Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 75
Текст из файла (страница 75)
взять (31. 15. 1) ..о „о „о„п„о„ то мы выделим не только конкретное звено, связывающее 1, с гп но и отдельную точку этого звена, так что каждая последовательность (31.15,1), а которой о всегда предшествует о,, соответствует единственной траектории на ).. Это следует из свойства несохранення близости для отображения Пуанкаре на ВВ. Если продолжить две траектории вперед по времени, то независимо от того, насколько они были близки друг к другу при (=О, они будут в конце концов разделены так, что в некоторый момент времени ! > 0 окажутся на разных поверхностных элементах Х.
31.16. АттРАктОР лОРенцА. детАли стРуктуРы. и Покажем сначала, что если [1, !) — символ, то найдется несчетное число звеньев из г", связывающих 1с с г . Согласно предыдущему параграфу, каждое такое звено соответствует единственной последовательности символов .,п„оооо=[(,Д, (31.
16. 1) в которой о „, всегда предшествует о м Верно и обратное (см. следующий параграф): любая такая последовательность определяет некоторое звено, и мы увидим, что для данного о, такую последовательность можно выбрать несчетным числом способов. После того как выбран какой-либо символ о „, возможно выбрать (согласно утверждению 6 из Э 31.14) такие о, „о „..., чтобы дойти до [О, Ц за конечное число шагов; положим о,=[О, !1. Тогда, согласно утверждению 5 из того же параграфа, о „,, можно выбрать по меньшей мере двумя способами.
Следовательно, при построении последовательности можно бесконечно много раз выбирать один из двух вариантов. Представив такой выбор на и-м шаге двоичной цифрой а„, мы видим, что для данного и, существует по меньшей мере столько последовательностей (31.16,1), сколько имеется на единичном интервале вещественных чисел О.а„а,а,..., т. е, множество таких последовательностей по меньшей мере несчетно. Отсюда следует, что линия, трансверсальная к ветвящейся поверхности Лт пересекает несчетное число листов аттрактора Е. Пусть М вЂ” точечное множество пересечений этой линии с В. Так как С вЂ” замкнутое множество в к', М вЂ” замкнутое множество 348 Гл.
ад Раяняя стадия турбуллятякти на этой линии. Как было указано в 9 31.9, 1. имеет нулевую меру Лебега в В'! следовательно, М имеет нулевую меру на линии, так как в противном случае декартово произведение М и куска поверхности одного из листов аттрактора Е имело бы положительную меру в трехмерном пространстве. Следовательно, М вЂ” несчетное замкнутое множество меры нуль. Наконец, в М нет изолированных точек, так как приведенные Вильямсом соображения топологического характера показывают, что если звено определяется последовательностью (31.16.1), то найдутся другие, произвольно близкие к нему звенья, соответствующие последовательностям, которые согласуются с (31.!6.1) достаточно далеко в обратном направлении. Следовательно, М является канторовым множеством.
Ркс. 31.9. «Канторава кквгаа. Согласно утверждению 7 из 931.14„каждая из точек 1, и г1 является концом несчетного числа звеньев из Р. Перенося эти звенья вдоль по потоку, мы видим, что неустойчивое многообразие Уй'а(0) на всей своей протяженности представляет собой корешок канторовой книги в соответствии с терминологией Вильямса (см. рис.
31.9). Последовательность (31.!5.1), если она периодична, соответствует периодической траектории на 1.. Взяв любую последовательность (31.15.1), можно без труда найти такую периодическую последовательность, которая согласуется с выбранной, скажем при — К(А(К, где К вЂ” большое число. Следовательно, взяв любую траекторию, можно найти периодическую траекторию, произвольно близкую к ней, так что периодические траектории плотны на 1.. (Конечно, в физической реализации или в численной модели понятие строго периодической траектории является чистой идеализацией из-за конечной точности и неустойчивости по Ляпунову.) 81.17.
Существование звеньев в Р 349 31.17. СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ В Р В 9 31.13 мы считали необходимым предположить предварительно, что в Р имеется хотя бы одно звено, связывающее, например, нуль с г,. (Отсюда уже вытекало существование других звеньев, если переносить первое вкруговую по потоку до очередного его пересечения с полосой В и т. д.) Таким образом, мы предположили, что аттрактор Е содержит некоторую кривую, лежащую на В и связывающую нуль с г,. Проекция множества Р на поверхность Е,— это линия ветвления ВВ, которая является пространственной кривой.
Это хорошо подтверждается численными расчетами. Для выяснения деталей структуры самого множества Р нам придется обратиться к предположениям! — 5, которые были сделаны в 931.13 относительно аттрактора Е. Здесь мы объясним, как из этих предположений можно сделать заключение о существовании звена, связывающего нуль с г, (или 11 с нулем — рассуждения в этом случае будут аналогичными). Мы рассмотрим также следующую задачу.
Было показано, что если о,=[1, 11 — символ, то любое звено, связывающее 1, с г, определяет единственную последовательность ..., о „о „о„ в которой о „, всегда предшествует символу о . Задача состоит в том, чтобы показать, что верно и обратное: любая такая последовательность определяет некоторое звено, связывающее 11 с г . Свое решение первой задачи Вильямс начинает с того, что берет произвольную точку х„на линии ветвления ВВ между проекциями нуля и точки г„строит на ветвящейся поверхности такую траекторию хв(1), для которой х,(0)=хам определяя для этого ее предысторию, а затем вводит на В траекторию х(1), проекция которой на Е„согласно предположению 4 из 9 31.13, совпадала бы с х,(1). Это построение таково, что траектория х(1) непрерывно зависит от положения точки х„на ВВ; следовательно, точка траектории х(0) непрерывно зависит от х„, описывая при изменении х„кривую в Е, которая достигает своими двумя концами нуля и г,.
Имеется много способов выбора предыстории х, (1), приводящих к желаемому результату, так как существует бесконечно много звеньев, связывающих нуль с г, в Г, Способ, используемый Вильямсом, состоит в том, чтобы сделать предысторию чередующейся между двумя половинами ВВ, а именно если при некотором 1, точка х,(1,) предыстории принадлежит ВВ (но не совпадает с проекпиями нуля, 1, или г,), то траектория продолзкается назад (вверх) на задний лист поверхности е.в для х,(1,), лежащей справа от нуля, и на передний лист для х,(1,), лежащей слева от нуля. Нетрудно проверить (обратившнсь к рис. 31.3а), что это всегда возможно и никогда не приводит предысторию в нуль или в проекции точек г, и 1,.
Чтобы убедиться в непрерывной завн- 350 Рл. Л, Ранняя стадия турбулентности симости от хся заметим, что если х„и х' близки друг к другу на линии ветвления ВВ, то получающиеся на 1., траектории х,(() и хв'(() будут близки друг к другу в течение длительного интервала времени, но тогда это верно и для траекторий х (г) и х'(() на (. в силу предположения 4 из 5 31.13. Чтобы показать, что получившаяся в г" кривая имеет нужные концевые точки, заметим сначала, что если точка х„„ очень близка к проекции точки г, на ВВ, то предыстория будет очень близка к внешнему ребру того листа поверхности Вм который лежит позади; следовательно, в прошлом траектория х(() должна была длительное время находиться вблизи точки застоя в нуле и поэтому длительное время была близка к траектории Уе'",(0), которая идет из нуля к г,.
Наконец, если х„ находится очень близко от центра линии ветвления ВВ, траектория уже очень близка к точке застоя и поэтому в течение длительного времени в прошлом была близка к стационарной траектории х(!) = — О. Аналогичная проверка того, что любая последовательность ...,о „а „о,=[1,!), (31. 17,! ) где о „, предшествует символу о м определяет некоторое звено из В, является более сложной, и мы отсылаем читателя к статье Вильямса, где точечное множество Г аппроксимируется с помощью так называемых ретракций'). Смысл этого приема состоит в том, что, если х„— точка линии ВВ между проекциями на ВВ точек 1, и г, положим, что последовательность (3!.17.1) предписывает, какой лист поверхности Е, будет следующим для предыстории х,(() каждый раз при встрече с линией ветвления, когда мы двигаемся по траектории х,(() назад (вверх) через ВВ, По чисто техническим соображениям целесообразно использовать последовательность (31,17.1) таким образом лишь на конечном числе шагов, скажем на и шагах, и считать, что перед этим предыстория чередовалась между двумя половинами ВВ, как было описано выше.
Тогда получившаяся траектория х(() будет не совсем такой, какая нам нужна, но близкой к ней и будет сближаться с пей прн и о Утверждение о том, что каждая последовательность (3!.17.1) определяет единственное звено из В, уже было использовано в предыдущем параграфе для установления несчетности числа листов аттрактора Е. 31.1а. БИФУРКАЦИЯ К СТРАННОМУ АТТРАКТОРУ В 5 3!.9 мы отмечали, что бифуркация в системе Лоренца при г=г,=24.74 является докритической, и упомянули о возможности г! Ияи стягиваний (топ.) — Врия, нерее. И./9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
