Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Рюэль и Такенс показали, что для Т' весьма возможно движение по странному аттрактору специального вида, принадлежащему Т'. Этот аттрактор локально представляет собой декартово произведение двумерного каиторова множества и двумерной поверхности. Теорему Рюэля — Такенса можно перефразировать следующим образом. Рассмотрим банахово пространство В, каждая точка которого представляет векторное поле на торе Те, с нормой, включающей модули компонент векторного поля и их производных порядка не выше 3. Две точки из В, мало отличающиеся по норме, можно рассматривать как две физические системы, получающиеся одна из другой путем малого возмущения векторного поля.
Тогда для любого заданного постоянного поля иа уч (поля, для которого угловые переменные на торе изменяются линейно со временем) и любого заданного е,)0 существует возмущение этого поля, по норме меньшее, чем е,, которое порождает странный аттрактор описанного этими авторами вида, Далее, существует другое число е, 0 (возможно, много меньшее, чем е,), такое, что странный аттрактор сохра- дй4. ььнредееьное множество движения 323 няется при наложении любого дополнительного возмущения, не превосходящего по норме е,.
Следовательно, векторные поля, порождающие странный аттрактор, нельзя считать редкими исключениями. В их выборе странного аттрактора есть некоторый произвол; возможны его многочисленные вариации с сохранением сформулированного выше свойства. В механизме возникновения странного аттрактора, обнаруженного ранее Э. Лоренцом (см. 5 31.9 — 31.17), имеются некоторые отличия. По-видимому, никому еще не удалось построить на конкретном многообразии конкретное векторное поле, которое приводило бы к странному аттрактору в точном соответствии с моделью Рюэля — Такенса. В их статье содержится важное утверждение о том, что движения по странным аттракторам в некотором смысле вероятны или по крайней мере не являются чем-то исключительным, а возможно, даже типичны при некоторых обстоятельствах.
В их теореме не утверждается, что существование странного аттрактора— это типичное свойство векторных полей на Тч (см. приложение к этой главе). Соответствующее множество банахова пространства 8 является открытым, ионе обязательно замкнутым: оно лишь произвольно близко примыкает к каждой точке пространства В, которая представляет постоянное векторное поле на Те. Теорема Рюэля— Такенса просто утверждает, что если о существовании инвариантного тора Т' уже известно, то на нем движение по странному аттрактору более вероятно, чем квазипериодическое движение. 31.4.
е-ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ДВИЖЕНИЯ По аналогии с 2 29.7 рассмотрим на коиечномерном многообразии М динамическую систему х = Р (х), (31.4.!) где Р ( ) †гладк векторное поле на М. Решение х (1) этого уравнения называется движением на М, а множество принадлежащих М точек у=(х((): все () (31.4.2) называется траекторией (или орбитой) этого движения.
Предположим, что задача с начальными данными для уравнения (31.4.1) корректно поставлена, и для любого х, из М и всех Г ) О обозначим через Ч~(х„г) решение, которое начинается в точке х,; таким образом, если х(() — какое-либо решение, то х(с)=~в(х(О), (). (31.4.3) При фиксированном х функция 1р(х, () — это движение, тогда как при фиксированном 1 ) Π†э взаимно однозначное отоб- Гл. Л. Ранняя стадия турбулентности ражение х — ~р(х, г) многообразия М на себя.
Функция ~р(х, г) называется полупотоком; она обладает полугрупповым свойством, а именно для неотрицательных с и з ~ррр(х, с), з)=~р(х, 1+э). (31.4.4) При с = 0 ~р совпадает с тождественным отображением: ~р (х, 0) = х. Будем предполагать, что функция ~р(х, 1) непрерывна по х и г'. Точка $ из М называется ыпредельпой точкой движения х ((), если для произвольно больших времен х(() сколь угодно близко подходит к в, т.
е. если существует такая последовательность «1,),", что ~н 1х((„) — $ /- 0 « (31.4.5) Множество всех со-предельных точек движения называется его ы-предельным множеством и обозначается через й„, где х — начальная точка движения; это множество точек замкнуто. Для любой другой точки у той же самой траектории й„ = й„. Приведем несколько простейших примеров. Если прн ( — оо движение стремится к неподвижной точке, то эта точка и будет со-предельным множеством данного движения. Если движение на плоскости по спирали стремится изнутри к некоторой замкнутой кривой, то эта кривая будет со-предельным множеством такого движения.
Если траектория движения на торе плотно покрывает его, то для каждой точки этой траектории со-предельным множеством будет полная поверхность тора. Символ т относится к будущему времени. Если движение существует при всех г', то, устремляя г к — оо, аналогично определяют сс-предельные точки и сс-предельные множества. Если при (= 0 движение х(() остается в ограниченной области многообразия М, то его со-предельное множество Й непусто н с ростом времени х(() стремится к Я, т, е. (расстоянне от х(с) до ь)) — 0 прн (- аа (31.4,6) (см. книгу Немыцкого и Степанова [1947, гл.
5, ~ 31). Однако й не всегда будет устойчивым или притягивающим: другие близкие движения могут пройти мимо него и никогда не возвратиться. Имеется важная связь со-предельных множеств с вопросом об обратимости движения. Решение уравнения (31.4.1) не может быть в общем случае продолжено на все отрицательные г. Например, этого нельзя сделать для решений уравнения х= — х' на К [за исключением решения х(г)=0«и, вообще говоря, для решений уравнений Навье — Стокса из-за параболического характера последних.
Однако для некоторых специальных движений это можно сделать. п.з. Аетракторы 325 Из непрерывности и полугруппового свойства ~р следует, что если в качестве начальной точки х (О) выбрана одна из в-предельных точек движения х (г), то каждая последующая точка х(1,) также будет а-предельной для х(1). Точнее говоря, если движение начинается в своей а-предельной точке, оно там и остается. Можно доказать, что такие движения могут также быть продолжены бесконечно далеко назад по времени и, следовательно, принадлежат й,<м при всех 1 (см.
книгу Селла 11971, теорему 11. 81). Этот последний результат может показаться парадоксальным с точки зрения физических наблюдений или численного моделирования, для которых возможна лишь некоторая конечная точность. Согласно соотношению (31.4,6), для практических целей можно считать, что любое ограниченное движение х(г) по прошествии конечного промежутка времени попадает в свое собственное в-предельное множество. Отсюда не следует, конечно, что при помощи конечно-разностных методов можно двигаться по такой траектории бесконечно долго в обратном направлении, не удаляясь при этом от Й„<.6 это означает только, что, если движение каким-то образом построено в прямом направлении для достаточно большого интервала времени и уже ие наблюдается его заметного изменения, этот результат можно рассматривать как достаточно точное приближение к такому движению, которое в идеальном смысле принадлежит й„,м при всех (. зкэ.
АТТРАКТОРы Грубо говоря, аттрактор †э такое множество из л(, что любое достаточно близкое к нему движение стремится к нему с возрастанием времени. Точнее говоря, мы будем называть связное замкнутое ограниченное множество 5 из М аттрактором, если выполняются следующие условия. 1. 5 содержится в таком открытом множестве Я„что для любого х из Я, движение ~р (х, г) принадлежит А, при всех ( > О.
2. Если Я вЂ” любое открытое множество, содержащее 5 (см. рис. 31.2), то для любого х из А найдется такое значение времени т, что ~р(х, г) будет принадлежать Я при всех ( > т. 3. Для данной области А, множество 5 является наименьшим из имеющих указанные свойства множеств. Минимальность понимается в том смысле, что если М(1) — результат преобразования области Я, под действием ~р, то при ( — со Я(() стягивается к 5, но не более того, т. е.
5= () 31((). г>е Для данного аттрактора 5 наибольшее открытое множество зчм обладающее перечисленнымн свойствами, называется облааиыо 326 Гл. 81. Ранняя стадия турбулентности притяжения 5. Будем считать 5 связным, так как если он состоит из двух несвязанных «кусков» 5, и 5„то каждый из них может быть включен в подходящие области Я, и Ял и рассматриваться как отдельный аттрактор. Смейл (19671 сделал дополнительное предположение о том, что должна существовать траектория, плотно покрывающая 5. Примером, в котором это условие не выполнено (тогда как другие выполнены), является задача Тейлора о течении между вращающимися цилиндрами.
После первой бифуркации получается замкнутая кривая (в действительности окружность) в фазовом (гильбертовом) пространстве, состоящая из неподвижных точек, и любое близкое Рис, зн2. движение асимптотическн стремится к состоянию покоя в одной из этих неподвижных точек. Однако этот пример нетипичен в том смысле, что произвольно малое возмущение (скажем, перемещение всей установки с малой скоростью вдоль оси или в направлении г) может привести эти точки в движение вдоль окружности, так что окружность превратится в траекторию.
са-предельное множество движения будет аттрактором, если оно притягивает также все другие близкие движения. В более общем случае атграктор 5 — это объединение нескольких т-предельных множеств, а именно са-предельных множеств всех движений, которые начинаются в И. В частности, 5 может содержать неподвижные точки и замкнутые траектории, которые, конечно, являются своими собственными т-предельными множествами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
