Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Согласно теоре- ме о неявной функции, в некоторой окрестности )т', в Е" х' можно выразить через уг, так что у', ..., у" становятся новыми незави- симыми переменными в М,. Относительно новых координат векторные поля о имеют ком- поненты о1(у', ..., у"; р) =о;(х', ..., х"; р)дх9ду1= = (дуг(дх') дх'(ду1 = бе. Так как эти векторные поля были построены таким образом, чтобы их ковариантные производные обращались в нуль, то О=о.. „=Π— Г',о.= — Г!,6е= — Гря, — 1:Х= И~ — М~ — — Ри Поэтому все коэффициенты связности в новых координатах равны нулю, что и утверждалось.
Предположим теперь, что многообразие является рнмановым или псевдоримановым и, следовательно, имеет метрический тензор. Начальные векторы о;(О, ..., 0) в (27.12.2) можно взять ортонормированными, так что при х=О йох (х', ..., х") о1 (х~, ..., х"; р) ох (х', ..., х"; о) = -~ 6„„; 256 Гл. 27. Римояооы и оф4иияо овявяыо многообразия но все дря н о, имеют нулевые ковариантные производные, следовательно, это равенство выполняется при всех х.
Метрический тензор (в коитравариантной форме) в системе координат у' имеет следующие компоненты: дря — уря (дур(дх') дуо!дхя=д~яо (...; р) ая(...; а); следовательно, всюду уря=~ бр,, а значит, и ур — — ~ бр всюду, что и требовалось доказать, потому что матрица (др,) является обратной к (уря). Карта, определяемая новыми координатами у', ..., у" в Л',<= <-к», в общем случае является только частью исходного многообразия М, однако ее можно расширить до полного плоского многообразия М', расширив У, до всего 1ки и потребовав, чтобы Г,'и и ры оставались на всем к» константами. Тогда М' — точно такое же многообразие, что и М, если М было полным и одно- связным.
Примером неоднасвязного плоского многообразия М служит двумерный тор с углами 0 и Ч~ в качестве координат и с матрицей (д ), всюду равной единичной матрице размера 2х2. (Это, конечно, не наследуемая при обычном вложении тора в Е' метрика.) В таких случаях многообразие М' является универсальным накрывающим многообразием многообразия М.
27ЛЗ. АНАЛИЗ ЭЙЗЕНХАРТА СИСТЕМ ШТЕККЕЛЯ Основное физическое применение риманова (точнее, псевдориманова) геометрия находит в общей теории относительности. В качестве примера приложений риманавой геометрии вне общей теории относительности можно указать статью Эйзенха рта! 19341 о координатных системах„приводящих к разделению переменных в волновом уравнении; при этом используются результаты предыдущего параграфа. Если функция Ч"=Ч'(х',..., х", 1) удовлетворяет волновому уравнению (уя — (ус') досад( 1'Ю+ $~Чг=О, (27. 13.
1) где у' есть и-мерный лапласиан, а Ъ'=Ь'(х', ..., х") — заданная скалярная функция, то, поскольку (р не зависит от (, первым шагам процесса разделения переменных всегда мажет быть поиск решения вида Ч'=ф(х', ..., х")е'"', (27.13.2) очевидно, что ф(х', ...„хя) удовлетворяет приведенному волновому уравнению у ф+(л+у)ф=о, (27.13,3) Я7.13. Анализ Эйзенхарта систем Штеккеля 257 где ) аз'1сх.
Такое же уравнение получается и из уравнения Шредингера. В случае общих криволинейных координат х', ..., х" лапласиан можно записать в виде д'1ф,с „если, конечно, известен метрический тензор; тогда приведенное волновое уравнение принимает вид д1 ~ —" — (.".Р— '1+(Д+)1) 1=9. (27.13.4) (дх'дхе 1' '1 дхх) Можно ли решить это уравнение методом разделения переменных или нет — это зависит от вида функций д,1(...) и (/ (...). В методе разделения переменных (см., например, Морс и Фешбах (1953)) обычно начинают с рассмотрения частных решений в виде произведения ф (х", ..., хя) = Х, (х') Х, (х')... Х„(х").
После подстановки этого произведения в (27.13.4) оказывается, что при определенном выборе координатной системы (а следовательно, и д;1) и функции (е получается система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по одному для каждой из функций Хь зависящая от и неопределенных так называемых констант разделения, первой из которых является постоянная ), из приведенного выше уравнения. Таким образом получается достаточно большое семейство частных решений (зависящих от констант разделения и от констант ингегрирования, появляющихся при решении обыкновенных дифференциальных уравнений), которое должно служить в качестве полного семейства функций для разложения по ним произвольной функции от х',..., х".
Исследования различных авторов показали, что для разделимости переменных, т. е. для успеха только что описанной процедуры, необходимы три ограничения на метрику. Во-первых, координаты должны быть ортогональными, т. е. матрица (д,з) должна быть диагональной. Два других ограничения на д;1 носят название условий Штеккеля и Робертсона. Робертсоном (!9271 было показано, что эти три условия являются также и достаточными для разделимости, если функция Г имеет должный вид. Однако эту теорию нельзя еще было признать удовлетворительной, потому что тензор дц(х',..., хн), подчиняющийся упомянутым выше условиям, мог и не быть метрическим тензором в евклидовом илп .тюбом другом интересующем нас пространстве. Поэтому Эйзенхарт 119341 дополнительно к этим трем условиям потребовал еще, чтобы тензор Римана Р,1я, был тождественно равен нулю.
Любой тензор хе,я, удовлетворяющий всем этим условиям, является тогда метрическим тензором в евклидовом пространстве для некоторой криволинейной системы координат. Для п=3 Эйзенхарт дал полную классификацию всех систем координат в Е', допускающих разделение переменных, и для каждой из таких систем привел явные формулы для процедуры разделения переменных. Гж 27. Римановн и аффинно жязнмв многообразия Этими разделяющими системами координа~ в Ев являются системы общих эллппсоидальных координат, а также те системы частного вида, которые получаются из них в результате разного рода предельных переходов, таких, как приравнивание двух полуосей, удаление одного из фокусов на бесконечность и т.
д., включая системы координат вытянутого и сплюснутого сфероида, параболические, параболоидальные, эллиптического цилиндра, параболического цилиндра, кругового цилиндра, сферические и декартовы. Детальное описание этих систем координат см. в книге Морса и Фешбаха 11953! '). в1 См. также книгу Миллера 11В771,— Прим, лярве.
Глава 28 РАСШИРЕНИЕ МНОГООБРАЗИЙ ЭЙНШТЕЙНА Уравнения поля специальной и общей теорий относительности; тензор знер. гни-импульса; космологическая постоянная; многообразие Эйнштейна; карты Шварцшильда и Финкельштейна; теорема Ниркгофа; смысл сферической симметрии; многообразие Крускала; максимальные н геодезически полные иногообразия; другие расширения карт Шварцшильда; обращение времени; многообразие Керра; задача Коши для уравнений поля Эйнштейна. Предварительные сведения: гл. 23, 24, 26 и 27; знакомство с общей теорией относительности. Среди многих математических задач, относящихся к общей теории относительности, задача расширения выбрана потому, что она связана с глобальными геометрическими и топологическими свойствами многообразий Эйнштейна, а эти свойства, по моему мнению, составляют основной математический аспект теории.
Хотя никаких других формул и результатов, кроме тех, что получены в'предыдущих главах данной книги, здесь ие используется, эта глава, вероятно, будет доступной только тем читателям, которые хотя бы немного знакомы с теорией относительности. В частности, первые два параграфа следует рассматривать не как источник изучения основ теории относительности, а лишь просто как их обсуждение. 28.1. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Напомним, что электромагнитная теория Дж. К.
Максвелла не только усовершенствовала и завершила классическую теоретическую физику, но и привела к трем главным кризисам в этой науке. (1) В отличие от всех предшествующих физических теорий оиа оказалась неинвариантной относительно преобразований Галилея или Ньютона, что, казалось, подразумевало существование абсолютной системы отсчета яо вселенной.
(2) Когда к этой теории применили принципы статистической физики, то это привело к так называемой ультрафиолетовой катастрофе. (3) Будучи примененной к исследованию электронов, рассматриваемых как точечные заряды, она привела к получению бесконечного самодействия и бесконечной собственной энергии электрона. Первый кризис был разрешен специальной теорией относительности, второй— квантовой гипотезой (оба — примерно в !900 †19 гг.), а третий кризис (пока еще не полностью) — программой перенормировки квантовой электродинамики начала 50-х годов. Гл Ж Раси«прение многообразий Эапи«тейпа Для преодоления первой трудности теории Лоренц и Фитцджеральд предположили, что когда объект движется относительно абсолютной системы отсчета, он сжимается в определенной степени в направлении движения, а все процессы, происходящие с ним, замедляются в том же отношении вследствие каких-то электромагнитных эффектов внешних членов уравнений Максвелла, возникающих из-за движения его системы отсчета.
Эта гипотеза не противоречила никаким известным фактам, потому что тогда было очень мало известно о строении материи, хотя и было ясно, что электромагнетизм как-то связан с этим строением. Следствием этой гипотезы оказалась инвариантность всех чисто электромагнитных явлений относительно так называемых преобразований Лоренца, которые учитывали сжатие и замедление (действительно, уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преобразований); следовательно, при помощи электромагнитных явлений невозможно обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета. После этого Эйнштейн предположил дополнительно, что относительно преобразований Лоренца инвариантны все физические законы ') (для этого законы следует, разумеется, видоизменять для скоростей, сравнимых со скоростью света с).
Все инерциальные системы отсчета стаповят<я тем самым равноправными; следовательно, законы физики становятся проще в том смысле, что уже нет необходимости рассматривать, как могли бы воздействовать электромагнитные явления (обусловленные движением относительно абсолютной системы отсчета) на механику, термодинамику, строение атома и т.
п., и т. д. Если эти законы известны в одной ннерциальной системе отсчета, то, согласно принципу инвариант- ности относительно преобразований Лоренца, они определены и в любой другой. В следующем параграфе описаны аналогичные упрощения физических законов, вытекающие из общей теории относительности. 2а.2. уРАВнения зйнштейнА ГРАВитАциОннОГО пОля Классическое уравнение гравитационного поля имеет вид у'гр 4пбр, (28.2.1) где Ч» гр(х) †гравитационн потенциал, р=р(х) †плотнос вещества, а 6 †универсальн гравитационная постоянная. Это уравнение можно привести к инвариантной относительно пре- ') Справедливости ради отметим, что принцип относительности как все. общий закон вперив»е сформулировал А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
