Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В дальнейшем подобная процедура будет предполагаться автоматически выполненной каждый раз, когда используются полярные углы 0 и ф; в этом случае употребление слова «карта» в действительности означает использование многообразия, содержащего две такие карты. Покажем теперь, что когда метрика рассматривается только на поверхности г=сопз1, х'=сопз1, она принимает вид «(з» = А («(Оь -)- з! и' О йр»), (28.3.3) где А — положительная постоянная, которая может зависеть от г. Чтобы показать это, будем считать г, х' и ф постоянными и рассмотрим метрическую форму при 0=0, ф=-О. Тогда «(з»=А«(0», где А =я„ (г, О, О, х'); чтобы найти Ю для других значений О и ф, нужно только применить вращение, которое преобразует О, ф в О, О.
Поскольку метрика инвариантна, «(зь должна преобразовываться в Аь(0», однако известно, что линейный элемент (28.3.3) инвариантен относительно вращений в системе координат О, ф; следовательно, формула (28.3.3) справедлива на всей поверхности. Вследствие симметрии, т. е. инвариантности метрики относительно преобразований из группы 6, легко показать, что да, может зависеть только от г и что в сумме да,«(ха«(х не может быть членов, связывающих О или ф с г или х'.
Следовательно, эта метрика имеет вид «(з' = пм ь(г'+ А (г) («(О'+ з)п» 0 «(фР) + 2ды ь)г «(х'+ ды («)х')'. (28 3 4) На больших расстояниях д„ж1, д„ж — 1, д,«жО; отсюда следует, в частности, что по непрерывности д««ФО при г больше некоторого «радиуса» г, (очень малого, как окажется далее). Наконец, для Ге. Ж Раеширение нноеообраеий Эйниаоейна г)ге член с д„можно удалить введением новой переменной х'*=к'+) (д /д4 ) 4/г (О, р, г остаются без изменения). Отсюда ах йх (де 4/д44) йг подстановка этого выражения в (28.3.4) уничтожает член с 4(г4(х" за счет добавления двух новых членов с е(ге, которые, однако, можно включить в первый член дп4/ге (изменив д44), После этого в 4(з' останутся только диагональные элементы; так как первые три члена положительны, а четвертый отрицателен, 4(зе можно записать в виде е/зе = е е/ге + ет (4/04-)- з! пе 0 4/ере) — ез (4/х4)4, (28.3. 5) где и, (), у — функции от г, а у х' опущен штрих.
Сделаем теперь последнее преобразование, заменив г на г' = = ет'41 тогда ез заменится на ег, а е" (4/г)4 — на е" (4(г')4, где се' и ()' — функции от г'. Снова опустив штрихи, в результате получим Дзе = е . г/г'+. ге (е(04 -1- ь!и' 0 4(4ре) — ее (4(х4)'. (28.3.6) Эта форма была исходной для Шварцшильда. Функции а(г) и ()(г) получаются теперь следующим образом. Вычисляют трехиндексные символы Кристоффеля [рч, п| и затем компоненты тензора Римана /си,о„а из них — сверткой— компоненты тензора Риччи й4и,, Все эти величины выражаются через сс, !3 и их первые производные, так что, полагая /7ин=О, мы получаем дифференциальные уравнения для определения се(г) и (5(г).
Подробности этих довольно-таки длинных вычислений читатель может найти в любой книге по общей теории относительности (например, Толмен Р. !19341 или Вебер 119811). Оказалось, что ее = е-' = 1 — г,/г, (28.3.7) где г, — произвольная постоянная, которую называют радиусом Шеаре(шильда и считают положительной.
(Соответствующая карта с ге(0 сейчас появится.) В 3 28.2 было указано, что когда пространство-время является почти плоским, метрику можно интерпретировать в терминах эквивалентного (классического) гравитационного поля. Для г>)»4 полученная выше метрика эквивалентна полю Кулона с потенциалом 4р = — 6М/г, где М вЂ” некоторая другая константа. Связь между константами М и г, выражается формулой ге = 26М/се. (28.3.8) Зд.д. Карты Шварцшиаьда Применение метрики Шварцшильда к задачам Солнечной системы н к астрономическим наблюдениям с целью проверки теории относительности составляет важную главу теории относительности. Если в (28.3.8) М берется равным массе Солнца (2 10" г), то г, = 3 км. Для г))г, пространство-время почти совершенно плоское. Для точек внутри Солнца, т. е.
для г < й~ ж 6.5 10' км, нужно использовать другую метрику — внутреннюю метрику Шварцшильйа, в которой учитывается, что тензор энергии-импульса Та, отличен от нуля. Так как г„(( К~, пространство- время оказывается почти плоским (пространством Минковского) во всех точках вне Солнца, т. е. для г ) Аш (а также, как оказывается, для всех точек внутри него), а гравитационное поле почти совпадает с кулоновским полем. И действительно, как несомненно понимает читатель, контрольные наблюдения проявлений общей теории относительности требуют измерений чрезвычайно малых эффектов. В данной главе рассматривается главным образом одна математическая задача общей теории относительности, а именно задача нахождения максимальных расширений вакуумных решений (подобных внешнему решению Шварцшильда нли решению Керра для поля вокруг вращающейся массы) на другие пустые области пространства-времени.
Астрономическая интерпретация этих решений в терминах «черных дыр в пространстве» или космологическнх моделей здесь не обсуждается. С этого момента будут использоваться такие единицы длины и времени, что г,=с=1; вместо х' будем писать (. Тогда шварцшильдовский линейный элемент имеет вид Ж' = (1 — 1/г) ' «(г«+ г' («(6»+ з(п'6 «йр») — (1 — 1(г) Ж«.
(28.3,9) 1 ( г ( оо, 0<6<я, — п<«р<п, — со<(<оо; 0<г<1 (О, «р, ( — те же, что в У,); — оо (г <О (6, ~р, ( — те же, что в Д(«). Жц1 «»и р Можно построить три координатные карты, использующие эту метрику, Пока что каждую из этих карт мы будем рассматривать как отдельное многообразие Эйнштейна.
Для определения карты необходимо задать только область Ф в координатном пространстве «с«, в которой изменяются г, 6, ф и (. Очевидно, что поскольку сингулярности да, необходимо исключить, то имеются только три возможности: Гл. ла. Раеишрение ннаеаабразий Эйнштейна получающиеся карты мы будем называть картами Гшваришпльда) 1, П и 1П соответственно. Если заменить г на — г, то обнаруживается, что карта П!— это просто решение вокруг отрицательной точечной массы. Она является многообразием Эйнштейна, согласно принятому здесь определению, причем даже геодезически полным в смысле з 28.8.
Конечно, само по себе это решение неинтересно, поскольку отрицательных масс, по-видимому, ие существует. Однако в 5 28.8 мы убедимся в том, что на части многообразия Керра, которое представляет поле вокруг вращающейся массы, может быть задана метрика, весьма похожая на метрику карты П1. Отметим между прочим следующие моменты, касающиеся зависимости от времени. В !923 г. Г.
Д. Биркгоф показало что метрика карты 1 получается даже при отбрасывании предположения о стационарности. Иначе говоря, метрика карты 1 является единственной сферически симметрической метрикой, асимптотически плоской на бесконечных расстояниях. Этот результат получается примерно следующим образом. Если функции а и р (см. выше) зависят не только от г, но и от й то возникает более сложное общее решение. Однако это решение можно всегда преобразовать в стационарное решение (28.3.9) путем только преобразования координат.
Отсюда следует, например, что гравитационное поле вокруг радиально пульсирующей звезды стационарно. Если говорить на языке теории электромагнетизма, монопольного излучения гравитационных волн нет, как нет и их дипольного излучения, потому что нет отрицательных масс; однако квадрупольное гравитационное излучение возможно, и, как полагают, оно служит единственной причиной потери энергии пульсарами. Наконец, отметим, что метрика карты П не стационарна в смысле определения, данного в начале этого параграфа (временноподобной переменной здесь служит г„а не !). Определение сферической симметрии, принятое выше, нуждается в пояснении. Если Р— произвольная точка многообразия М, (х' фиксировано), а 5(Р) — множество всех точек, в которые Р переходит путем преобразований из группы 6, то 5(Р) является поверхностью г=сопз! двумерной и сферической (двумерной сферой) в самом обычном смысле. В общем сферически симметричном.
многообразии этого может и не быть. Пусть М вЂ” многообразие группы Ю(3), а 6 — группа левых трансляций р(й): й Ьй(Хед) в М. Тогда отображение й ер (8) оказывается изоморфизмом 50(3) на 6. Однако если Р— произвольная точка из М, то множество 5(Р) всех точек, в которые Р переносится преобразованиями из 6, не двумерно: оно совпадает со всем М и, следовательно, трехмерно. Карта 1 Шварцшильда является асимптотически плоской на бесконечных расстояниях, а это накладывает, очевидно, дополнительное ограничение на действие группы 6 на 2дла Расширении Финкельштейна карт Шварцишльда 269 это многообразие, поэтому все инвариантные множества двумериы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
