Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Пуанкаре (да и термин «преобразования Лоренца» введен им); в частности, именно он сделал первую попытку создания релятивистской теории гравитации (см., например, Принцип относи. тельностн. Сборник статей.— М.: Атомиздат, 1973), — Прим. перев. 28 2 Ураанения Эйнштейна граоиаеачионноео поля 26! образований Лоренца форме следующим образом. В специальной теории относительности плотность р представляет собой (4 х 4)- компонентный симметрический тензор второго ранга — тензор энергии-импульса Т „ умноженный на 11ое (Как и в 4 19,4, х', х', х" явлгпотся пространственными координатами, а х'=се.) Следовательно, ер является (4 х 4)-компонентным тензором ери„а уравнение (28.2.1) заменяется на уравнение ('. а) 1 да т 1пΠ— — )ф,= — т ее Д1а ) ин е ии' или о о 4пб )га' — — ф — т яха дяо ио ее (28.2,2) где Г1 (О) 1 (О) 1 — 1 ()1аа) = (й а) = (28.2.3) — метрический тензор плоского пространства Минковского.
!Как и в 8 19.4, греческие индексы пробегают значения от 1 до 4, а латинские — от 1 до 3. Физики часто допускают изменение греческих индексов от О до 3, а у тензоров йа' н йр, первый диагональный элемент берут равным 1, а остальные равными — 1, так что да'=(Нх'41)' — (йх')' — (йх)' — (йхе)'. Обозначения данной главы ближе к тем, которые используются в математической литературе.) Закон движении точечной массы в гравитационном поле, который в классическом случае гласит, что ускорение равно — тнр, принимает следующий лоренц-инвариантный вид: хи+~еи" (дерр,1дх')хах' = О, где точка обозначает производную по собственному времени ч вдоль траектории, а хи(т) — координаты частицы. Это уравнение выглядит как уравнение геодезической, хотя второй член, конечно же, связан с гравитационным полем и не имеет ничего общего с геометрией.
Теорию такого рода можно назвать специальной релятивистской теорией гравитации. Ее никогда всеръез не рассматривали, потому что Эйнштейн открыл общую теорию относительности еще до того, как стали возможны наблюдения с целью проверки релятивистскихх эффектов. Согласно этой специальной теории, там, где нет гравитационного поля и поэтому ери,=О, свободные тела движутся по прямым, т. е.
по геодезическим четырехмерного пространства Минковского, в то время как при <р„,~=-О их траектории отличаются от прямых и наблюдается относительное ускорение. Га. Хд. Расширение нногоодраоий Эйнштейна В общей теории Эйнштейна предполагается, что при отсутствии негравнтационных сил траектории должны быть всегда геодезическими, а относительные ускорения обусловлены кривизной пространства-времени. Это предположение упрощало физику в том смысле, что отпадала необходимость рассматривать возможные изменения за счет гравитационного поля законов электромагнетизма, квантовой теории и т. и., так как эти законы предполагалось брать в не зависящем от поля виде в локальной инерционной системе отсчета (системе «свободного падения»), в которой гравитационное поле «исчезает», Изучение уравнений геодезических показывает, что когда пространство-время является почти плоским (почти минковским), можно найти некоторую систему координат, в которой тензор ди, почти не отличается от е»и, и разница между ними такова, что движение остается таким же, что и для в точности плоского пространства-времени, в котором гравитационный потенциал имеет вид ери,= (се/2) (ди,— е»и,).
В этой системе уравнение поля сводится к уравнению д д зн6 д — — д - — Т. дхо дхо ие с« (28.2.4) Поэтому Эйнштейн ввел уравнение вида Ф'„, = (8пб!с') Т„„ (28.2.5) это необходимо, поскольку тензор Т„, энергии-импульса материи обладает теми же свойствами. (2) Когда поля слабы (т. е. пространство-время почти плоское), этот тензор должен сводиться к левой части уравнения (28.2.4) в соответствующих координатах. Эйнштейн обнаружил, что единственным выражением для )«и„удовлетворяющим всем этим свойствам, служит левая часть следующего уравнения, называемого уравнением поля Эйнштейна: Киа — ",Ддй.— Лдй —— (8пб7се) Т„;, (28.2,6) здесь )7и,— тензор Риччи, определенный в ~ 27.9, а Л вЂ” константа. Второй член в левой части (28.2.6) включен для того, чтобы сделать все выражение бездивергентным, согласно равенствам В применениях к малым системам, таким как Солнечная система или отдельная галактика, удобно предположить, что пространство-время является асимптотически плоским на больших где Ф'и,— тензор, включающий компоненты метрического тензора и нх первые и вторые производные по хи, и потребовал, чтобы (»ои, обладал следующими свойствами.
(1) Он должен быть симметрическим и бездивергентным, т. е. ))Г ие = )о ни * йе~~)о иеа о = 0 ~ ЖЗ. Карта Шварцаьивьда 263 расстояниях; для этого необходимо, чтобы так называемая космо- логическая постоянная Л равнялась нулю. Эйнштейн предполагал, однако, что Л всего лишь очень малая константа, а не нуль. Он считал, что это необходимо для получения замкнутых (т. е. конечных) моделей вселенной, которые исключают различные виды парадокса Олберса, возникающие при рассмотрении бесконечной и асимптотически равномерно населенной вселенной. Однако в 1922 г. А.
А. Фридман показал, что замкнутые модели можно получить и при Л=О. С тех пор Л обычно берут равной нулю. Далее в этой главе Л=О; мы ограничимся также рассмотрением пустых областей пространства-времени, где Ты =О. Так как да'я„,=4, то в этом случае свертка (28.2.6) показывает, что скалярная кривизна )с=О; следовательно, гравитационное уравнение сводится к уравнению Кв,— — О. Поэтому многообразие Эанштейна определяется как четырехмерное многообразие сигнатуры 2, в котором тензор Риччи )т„т всюду равен нулю. Возможны, конечно, и более общие определения, н их иногда обнаруживают; см., например, А. 3.
Петров (19691. Задача, рассматриваемая в данной главе, состоит в том, чтобы найти такое расширение данного многообразия Эйнштейна (обычно задаваемого одной картой), при котором получилось бы большее многообразие Эйнштейна; точнее говоря, требуется найти максимальное в некотором смысле расширение данного многообразия. Расширения такого рода играли важную роль в развитии теории относительности.
Знаменитое решение Шварцшильда для поля вокруг сферической массы, которое будет обсуждаться в следующем параграфе, явилось указанием на существование сингулярности пространства-времени на определенном расстоянии от центра (так называемом радиусе Шварцшнльда). Природа этой «сингулярности» была предметом многочисленных дискуссий в период создания теории относительности. Теперь известно, что эта сингулярность является сингулярпостью всего лишь используемой координатной системы и что многообразие может быть расширено с привлечением дополнительных координатных карт до многообразия без сингулярностей, исключая центральную точку.
Ясно, что «решение» уравнений Эйнштейна необходимо понимать как некоторое многообразие, а не просто как одну формулу для линейного элемента. 18.3. нАРты шВАРцшипьдА В 1916 г. К. Шварцшильд нашел стационарное сферически симметрическое решение уравнения Эйнштейна ИР„=О для пустого пространства, на больших расстояниях аснмптотически совпадающее с плоской метрикой Минковского. Это решение — некоторое многообразие, состоящее из одной карты, которая будет сейчас Гн. 28. Расширение Многообразий эйнштейна 284 описана; она, вероятно, представляет пространства-время вокруг центральной сферической массы.
Утверждение о стацнонарности решения означает, что можно подобрать такие координаты этой нарты, что тензор ди, окажется не зависящим от одной из координат, скажем от х', которую можно интерпретировать как время. Ясно, что прн этом дзз должно быть отрицательным, тогда как квадратичная форма д~здх~дхз, получающаяся при подстановке дхз =О, должна быть положительно определенной. Утверждение о сферической симметрии означает, что существует некоторая непрерывная группа 6 преобразований данного многообразия, не затрагивающих х', ноторая изоморфна группе вращений 50(3) и относительно которой метрика инвариантна.
Предполагается, что на больших расстояниях преобразования из 6 принимают вид обычных вращений в пространстве х', х', х'; с другой стороны, больше мы ничего не можем о них сказать, поскольку у нас нет теории нелинейных представлений групп. Например, мы не можем утверждать, что существует точка многообразия (центр вращения), инварнантная относительно всех преобразований нз 6; в действительности такой точки в данном многообразии нет. Предполагается, что многообразие М„получаемое при фиксировании некоторого значения х', аснмптотически (на больших расстояниях) является евклидовым в том смысле, что М, содержит некотоРУю каРтУ, кооРдинатнаЯ область зззз котоРой состоит из всех таких точек Йз, что (28.3.1) (хз)з + (тз)з + (Хз)з ) пз где а — константа, а метрический тензор йун асимптотически совпадает с б;н на больших расстояниях в Ф,.
Предполагается, что хотя бы на больших расстояниях найдется семейство концентрических сфер, инвариантных относительно всех преобразований из группы 6. Рассмотрим геодезическую, начинающуюся в точке Р на одной из таких сфер 5„идущую по направлению нормали к 5, внутрь этой сферы и продолженную внутрь сферы настолько, насколько это возможно в данной карте. Она инвариантна относительно тех вращений, которые оставляют точку Р на 5, непод. вижной, поскольку инвариантна метрика; следовательно, геодезические отображаются в геодезические, но рассматриваемая геодезическая однозначно определяется ее начальным направлением в Р, Если подобные геодезические, выходящие из всех точек Р сферы 5„, продолжены внутрь на фиксированное расстояние, то их конечные точки образуют инвариантную поверхность, или сферу 5,, и, следовательно, эти геодезические можно использовать для построения отображения 5, на 5п в частности, сферические координаты О, ф на 5, определяют координаты О, р на 5„преобразующнеся при преобразованиях из группы 6 точно так же, как 2В.З.
Карты Шварцьаивьда они преобразуются на 5,. Пусть, наконец, г — переменная, зна- чения которой возрастают непрерывно при движении наружу и при помощи которой одна инвариантная сфера отличается от другой. Примем г, О, ф в качестве координат на карте; тогда мет- рика сферически симметрична относительно этих координат уже в обычном смысле. Теперь в М мы имеем четырехмерную карту с координатной областью Ф~Й«, для которой а ( г < оо, О < О < и, — п(ф(п, — оо(х (оо, « (28.3.2) где а — пока еще неизвестная постоянная. Как обычно, эта карта не покрывает сразу и северный, и южный полюсы 0=0, и, а также «международную линию смены дат» ф= =-~-и на любой поверхности г=сопз1, х'=сопз1, однако это может быть сделано другой точно такой же картой, ориентированной так, что обе они уже полностью покрывали бы все такие поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
