Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Операция ковариантного дифференцирования обеспечивает основу для инвариантной формулировки теорий поля и вообще для тех физических теорий, в которых встречаются уравнения с частными производными. Упражнение 2. Покажите, что эта операция удовлетворяет правилу дифференцироэания произведения. Для начала убедитесь и том, что если Тгу э (27.5.6) равно огшп то (ожу);а=оп ашу+огшп ь (27.5,7) После этого докажите, что если Т, и К вЂ” произвольные тензоры, то (Т".',И,'",) а=т"', ьд',. +Т",.'Г „ (27.5.8) где укаэанное проиээедение может быть как внешним, так и произэольным внутренним произведением, т. е. свернутым пронзнольное число раз.
Замечание. В старой литературе ковариаитное дифференцирование обозначали часто запятой вместо точки с запятой. Теперь запятой чаще обозначают обычную частную производную, так что т! ОП(="Г,у 'ивг Уп~лжнение 3. Покажите, что э риманоном илн псеидориманоэам многообразии метрический тензор ведет себя по отношению к коэариантному дифференцированию как константа, т. е.
(27.5.9) (Напомним, что и этих многообразиях Г',. =(Я.) Как следствие этого упражнения получаем, что ковариантное дифференцирование коммутирует с поднятием и опусканием индексов: если ог=*дгуо/, то она=у;уог;а. 37,б. Абсолютное ди еренцирование вдоль кривой Следует заметить, что результат последовательных ковариантиых дифференцирований обычно не симметричен по соответствующим индексам: одь, е~ол сед исключением служит случай плоского пространства, где в декартовых координатах оба этих выражения сводятся к д'оу/дхь дх'. Эта асимметрия — следствие внутренней кривизны пространства и появляется ниже (в Е 27.9) в определении тензора кривизны Римана. 27.б.
АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ Пусть в": Р=Р(Л) — гладкая кривая, произвольным образом параметризованная и заданная в римановом, или псевдоримановом, или аффинно связном многообразии, и пусть дано векторное нли тензорное поле, определенное по меньшей мере на в. Мы хотим определить другой вектор (или тензор) на б так, чтобы в каждой точке 6 он описывал скорость изменения первого вектора (или тензора) относительно Л, причем в некотором абсолютном (инвариантном) смысле. Предположим, что в лежит в координатной карте (К ео, йг) и описывается уравнением х' = х' (Л) = ьое (Р (Л)); предположим также, что ое(Л) — компоненты ковариантного вектора, определенного на 6 в той же системе координат. Определим другой ковариантный вектор ьог(Л), который представляет скорость изменения о, (Л).
Очевидно, мы не можем написать просто ьр,(Л) =е(ог(Л)/йЛ, потому что эти величины преобразуются не по тензорному закону. Поэтому мы применяем здесь принцип эквивалентности. Пусть Рь=Р(Л,) — точка на 6, а у', ..., у" — геодезические координаты в окрестности Р„совпадающие с хг с точностью до первого порядка. Пусть о, (Л) — компоненты о; в геодезической системе координат; о,(Л)=о;(Л) при Л=Л„но это равенство обычно не выполняется при Л~ Л,.
Положим ьо, (Л,) =с(ое(Л)/ь(Л(х ц, а затем преобразуем это равенство в исходную систему координат; при Л =Л, мы получим, что д I дхь Х дол (Л) дхь дьх" дуl (Л) го, (Л) = — !Ло (Л) —,7! = — -!-о„(Л) — —. ду' ) "Л ду' дуь дуу При Л=Л, хг и у' совпадают с точностью до первого порядка, а вторые производные, согласно (27.5.!), равны — Г"„. Иначе говоря, ьое (Л) = йо, (Л)/е(Л вЂ” о, (Л) Гх йхв (Л)/с0 . Поскольку здесь уже нет геодезических координат, это равенство справедливо в любой точке 6 и в любой системе ксюрдинат. Обычно ьо, обозначают через бо,/бЛ и называют абсолютной про- Гл. 27, Риманоеы и аффинно »возные мноеообраеиа изводнай от а~ вдоль в', т.
е. вдоль кривой Ф 6айбХ йайй) — Гена йхг)йХ. (27.6, 1) Если векторное поле о, задано не только на в, но и в некоторой области, содержащей и', то ба,/6Х = а,, йх7/йХ. (27.6,2) Абсолютные производные вдоль и" от других тензаров опрь деляются аналогично, как это делалось и для ковариантных производных. Например, если на и задан контравариантный вектора', та бае/6) = йае/йХ -1- Г)еа7 йха/й2.. (27.6,3) Для абсолютного дифференцирования, как и для ковариантного, справедлива формула дифференцирования произведения, метрический тензор ведет себя как константа и абсолютная производная скаляра / является обычной производной й//йх (т. е. другим скалярам).
В частности, если а' — касательньей к 6 вектор, задаваемый равенством о' (Х) = йхе/йХ, то сравнение (27.6.3) с уравнением геодезической (26.12.3) показывает, что бое/6)»=О на и" тогда и только тогда, когда и' является геодезической, а 2,— натуральный параметр. В этом смысле геодезическую можно трактовать как кривую, касательный вектор к которой является константой на всем ее протяжении.
27.7. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В 3 27.4 уже упоминалась задача о параллельном переносе. Нам нужно для вектора, заданного в точке Р, кривой и, определить вектор в любой другой точке кривой так, чтобы его можно было считать полученным из данного вектора путем параллельного смещения вдоль кривой. Согласно принципу эквивалентности, если взять любую другую точку Р, кривой и любую систему геодезических координат в окрестности Р„то компоненты вектора относительно этой системы координат должны оставаться неизменными при переходе через точку Ра Иначе говоря, абсолютная производная вектора вдоль кривой в должна быть равна нулю.
Поэтому если $ь..., $„— компоненты данного вектора в Р„то преобразованный вектор в любой точке Р Я кривой получается как решение ае(Х) задачи с начальными данными бао(Х)/67.=0 на в, о~(Х,)=ар 1=1...,, п. (27.7.1) Заметим, что если вектор а,()) преобразуется при переходе к другой системе координат х", ..., х", то он снова оказывается реше- 245 27.В.
Орненглирремость ннем соответствующей задачи с начальными данными бо;/6Л О на й, о',(Л,)=й;, 1 1, ..., и, где $; получаются из $, в соответствии с законом преобразования для вектора в Р,. Вот почему бп;/6Локазывается вектором, несли все его компоненты обращаются в нуль в одной системе координат, то они обращаются в нуль и в любой другой. Аналогично определяется параллельный перенос вдоль кривой контравариаитного вектора или вообще любого тензора. Рассмотрим, в частности, риманово или псевдориманово многообразие.
Поскольку бд/а/6Л=О, то для любых гладких векторнозиачных функций о'(Л) и гвт(Л) на В е( (д ао/гва)/Ю = у а ((бо|/6Л) гва+ отбгва/6Л). Поэтому, если вд(Л) и гва(Л) — результат параллельного переноса двух данных векторов вдоль кривой и, отсюда следует, что величина у апугва постоянна на в, т. е. при параллельном переносе в римановом или псевдоримановом многообразии длины векторов и углы между ними сохраняются.
27.8. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ Если й'„и б, — кривые, идущие от точки Р к точке 1',>, то результат параллельного переноса вдоль бт в общем случае отличается от результата параллельного переноса вдоль и",. Иначе говоря, параллельный перенос вдоль замкнутой кривой от Р до возвращения в Р в общем случае переводит каждый вектор в Р в другой вектор в Р. Это преобразование векторов в точке Р в римановом многообразии оказывается ортогональньЬ, потому что отро сохраняет все длины н углы.
Если для всех замкнутых кривых детерминант матрицы преобразования равен +1, то многообразие называется ориентируемым, Это будет, в частности, в случае односвязности многообразия, потому что для любой замкнутой кривой, непрерывно стягиваемой в точку, указанное ортогональное преобразование непрерывно изменяется и переходит в тождественное преобразование, детерминант,матрицы которого равен +1. Уп Р А Ж н в н и н Лист Мебиуса, сделанный из ровного листа бумаги без растягивания, можно рассматривать как двумерное риианово многообразие, которое может быть покрыто двумя или более координатными картами, на каждой из которых всюду дуа=буа. Покажите, ято зто многообразие не ориентируемо. Замечание. Ориентируемость — это топологическое, а не метрическое понятие, и его можно ввести для многообразий общего вида, для которых метрический тензор не определен. Данное выше определение было принято по той причине, что его можно обобщить Гя.
27. Рииеяовы и еффияяо связные многообразия 246 на случай многообразий Эйнштейна, как это будет сейчас показано, причем в таком направлении, которое сильно отличается от топологической ариентируемости. Если М вЂ” псевдориманово многообразие размерности л=-4 и сигнатуры я=-2 (как в теории относительности), то преобразование в точке Р, получаемое в результате параллельного переноса векторов вокруг замкнутой кривой, начинающейся и кончающейся в Р, является преобразованием Лоренца, В 2 19.4 было показано, что полная группа Лоренца имеет 4 компоненты; следовательно, имеются четыре варианта рассматриваемого преобразования. Это преобразование (может быть либо собственным преобразованием Лоренца, либо включать илн обращение времени, или инверсию пространства (еобратный хад по пространству»), или обе последние возможности.
Если для всех замкнутых путей получается собственное преобразование Лоренца, то М называют ориенгпируемогм по Лорен»4р. В этом случае всюду на М можно установить положительное направление времени (и отличать прошлое от будущего) и ввести правила ориентации ') (и отличать левые и правые системы координат или винты и спирали). Односвязное многообразие ориентируемо по Лоренцу; следовательно, любое многообразие Эйнштейна М имеет некоторое накрывающее ориентируемое па Лоренцу многообразие М' (например, его универсальное накрывающее многообразие). Поскольку М и М' локальна неразличимы, в общей теории относительности нет необходимости рассматривать пространственно-временные модели, не ориентируемые по Лоренцу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
