Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Притягивающие неподвижные точки, притягивающие замкнутые траектории и притягивающие инвариантные торы различных размерностей представляют собой примеры аттракторов. Другие аттракторы часто имеют более сложную геометрическую структуру, содержащую, например, канторовы множества. Странным называется такой аттрактор, на котором движения неустойчивы в смысле Ляпу- Зиб. Энергетический спектр двп движения в И» 327 нова и, следовательно, характеризуются непрерывным энергетическим спектром, как это объясняется в остальной части данной главы. ЗСЬ, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ДЛЯ ДВИЖЕНИЙ В Р» Основы теории энергетического спектра обсуждались в 2 4.6 тома 1.
Там это делалось для непрерывной функции Г(г), которая осциллирует более или менее иррегулярно при всех 1 от — ои до +со. Такая функция не может быть представлена ни с помощью классического ряда Фурье, поскольку она не является периодической, ни с помощью классического интеграла Фурье, так как она не принадлежит (.'. Но она является распределением медленного роста и, следовательно, имеет преобразование Фурье в смысле теории распределений. Энергетический спектр — это функция 5 (св), которая описывает распределение энергии, связанной с Г(г), через частоты компонент Фурье без учета их фаз. А именно 5 (ев) — неубывающая вещественная функция и 5(св,) — 5(св,) — это энергия, заключенная в компонентах Фурье с частотами из интервала (м,, сй«).
Мы кратко сформулируем здесь результаты применительно к (вместо ) (О) векторназначной функции х((), х(() Е!к». Для х (() автоковариационная функция определяется как г Д(т)=!пп ~142Т)) ~ х((+т).х(1)Ш, (31.6.1) г — т а энергетический спектр как 5 (сй) = ~ Й (т)!(ент — 1)42п(т))с(т. (31,6,2) » Пояснения 1. Мы молчаливо предполагаем, что все компоненты вектора х(1) эквивалентны в смысле их вклада в энергию движения. Обобщение получается путем замены скалярного произведения в (31.6.1) на (31.6,3) х(!+т) Вх(Г), где  — положительно определенная матрица, вводимая из физических соображений таким образом, чтобы выражение (31.6.3) представляло энергию.
2. Если спектр «непрерывен», т. е. функция 5(св) абсолютно непрерывна, что имеет место тогда, когда )е(т) достаточно быстро стремится к нулю при т — -~-со, то спектральная плотность Гл. 81. Раннлл спадал турбулентности получается как обычное преобразование Фурье: 5'(аь)=(1!(2п)1 ) )7(т)е'"'ь(т. Ф (31.6.4) где (а, Ь) — некоторый большой интервал. Как было указано в конце ~ 31.4, хотя функция х(!) и рассматривается как некоторое приближение к движению на его собственном ьа-предельном множестве и тем самым как определенная для всех Т, на практике она известна только при ! '~ О; поэтому в представлении (31.6.6) мы имеем О < а ( Ь. К тому же это представление будет хорошим приближением, если все быстрые переходы произошли гораздо раньше момента времени !=а. По поводу дальнейших подробностей и примеров см.
Е 4.6 тома 1. 3$.7. ПОНТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕИИЯ Квазипериодические движения, предсказываемые согласно модели Ландау — Хопфа, являются частным случаем почти периодических движений и, следовательно, имеют чисто линейчатый спектр. Если периодическая функция у из (31.1.1) с пь периодами разложена в т-кратный ряд Фурье, т. е. у(г, ..., г ) ~ч с(й, ... й )е'"*'- " ' ', (31.7,1) — ~ Ььи "., лиат то после надлежащей перенумерации слагаемых квазипериодическая функция Г(!), заданная в виде (31.1.1), может быть представлена как 1 (1) = ~~' с е "~, ! ь (31.7.2) В численных расчетах )с( ) задается только для некоторых дискретных значений т, а 5( ) или 5'( ) получаются только для некоторых дискретных значений ьа. В этом случае 5'(.) обычно получается из Й(.) при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье, и, если спектр содержит линии, они выглядят не как вклады вида 6-функции в 5'( ), а как отдельные значения 5'( ), которые много больше окружающих значений.
3. Если х(1) получается из эксперимента или путем численного моделирования, то в (3!.6.1) нельзя совершить предельный переход и вместо этого следует положить ь й(т) — ~!/(Ь вЂ” а)1 ) х((+т) х(1) е(1, (3!.6,6) О 81.7. Почти кериодичеокие и аяериодичеекие движения 329 где каждое ео является линейной комбинацией «о,, ..., «о с целочисленными коэффициентами. Если бы нашлось такое значение «»0, для которого все величины ооит (й=1,..., еп) одновременно будут целыми кратными числа 2п, то функция 7(1+т) тождественно равнялась бы 7'(г) и 7( ) была бы периодической.
Так как «оя несоизмеримы, такого т не существует. Однако можно показать, что т можно выбрать так, чтобы разность 7(1+т) — 7'(1) стала произвольно малой. Более того, для данного з)0 найдется такое Т=Т(е))0, что в каждом интервале по (длины Т будет содержаться по крайней мере одно такое т, для которого 1Р(1+т) — 7'(И))(е при всех (, Любая непрерывная функция, обладающая этим последним свойством, называется почти периодической по Бору и может быть разложена в ряд вида (3!.7.2), который прн этом сходится по определенной 1.»-норме (см. книгу Рисса н Секефальви-Надя 11953, гл.
4!). Квазипериодическая функция, как мы ее определили, является почти периодической функцией, для которой только конечное число частот будут линейно независимыми над полем рациональных чисел. Векторнозначная почти периодическая функция х(е) определяется аналогично. Как было показано в 5 4.6 тома 1, почти периодическая функция имеет чисто линейчатый энергетический спектр. Следовательно, при переходе к турбулентности согласно модели Ландау — Хопфа энергетический спектр остается чисто линейчатым после любого конечного числа бифуркаций, хотя число линий в данном частотном интервале может заметно увеличиваться с ростом числа Рейнольдса.
Как мы увидим, модель Рюэля — Такенса предсказывает появление непрерывного спектра после сравнительно небольшого числа бифуркаций. Почти периодический характер движения в модели Ландау— Хопфа кажется неправдоподобным с интуитивной точки зрения. Если движение в каком-то смысле случайно, оно не должно «запоминать» свое прошлое поведение настолько точно, чтобы воспроизводить это поведение с любой желаемой степенью точности в сколь угодно далекие времена в будущем, как это имеет место для почти периодического движения.
Зто можно выразить также в терминах автоковариационной функции ес(т), поскольку Я(т)/)с(0) — авто- корреляция, т. е. корреляция функций 7(7) и 7" (г+т). Теорема о почти периодических функциях гласит, что свертка двух таких функций в смысле (31.6.1) также будет почти периодической (см. книгу Рисса и Секефальви-Надя). Следовательно, Я(т) будет почти периодической, если такова 7(1), и коэффициент корреляции 7(г) и 7(7+т) будет произвольно близко приближаться к 1.0 повторно для определенных произвольно больших значений т. Гя. И.
Ранняя стадия турбулентности Напротив, для типичного движения по странному аттрактору е!(т) быстро убывает к нулю при т — ~-~оа; тогда энергетический спектр оказывается чисто непрерывным и получается с помощью (31.6.4). Случай такого аттрактора Лоренца рассматривается в 3 3!.11. 31Л. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ Движение х(1) [решение уравнения (31А.1)! устойчиво в смысле Ляпунова, если любое другое движение х(1) (другое решение уравнения (3!.4.1)), которое достаточно близко к нему в начальный момент, остается близким и в дальнейшем, точнее, если для любого е)0 найдется такое 6=6(е))0, что если ! х(0) — х(0)) < 6, то )х(1) — х(1)) < е при всех 1) О. Если движение неустойчиво в этом смысле, то найдется такое (не обязательно очень малое) положительное а, что при любой малости 6 будет существовать возмущение, по модулю меньшее 6 вначале и большее е в некоторый более поздний момент времени.
Одна из причин появления излагаемой ниже работы Лоренца состояла в том, чтобы показать, что некоторый простой прототип атмосферного движения является неустойчивым по Ляпунову, а это имеет очевидное отношение к задаче о прогнозе погоды. 31ЛЬ СИСТЕМА ЛОРЕНЦА. ВйаеУРКАЦИИ Первый странный аттрактор в задаче, имеющей отношение к гидро- динамике, был обнаружен Э. Лоренцом в 1963 г. Лоренц разложил уравнения Бенара, описывающие тепловую конвекцию в подогре- ваемом снизу горизонтальном слое жидкости, в тройные ряды Фурье относительно пространственных переменных, а затем оставил в по- лучившейся системе обыкновенных дифференциальных уравнений, характеризующих зависимость коэффициентов Фурье от времени, только три уравнения.
Если коэффициенты Фурье в этих уравне- ниях обозначить через Х(1), У'(с) и 2(1), то уравнения запишутся в виде Х= — пХ+пУ, у-.х — у — хг, 2= — Ь2+ Х)е, или короче в виде Х = г (Х). (31.9.2) Постоянные о, г и Ь безразмерны; для физической системы, рассматривавшейся Лоренцом, они имели значения о 1О, Ь="(„0< с < оо; (31.9.3) ЗЗ! 3/.9.
Сиоаииа Лоренца. Бифуркации параметр г пропорционален числу Релея и является мерой интенсивности подогрева. Лоренц хотел получить общее представление о характере неустойчивости, заложенной в основе атмосферных явлений, и не стремился к тому, чтобы указанная выше система была реальной моделью атмосферы или тепловой конвекции. Позднее Карри [19781 изучал более реальное приближение для уравнений конвекции Бенара, оставив в системе четырнадцать уравнений вместо трех. У него получилась более сложная последовательность бифуркаций при увеличении числа Релея г, но и тогда странный аттрактор еще имел место для определенных значений г. Лоренц показал, что существует такая зависящая от о, г и Ь постоянная )с, что решение Х(!) системы (31.9.1) в конце концов навсегда попадает в шар х+у ! г <д*.
(3 1.9е4) Далее, из (31.9.1) следует, что дивергенция векторного поля Г(Х) имеет постоянное значение: Ч р = — «и+Ь+ !)=- — !зе~„и (31.9.5) так что объем области, переносимой вдоль по потоку (31,9.1) в )к', уменьшается со временем как ехр ( — 13.67 !). Поэтому в шаре (31.9 4) имеется хотя бы один аттрактор и каждый такой аттрактор занимает в ка нулевой объем. Система (31.9.1) имеет следующие неподвижные точки, или стаци она рные решения. 1. При любом т начало координат Х=)г=-2=0 будет неподвижной точкой. При 0 г(1 она устойчива (и фактически является притягивающей).
При г ~1 она неустойчива: лииеаризованная задача имеет одно положительное и два отрицательных собственных значения. Имеются одномерное неустойчивое многообразие с горизонтально направленным касательным вектором в нуле (он параллелен плоскости 3=0) и двумерное устойчивое многообразие с расположенной вертикально касательной плоскостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
