Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 63
Текст из файла (страница 63)
т) Анализируя численное значение скалярного произведения, не следует забывать о приближенном характере вычислений. †Пр. яеуеа. 290 Гл. еэ. Бифуркации в задачах еидродинаиичсской устойчивости Для задач гидродинамики собственные значения лежат главным образом на вещественной отрицательной полуоси или вблизи нее, а точнее, в области, ограниченной параболой [хе Л<;с,— с, (1п1 Л)' (ст > 0); сч обычно возрастает с возрастанием числа Рейнольдса сс, но при любом Я только конечное число собственных значений лежит в правой полуплоскости.
Поскольку уравнения Навье — Стокса вещественны, собственные значения либо вещественны, либо образуют комплексно сопряженные пары, ТКТ. ПРИВЕДЕНИЕ К КОНЕЧНОМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Для изучения начальной стадии турбулентности нет необходимости знать все траектории системы (29.4.1) в гильбертовом пространстве ет'. Достаточно рассмотреть одно специальное семейство траекторий, которые, согласно приводимым ниже физическим соображениям, принадлежат так называемому неустойчивому многообразию, возникающему в [т из нуля в момент бифуркации. Движения в этом многообразии образуют конечномерную динамическую систему, Эта идея была использована Дэви, Ди Примой и Стюартом [1968[, а также Рюэлем и Такенсом [1971[. Устойчивые и неустойчивые многообразия играют важную роль в теории дифференцнруемых динамических систем: см.
работы Смейла [1967[, Абрахама и Роббина [1967), а также Келли [1967[. Большая часть теории берет начало в небесной механике и не может быть непосредственно применена к нашей задаче, потому что !) динамические системы в небесной механике конечномерны с самого начала, а в гидродинамике нет и 2) в первом случае они являются гамильтоновыми, тогда как во втором строго диссипативными и нх решения не продолжаются, вообще говоря, в область отрицательных времен, так что первые определяют поток в гильбертовом пространстве, а вторые — только полупоток (однако см. книгу Селла [1971[, где большая часть теории сформулирована так, чтобы включались полупотоки). Наш подход в основном интуитивный, но он опирается на физические соображения. Предположим, что значение числа Рейнольдса длительное время поддерживается постоянным и несколько превышающим первое критическое значение; предположим далее, что для этого значения в правой комплексной полуплоскости КеЛ) 0 находится некоторое конечное число собственных значений Л линеаризованной задачи (к 1, ..., К), а остальные собственные значения лежат в левой полуплоскостн.
Пусть в очень ранний период (прн больших отрицательных 1), который мы назовем ранним линейным режимом, было наложено произвольное, но очень малое возмущение, представляющее собой линейную комбинацию всех собст- 29.7, Приеедение к конечномерной динамической системе 291 венных колебаний ф„е'»' (й изменяется от 1 до о); с течением времени (когда ( еще отрицательно) в позднем линейном режиме вклад всех собственных колебаний, за исключением первых К из них, становится несущественным и возмущение можно будет записать в виде линейной комбинации ~~'„а»ф»е», (29.7.1) » с где ан — постоянные коэффициенты; будем считать, что это возмущение все еще достаточно мало, а входящие в него собственные функции возрастают экспоненциальио и независимо одна от другой.
Еще позднее наступает нелинейный режим развития возмущения (включающий «настоящий» момент времени 1=-0), когда возмущение, продолжая расти, из-за нелинейности теряет свою простую Рис. 29нк форму (29.7.1) (хотя еще и остается зависящим от параметров а,, ..., ах) и может, например, переходить по спирали в замкнутую траекторию или иметь другое сложное нелинейное поведение. Если зафиксировать момент времени (например, положить ! =О) и варьировать значения параметров ам, аю то получившиеся точки будут лежать на К-мерной поверхности или многообразии М в гильбертовом пространстве и это многообразие будет в нуле касаться линейного многообразия М„натянутого на собственные векторы ф«, ..., фк(см.
рис. 29.4). Многообразие М инвариантно относительно полупотока в Н, определенного при помощи (29.4.1), в том смысле, что любая траектория, начинающаяся на М, не выходит из М, поскольку, согласно (29.7.1), сдвиг начала отсчета времени на 1„очевидно, эквивалентен изменению значений параметров по правилу ໠— анен»'е. 292 Гл. ХУ. Бифуркоции е лодочек еидродиномической устойчиеости Лежащие в М траектории можно интерпретировать как движения некоторой динамической системы с К степенями свободы. Свойства этой системы мы и хотим изучить.
М называется неустойчивым многообразием в Н, исходящим или зарождающимся из нчля. Неустойчивое многообразие, исходящее из любой другой фиксированной точки в Н, можно определить аналогичным образом после предварительной линеаризации эволюционного уравнения в окрестности этой точки. По поводу неустойчивых многообразий, исходящих из замкнутых или квазипериодических траекторий, мы рекомендуем читателю книгу Абрахама и Роббина [19671 (точнее, написанное Келли приложение С к ней).
Многообразие М является локально притявивающим в следующем смысле: существует такая окрестность нуля, что любая траектория, принадлежащая этой окрестности при всех 1)0, стремится к М при 1-е- оо. Мы не будем уточнять это утверждение, за исключением одного случая: если М возникает в результате закритической бифуркации при )т=ет, (именно такие примеры рассматриваются в оставшихся параграфах этой главы), то при )7))с, многообразие М будет содержать новую неподвижную точку (в дополнение к нулю) или новую замкнутую траекторию — инвариантный тор, которая находится вблизи нуля и является устойчивой (в действительности притягивающей) относительно возмущений, принадлежащих М; тогда если разность )7 — 11, достаточно мала, то этот новый инвариантный объект будет притягивающим для произвольных малых возмущений (не обязательно принадлежащих М).
Например, Дэви [!9621 показал, что вихри Тейлора устойчивы в соответствующем двумерном неустойчивом многообразии, и мы заключаем отсюда, что при достаточно малой величине разности Я вЂ” с[, они будут устойчивы относительно произвольных малых возмущений, как это и наблюдается в экспериментах.
В линейном приближении локальная устойчивость М отражает экспоненциальное затухание со временем всех собственных колебаний кроме тех из них, которые вызвали появление М 1см. (29.7.1)1. Координаты в М можно выбирать различными способами. Более удобными по сравнению с параметрами а„..., а» являются координаты х,, ..., х», получающиеся при помощи проектирования на линейное многообразие М,, касательное к М в нуле пространства Н. Для любого иЕ Н такая проекция получается в результате действия на наго оператора Р, а именно к Р ч~Р~(Хи, и) фк, (29.7.2) Ф 1 где (1(„) — система собственных функций сопряженной задачи, образующая базис, бнортогональный к (фи).
Следовательно, координаты любого и из неустойчивого многообразия М вычисля- »9,7, Приведение к конечномерной динамической системе 293 ются по формулам х, ()(и, и), к=1, ..., К. (29.7.3) Для траекторий на М уравнение движения (29.4.1) примет вид хо Го(х,..., хк), Ф 1, ..., К. (29.7.4) Для точек вблизи нуля будем иметь Рк(х„..., х„) =)их„+ члены высшего порядка. (29.7.5) Алгоритм вычисления функций г"о описывается в следующей главе.
Он основан на том соображении, что если и(х„..., х„)— точка многообразия М (она входит и в Н), имеющая координаты х,, ..., хео а (хд(1)) (й=1, ..., К) — любое решение системы (29.7.4), то функция и (Г) и (х, (с), ..., х»(1)) (29.7.б) должна удовлетворять в Н эволюционному уравнению (29.4.1).
Этого требования вполне достаточно для определения как зависимости хх( ) от 1, так и зависимости и(...) от (хд). В алгоритме предполагается аналитичность по всем аргументам, и поэтому и(х„..., х») можно представлять в виде степенных рядов по хк с коэффициентами из пространства Н, а Р„(хо..., хк) — в виде обычных степенных рядов, Это предположение следует рассматривать как предварительное, хотя оно и подкрепляется тем известным фактом, что решение уравнений Навье — Стокса принадлежит по крайней мере С" (см. книгу Марсдена и Мак-Кракена (1976)).
Для п-мерных обратимых систем, рассматриваемых в небесной механике, можно определить также устойчивое многообразие, зарождающееся из нуля (и аналогично из любой другой неподвижной точки); оно касается в нуле линейного многообразия, натянутого на оставшиеся собственные векторы ср»„„..., сои. Его можно охарактеризовать как состоящее из таких движений и(1), для которых и(1) — и О при 1~ оо. В действительности устойчивое многообразие обычно вводится первым, а затем неустойчивое многообразие определяется как такое устойчивое, которое получилось бы при замене 1 на — б Хотя в гидродинамике большинство движений не допускает обращения по времени, часть из нпх, образующая неустойчивое многообразие М, допускает это, так что М может быть описано как состоящее из таких обратимых движений, для которых и(1) — О при 1-+.
†, В 9 29.10 нам потребуется другая трактовка неустойчивого многообразия, которая связана скорее с отображениями. чем о потоками. Вместо семейства отображений и -»-~р(и, 1) в гильбертовом пространстве, зависящих от непрерывного параметра рассмотрим семейство отображений х - Ф„(х) в и-мерном много- 294 Гв. 29. Бифуркации в задачах гидуодииамичгской устойчивости образин М, зависящих от дискретного параметра пг и определяемых с помощью итераций Ф: Ф (х)=Ф(Ф(...Ф(х)...)) (пг итераций). Предположим, что х Π— неподвижная точка Ф. После линеаризацни в малой окрестности нуля получим Ф(х)=Мх+члены высшего порядка, где М вЂ” матрица размера и х п. Если собственные значения а„..., ав (й ч.
и) матрицы М лежат вне единичной окружности ~сг(=1 и им соответствуют независимые собственные векторы у„..., у», а все другие собственные значения лежат внутри единичной окружности, то существует й-мерное инвариантное многообразие М, лежащее в М и касающееся в нуле линейного многообразия М„натянутого на векторы у„..., у (см. книгу Абрахама и Роббина 119671 или статью Смейла 119671). Замечание о вещественных и комплексных гильбертовых пространствах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
