау(ог чо|Исез Ьу Ш|Ь-огбег авр(Иибе ехрапяоп.— ?п Р!и!б МзсЬ., ч. 49, р. 529 — 550. Карри (Сиггу 3. Н.) [1978). А йепегаИхеб Ьогепх зуз!ев.— Совв.
МаПь РЬуз., ч. 60, р. 193 — 204. Келли (КеИеу А1.) [1967]. ТЬе з1аЫе, сеп1ег-з1аЫе, сеп(ег, сел1ег-ипз|аЫе, апд ипз1аЫе вап!1о(|Ь.— В кнл Абрахам, Роббин [!967), Аррепб!х С. Керр Р. (Кегг (с. Р.) [1963). ОгачИаИопа( ИеЫ о! а зр!пп!пй |паза аз ап ехшпр!е о1 а!йеЬга!саИу зрес|а! гпе|г!сз.— РЬуз. Уеч. 1.е1(егз, ч.
11, р. 237 — 238. [Ииеет. ся перевод: Гравитационное поле вращающейся массы как пример алгебраически специальной мшрнки.— В кнс Альберт Зйнштейн и теория гравитации.— Ми Мир, 1979, с. 208 — 211,) Крускал (Кгизйа! М. О.) [1960); Махина( ех1епИоп о1 ЯсйтчагхзсЬ|Ы гпе1пс.— РЬуз. Пе|., ч. !19, р. !743 — 1745. Крюгер, Гросс, Ди Прима (Кгиейег Е. Я., Огош А., О!Рпва Я. С.) [1966). Оп |Ье ге1аИче ипрог1апсе о1 Тау1ог-чог1ех апб поп.ах1зувп|е1г|с видех (п Нотч Ье1- чгееп го!а!!пй суИпбегз.— 3. Р1иЫ Месй., ч. 24, р.
52! — 538. Курош А. Г. [196?). Теория групп.— 3-е изд.— Мс Наука. Ладыженская О. А. [196!!. Математические иопросы динамики аязкой иесжимаш мой жидкости.— Мл Физматгиз; 2.е изд.— Мл Наука, !970. — [!975]. МаупеваИса! апа1уз(з о1 Нач!ег — 5(ойез ейиат(опз 1ог |псовргезяЫе Ийи!бз.— Апина! Печ. о( Р!и!б МесЬ., ч. 7, р. 249 — 272. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
[!954). Механика сплошных сред. 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Гостехиздат. 362 Спиаж лишерашуры Линфорд (Ьап)огб О. Е.) [1973]. ВНпгсаВоп о1 рег!об!с зо!цНопз !п!о !пчаг!ап[ 1огй Гпе могК о! ВпеИе апб ТаКепз.— 1п: Ноп!!пеаг ргоЫегпз (п 1Ье рЬуз!са1 зс!епсез апб Ыо1ойу. Ьес(цге Ыо1ез, чо1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
