Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 65
Текст из файла (страница 65)
При определенных дополнительных предположениях будет показано, что при )х > Р, существует почти круговая инвариантная замкнутая кривая и в Я, обходящая точку $. Пусть теперь и переносится течением в М; тогда она покинет У и начнет описывать инвариантную трубу в М, которая затем замкнется, образовав тор, когда и снова окажется на поверхности У вблизи точки в. Чтобы облегчить анализ отображения Пуанкаре, удобно ввести в 5 вместо и и о новые координаты $ и т).
Выберем эти координаты так, чтобы привести отображение Пуанкаре к настолько простой, насколько это возможно, форме (нормальной форме), т. е. чтобы исключить в (29.10.4) некоторые нелинейные члены. При (а)~1 можно исключить столько нелинейных членов, сколько представляется нужным (см. книгу Зигеля (1956, й 21)), но, чтобы при прохождении г! через значение Р„когда ! а(Я) (= 1, искомое преобразование не имело особенности, нужно в (29.10.4) оставить член ад„гиг; таким образом, можно исключить все остальные члены по- 300 Гв. гэ.
Бифуркации в вадачак гидродиначичвской устойчивости рядка не выше 4. (В принципе можно было бы исключить все члены порядка не выше 6, оставив лишь член ао„гвгв, и т. д., но исключение членов порядка не выше 4 — это в точности то, что необходимо нам для проведения анализа.) Перейдем к представлению ь=с+(ч1 с помощью равенств 4 г~~+ ~ <р (29.10.5) !чтьо г =~'+ Х ~рв„~'в~" (29.10.6) Вотьа и выберем в них коэффициенты ср, таким образом, чтобы после подстановки этих соотношений в (29,10.4) отображение Пуанкаре приняло нормальную форму — ь'=*аь(1+8(~1в)+0(Ц'), (29,107) где 0(~') содержит члены степени 5 и выше по ~ и ~, а р — новая постоянная.
Чтобы выразить коэффициенты ср, через заданные коэффициенты 9 ю подставим в правую часть (29.10.4) в качестве г правую часть (29.10.5), затем подставим в правую часть(29.10.6) в качестве г' правую часть (29.10.7) и подставим этот результат в качестве г' в левую часть (29.10.4), После этого (29.10.4) станет тождеством по ~ и (", и в нем полный коэффициент при Яо можно приравнять нулю.
Получившиеся таким образом уравнения, если их расположить в правильном порядке, могут быть разрешены относительно коэффициентов ф,„при условии, что и, а', а', а' и ав не равны 1, (29,10,8) как это объясняется в приложении к данной главе. (Уравнение, получающееся при р=2 и 0=1, не может быть разрешено относительно фвы если ~а~ =1, но оно всегда разрешимо относительно (), и мы просто положим ср„=О.) Для успешного применения этого метода мы должны предположить, согласно (29.10.8), что, когда при возрастании )с точка а(Р) пересекает единичную окружность (а( 1 в комплексной плоскости, она не совпадает ни с одним из корней из единицы степени меньше 6.
Тот случай, когда она совпадает с одним из этих корней, кратко обсуждается в следующем параграфе. Введем вместо )г новый безразмерный параметр р (сс()г)) — 1 и используем полярные координаты г и О, в которых ~ = ге'о; тогда отображение Пуанкаре примет вид Ф: г' (1+(с) г+с,го+~(г, О) г', (29.10.9) О'=О+с,+с,г'+д(г, 8)г', (29.10.10) где р и у — гладкие функции, а сра с„с„р, д гладко зависят от р в некоторой окрестности значения р= О. 301 29,!О.
Бифуркации к инаариантному тору Константа с, играет роль постоянной Ландау: если сз < 0 (именно это мы и предположим), бифуркация будет закритической. Если в (29.10.9) не учитывать член высшего порядка малости, содержащий /(г, 9), то кривая и"„для которой г=г„где г, = уг(з/( — с,), была бы прн р ) 0 инвариантной относительно отображения Пуанкаре.
Она концентрична с замкнутой траекторией, изображенной на рис. 29.7; следовательно, при своем движении по течению в М она образовала бы тор. Чтобы учесть влияние отброшенного члена, определим последовательность кривых О„: (г= „(9), 0<9<2п) по индукции, начиная с 6з и полагая далее и"„+,— — Ф(6„).
Можно показать, что для достаточно малых 1з (т. е. для достаточно малой разности /с — йз) эти кривые сходятся при п — оо к предельной кривой 6„, которая и будет инвариантной относительно Ф. Доказательства сходимости и ограничений на р слишком длинны и поэтому опущены, за исключением немногих утверждений и формул, приведенных в приложении к этой главе. Показывается, например, что при малом 1з кольцо (29,10,11) '/згз < г < '/згз отображается Ф в меньшее кольцо (з/о+з/, (з) гз < г' < (4/з з/ р) гз (29.10.12) Это подтверждает тот факт, что Ф вЂ” сжимающее отображение. Показано также, что если Ь„* гпах ( г„+, (9) — г„(9) ! <з> — максимальное радиальное перемещение кривой Ж„под действием Ф, то й„,„г < Ко„, (29.10,13) где константа К < 1, если р достаточно мало.
Наконец, показывается, что при достаточно малом р ~дг„(9)/дО) < р для всех п и всех 9, (29.!0.14) так что предельная кривая 'в"„ будет по меньшей мере непрерывной по Липшнцу. Наконец, рассмотрим трубку в К-мерном пространстве иИ, состоящую из траекторий, которые начинаются в точках кривой 6„. Эта трубка соединяется сама с собой, образуя замкнутую поверхность, когда траектории возвращаются на поверхность 5, где они 302 Гв. 29. Бифуркации в вадачак еидродии етческой устойчиовсти снова проходят через кривую и"„. Такая поверхность гомеоморфна тору, а не бутылке Клейна, поскольку при замыкании трубки ориентация кривой и"„сохраняется (последнее следует из определения отображения Пуанкаре (29 10.9), (29.10.10), откуда видно, что 0' является возрастающей функцией 01.
Мы не утверждаем здесь, что любая отдельная траектория плотно покрывает получившийся тор и, следовательно, является квазипериодической функцией времени. В самом деле, в гл. 31 будет объяснено, что в силу теоремы Пейксото это представляется в общем случае маловероятным. 2ЭЛ1. СУБГАРМОНИЧЕСИАЯ БИФУРИАЦИЯ В предыдущем параграфе уже отмечалось, что если а ()с) при возрастании !с пересекает единичную окружность (а!=1 в точке, являющейся корнем из единицы степени менее 6, то изложенным методом нельзя обосновать существование инвариантного тора.
В этом случае бифуркация может привести к одной или нескольким дополнительным периодическим траекториям. Мы рассмотрим только простейшую ситуацию, когда высшие члены в отображении (29.10А) в основном уже отсутствуют и, следовательно, нет необходимости их исключать. Положим а =ехр (2п(р/))(д -5) и возьмем отображение вида г'=аг(1+0(г!ч) (р вещественно и отрицательно) или, в полярных координатах, г'=(1+!с) с+с св (с, < 0), 0'=О+2пр(д, (29. 11, 1) В этом случае на расстоянии с,=)ср/( — с,) (на поверхности о) от старой траектории образуются новые траектории, которые будут замкнутыми, потому что после д-кратного применения отображения Пуанкаре каждая точка окружности с=се переходит сама в себя.
При малых положительных 1> старая траектория неустойчива, если с, (О, а новые траектории устойчивы. Когда 1>, возрастая, проходит через О, период рассматриваемой траектории скачкообразно увеличивается в д раз. В этом случае результатом бифуркации может бьипо еще и инвариантный тор, хотя наш метод его нахождения теперь уже непригоден. В рассмотренном выше примере такой тор существует, так как окружность с(0)=с, является инвариантиой. И наоборот, даже когда удается обосновать существование инвариантного тора, на кривой Ж„могут найтись такие точки, которые будут инвариантны относительно некоторой степени отображения Пуанкаре и тем самым будут порождать замкнутые траектории на этом торе.
//рилож. к гл. 29. Построение инвариантного тора Приложение к главе 29. НЕКОТОРЫЕ ДЕТАЛИ ПОСТРОЕНИЯ ИНВАРИАНТНОГО ТОРА 303 Сначала рассмотрим вопрос об определении входящих в (29.10.5) н (29.10.6) коэффициентов фс по заданным коэффициентам ага из (29.10.4)— это необходимо для приведения отображения Пуанкаре к нормальной форме (2ч9.(0.7). Как отмечалось в тенете, для этого нужно подставить (29.10.5)— (29.10.7) в (29.10.4) и, получив таким образом тождество относительно степе- ней Ь н Ь, приравнять затем полные коэффициенты при ГРьз в правой и ле- вой его частях. При (р, д)=(0,0), (1,0) и (О, !) получившиеся уравнения уловлетворяются автоматически.
Следующие 12 уравнений располагаются в такой последовательности: (Р, 4) = (2, О), (1, !), (О, 2), (3, 0), (2, 1), (1, 2), (О, 3), (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (О, 4), и в этой же последовательности из них находятся коэффициенты ф ; тогда фр будет неизвестным только в том уравнении, в котором он вперные по- является, а это уравнение имеет вид аржь!р -',—...
— — афре+.... Отсюда можно найти фре, эа исключением того случая, когда прае=а. Так как р+д > 1, последнее верно лишь тогда, когда (а(=1 и при этом а!а-в-!1 1 Если р — о — 1 Рс О, то последвее равенство выполняется только тогда, когда а является корнем степени ~ р — д — ! ) из единицы, откуда и следуют ограничения (29.10.6).
Случай р — д — 1=0 имеет место только прн (р, д)=(2,1); это уравнение не может быть разрешено относительно фзм если 1 а (=1, но зато из него можно определить 5; следовательпо, мы просто положим фз, =О. Приведем также, опуская доказательство, некоторые ограничения иа р, выполнение которых гарантирует существование инвариантиой предельной кривой Ю, обсуждавшейся в основном тексте. Во-первых, кольцо (29.10.11) отображается в кольцо (29.10.12), если спал 1/ ! р < вв/„,вв сз и Р < в/тз, где гпах(/! означает максимум величины (/(г, 9, р)1 в некоторой области г~гт, (р(~Ос, в которой отображение Пуанкаре имеет нормальную форму (29,10.9), (29.10.10). Во.вторых, оценка (29.10.141 длн аги/б0 справедлива, если дополнительно гпах) / (свЗр~н+5 шах (/! св49+шах (/е! св )с 'р < /в и 2! сз ! с, рр)с+шах (я )свр'+4 гпах (д! евра/в+шах !Еа(свр < ~/в где св=4/(3 г' — ст).
Наконец, оценка (29.10.13) выполняется при К=! — р/6, если дополнительно 2 ( сз 1 с, р' р+ пах ! дг ! сер з+ 4 гп ах ! я ! свар'/з+ 5 !пах ! / ! ср+ +шах! г (св)с~! < '/. Глава ЗВ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ В ЗАДАЧЕ ТЕЙЛОРА Представление коиечиомериых многообразий в гильбертовом пространстве степенными рядами; координаты иа многообразии; определение коэффициентов рааложеиия; динамические системы иа миогообразиях; разделение переменных; вихри Тейлора, волнистые вихри; винтовые вихри. Предварительные сведению гл.
29. Эта глава посвящена методу нахождения неустойчивого многообразия, которое возникает из основного течения в гидродинамических задачах, рассматривавшихся Дэви 119621, Дэви, Ди Примой и Стюартом !19681 и Иглзом !19711 в связи с исследованием задачи Тейлора. Хотя результаты, которые были получены до сих пор этим методом, являются довольно ограниченными, он остается пока что единственным известным приемом для решения таких задач (см. также работу Хассарда П9801, посвященную аналогичному методу для конечномерных пространств).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
