Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Многообразие группы 30(3) компактно, и поэтому к нему не применимы никакое подобные ограничения. галь расширения финкальштанна карт шварцшильда На карте 1 Шварцшильда Д, Фиикельштейн 119581 ввел новые координаты !'=!+!п(г — 1), г, О, тр без изменений, (28.4.1) в которых метрическая форма (28.3.9) принимает вид е(з' = (1 + 1/г) йг'+ г' (йО'+ з! и' 9 йтр') — (! — 1тг) Ж" -1- (2,'г) й! ' йг.
(28 4.2) При г 1 и при изменении ! от — с до +с !' также изменяется от — оо до +ос; следовательно, область изменения г, О, тр, !' та же, что и у г, О, Ф, б Получающаяся карта покрывает ту же область пространства-времени, что карта 1 Шварцшильда, но только с другими координатами. При этом, однако, в (28.4.2) отсутствует сингулярность при г=!; следовательно, допустив уменьшение г до О<г~1, эту карту можно расширить до карты 1 Финкельштейна, которая определяется формулой (28.4.2) на области Ур,!! О<г< О < 9 < и, — и < Ф < и, — со < !' < оо, Эта карта покрывает ббльшую область пространства-времени, чем шварцшильдовская карта!, как схематически показано на рис.
28.1. Карта ! Финкельштейна Кьрте 1 Шварцшнльдв Рнс. 28,1, При помощи другого преобразования !" = !' — )п (1 — г), (28.4.3) примененного к заштрихованной части карты Финкельштейна (где О < г< 1), получается карта 11 Шварцшильда (в переменных г, 9, Ф, !"); следовательно, карта Финкельштейна содержит по одной копии каждой из карт 1 и П Шварцшильда. Однако это не 270 Гл. 28. Расширение лнагаайраэий Эйншсыйна просто процедура исключения барьера г=! в метрике (28.3.9); чтобы убедиться в этом, рассмотрим пространства с координатами 1, г и !', г (координаты О и ср фиксируются), представленные на рис 28.2. Когда прямая и"' в карте Финкельштейна идет вниз к «=1, соответствующая кривая 6 в карте Шварцшильда Рис.
28.2. Слева — карта ! Шваришильда, справа — карта ! Финкельштейна. (в и в' представляют одну и ту же кривую в пространстве-времени) уходит к ! + аа и, следовательно, не может быть продолжена далее, тогда как исходную кривую в' можно продолжить до «=О. Более того, вместо (28.4.1) можно использовать другое преобразование !п(, которое в применении к метрике Шварцшильда дает (28.4.2), только вместо члена + (2сг)с(!'«1« получается — (2сг) с(!"'«1«. КаРта 1 Финкельштейна Карта К Фннкельщтейна Рис. 28.3.
Такая карта (где О < г с. аа) называется картой 11 Финкельшлтейнй. В этом случае кривая, соответствующая кривой Ж на рнс, 28.2, уходит к 1= — са, а не к 1=+ аа, следовательно, это расширение карты 1 Шварцшильда дает еще одну область пространства. времени, как символически изображено на рис. 28.3. Можно получить бесконечное число дальнейших расширений путем 28.5, Расширение Крускала последовательного поочередного использования преобразований вида с — 1-~- 1п (» — 1) и ( с ч-!п(1 — г) на интервалах (1, аа) я (О, 1) переменной г.
Всюду на многообразиях, описанных таким образом, уравнение поля Эйнштейна сводится к уравнению вида »сн, =О, а их сигнатура равна 2. 58.5. РАСШИРЕНИЕ НРУСКАЛА На карте ! Шварцшильда с метрикой (28.3.9) М. Крускал [1960~ ввел следующие новые координаты и, О, ср, о. и = у»» вЂ” 1 е'»2 си (с/2), О, ч без изменений, о=1/г — 1е м зй (»»2), (28.5.1) в которых метрическая квадратичная форма принимает вид изе =)(и, о)'(с(ие — бое~+ г (и, о)е(с(О'+ зш' Ос(сре), (28.5.2) где» и г — некоторые функции, причем г определяется как поло- жительное решение уравнен и я [г(и, о) — 1~8''" "'=и.— о', (28 5,3) а ( задается формулой 2'(и, о)' [4/г (и, о)! е-' '" '>.
(28.5. 4) иск. :— оо ( и ( оо, О, ср †к обычно, (28.5.5) — )~»1+и' ( о()» 1+и', которая соответствует всей области между сплошными кривыми па рис. 28.4, состоящей из областей, обозначенных 1, 7', П и (1', Каждая из областей»' и»" — это копии карты 1 Йварцшильда, а области П и»Л — копии карты Н Шварцшильда. Любые две смежные области (из этих четырех) составляют одну из карт Фин. кельштейна, а начало координат (и=о=О) — это некоторая точка пространства-времени, которую ни одна из этих карт не покрывает. Карта 1 Шварцшильда соответствует следующим интервалам изменения переменных: и ) О, — и ( о( и (О и ср меняются в обычных пределах), т, е. соответствует заштрихованному на рис, 28.4 квадраиту, обозначенному цифрой 1.
При этом, однако, метри. ческая форма (28.5.2) оказывается решением уравнения е(н,=О, не сингуляриа и имеет сигнатуру 2 всюду в более широкой области 272 Гл. 2В. Расширение многообразий Эйнштейна Крускал показал, что многообразие га, порождаемое метрикой (28.5,2) и областью изменения (28.5.5) переменных и, о и называемое многообразием Крускала, является максимальным расширением карт Шварцшильда в смысле определения, которое будет приведено ниже.
г 0 г 1 г 2 г=2 г 1 г 0 Рас. 28ии )1ваграмма мяогообрааая Крускала. 28.6. мАксимАпьные РАсшиРения. ГеОдезическАя пОпнОГА Отличительной чертой многсюбразия Крускала К является следу1ощее его свойство: геодезическая 5', идущая из любой точки хи(0) в начальном направлении, задаваемом любым касательным вектором ха(О), либо может продолжаться в многообразии до сколь угодно больших значений натурального параметра )о, либо при некотором конечном значении 7 столкнется с неустранимой особенностью' ).
Любое многообразие с таким свойством будет называться геодезически полным (некоторые авторы используют этот термин несколько в ином смысле; см. Эллис [1972)), а) У автора Еепгйпе а!пап!аг11у,— Прим. нерее. 2З,7, Другие рагигиргнин аногооораэий Шоарцигиг»да 273 за.т. дрьгмв рдсширвнмя многооврдзий швдрцшипьдд Рассмотрим вместо преобразования (28.5,1), введенного Круска- лом, следующее преобразование г, 8, гг и ( в «, 8, гр н «р 8=(г — 1)е", 8, гг — без изменений, «1 (г — 1) е" зЬ (г). (28.?.! ) Под неустранимой особенностью (синеулярностью) понимается некоторая точка или множество точек, где обращается в бесконечность некоторый инвариант кривизны (т.
е. некоторый скаляр, построенный по функциям у„, и их производным различного порядка). От особенности такого сорта нельзя избавиться путем замены координат, потому что указанный скаляр, будучи инвариантом, стремится к бесконечности в любой системе координат прн приближении к этой точке или к этому множеству точек. Доказательство геодезической полноты многообразия Крускала элементарно, но громоздко. Сначала показывается, что кривые г(и, п)=0 на плоскости и, и состоят из неустранимых особых точек. Нетрудно отыскать и скаляры кривизны, стремящиеся к бесконечности прн г(и, о) — О.
Скалярная риманова кривизна К таковым быть не может, поскольку 0 ==0 на К, однако скаляр )?аз»ь?с"з»о, где )«„з,ь — тензор Римана, равен 81г(и, п)1-«и поэтому стремится к бесконечности при г(и, о) — О. Значение функции г (и, о) на многообразии Крускала равно значению координаты г на многообразиях Шварцшильда.
Если г — полярная координата, то в равенстве г=О видят представление одной-единственной точки. Однако на многообразии Крускала уравнение г (и, в) 0 определяет целую кривую— гиперболу, изображенную на рис. 28.4. В любом случае, однако, эта «точка» или зта «кривая» не принадлежат ни многообразию К, ни какой бы то ни было области описываемого пространства- времени.
Вероятно, вопрос о том, является лн особенность <точкой» или «кривой», не имеет физического смысла. Далее Крускал показал, что для геодезической й вКс произвольным ки(0) и произвольным х" (0) г(и, и) — О на 6 либо при Х вЂ” )»о для некоторого конечного Х„либо при Х вЂ” оо вдоль Ю, Следовательно, К вЂ” геодезически полное многообразие.
На карте 1 (или 11) Шварцшильда имеются геодезические, для которых г 1, а 1 ~ оо при конечных значениях натурального параметра ?», Поскольку й — физически осмысленный инвариант, тогда как координаты г, 8, гр, г совершенно произвольны, представляется очевидным, что должна быть возможность продолжения этих геодезических на некоторые другие карты, и именно это достигается прн расширении Крускала. Гл. 2В.
Расширение мнаеаабразий Эйнштейна Тогда метрика Шварцшильда (28.3.9) примет вид из с(з'=, з) (ае+ е Д(с($' — йЧ')+2ЧсЦЬД+ + г (а)е !е(0'+ з 1п' 8 йре], (28.7.2) где функция г(с) для любого $) — 1 задается как положительное решение уравнения "- =(г (с) — ! ) ему, (28.7,3) Обозначим через К' многообразие с метрикой (28.7.2), определяемое картой со следующими интервалами изменения переменных. Ж 1<6< (за исключением $ 1)=0); — аа < Ч < аа О, ср — как обычно.
Это многообразие содержит по одной копии многообразий ! и П Шварцшильда, причем им соответствуют области 0 < с < со и — ! < а < 0 Далее мы убедимся в том, что многообразие К' максимально, т. е его нельзя расширить до большего много. образия; поэтому, возможно, оио покажется предпочтительнее многообразия Крускала из-за болыпей простоты формул. Однако здесь сингулярность в точке с = ! = 0 обусловлена сингуляр.
пастью системы координат и поэтому является устранимой; оказывается, что все инварианты кривизны имеют конечные пределы при приближении к точке д = Ч=О Многообразие К' обладает свойством обращения времени. Иначе говоря, если 1ца обозначает наклон с$(с(1! нулевой геодезической в плоскости с, Ч (геодезической, на которой е(ее=О при постоянных 8 и ЧО, а 1ц(! есть просто ~(Ч, то из (28.7.2) видно, что 1ц 8 (1 — 1це а) = 2 1ц а, что эквивалентно равенству 1ц ()=1ц 2сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
