Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Геодезическая задается в геодезической системе координат уравнением у»=у»().)=сс», где $с,..., йн — константы; значит, дсу»/сР,с = О, а сравнение с общим уравнением (27,2.1) (с заменой х» на у», а Г», на Г", ) показывает, что на геодезической Г», асс =0 для всех Х и всех ос, ... ..., $о. В силу этого в точке Р, )н»с =0 для всех А, 1, сп (27.2.6) и вообще Г", (у', ..., у")у'у =0 для всех А (27.2.7) во всей окрестности точки Р„в которой определены геодезические координаты. Замечание, За исключением плоских пространств, геодезические координаты в окрестности Р„ вообще говоря, не являются геодезическими координатами в окрестности соседней точки С;с,.
Иначе говоря, прямая у» = йо' + а» в пространстве йо координат у', ... ..., у" в общем случае не является геодезической, если хотя бы одна из констант а', ..., а" отлична от нуля, т. е. если прямая не проходит через начало координат И. Новые координаты в окрестности Р„ пока не единственны; эту неединственность описывает следующая теорема. 27.8, Нормальные координатны в римо»с»ых многообразиях 235 Теорема. В окрестности заданной точки Р„произвольное преобразование координат хг сводится к однородному линейному преобразованию соответствующих геодезических координат у'. Доказательство.
Пусть х т, ..., Х㻠— коорлинаты в любой другой каРте, содеРжащей Рэ, а Р'т, ..., У'» — соответствУющие геодезические кооР- динаты в окрестное~и Р,. Любая геодезическая Р ()г), проходящая через Р„ для которой Р (О) =Р», выражается в геодезических системах координат в виде Р(»): у/=АС/ и у'/=Ц'/, где 1/ и я'/ — константы. С точностью до наименьшего порядка малых величин (А О) х/ согласованы с у/, а х'/ с и'/. Поэтому ь'.с = дх'//дк" ) р Р. Ре следовательно, для любой данной точки Р (») на геодезической, проходящей через Р, р'/ =. дх'//дха (р, рэ, (27.2.й) а это и есть указанное в теореме линейное преобразование. УПРАЖНЕНИЕ Покажите, что следующий член ряда (27.2,4) можно записать в виде -(1/з))Г',м,(„р'р и', (27.2.9) где Г э»г = — ~~ ( дгмг/дх — 2ГиГмг), и )ч-ч А, а 5 з2 (27.2.10) причем суммирование осуществляется по циклическим перестановкам индексов 0 т и г.
Члены высшего порядка с коэффициентами Гг ., обсуждаются в у Эйзенхарта 1!9261. дйа„/дх'=[2(, т')+[т1, /з|. 27.3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В РИМАНОВЫХ И ПСЕВДОРИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ При наличии метрического тензора можно еще больше упростить работу с геодезическими координатами, если подобрать такое линей- В случае римановых и псевдоримановых многообразий, когда коэффициенты связности получаются при помол)и метрического тензора как' Г, =т, 1, где 1, ( заданы формулами (26.6.10), (26.6.11), из (27.2.6) следует, что первые частные производные метрического тензора равны нулю в начале геодезических координат, потому что язв Га. З7. Риманиеы и аффинио аимиые мноаюориьии ное преобразование координат у', что в точке Р, +1 -(- 1 (27.3.1) (й~ ) = (в случае римановых многообразий у всех ненулевых членов будет знак +.
Это можно сделать следующим образом. Сначала можно преобразовать уг при помощи ортогональной матрицы так, чтобы матрица (д~ь) стала в точке Р, диагональной. Пусть диагональными элементами являются числа Нм ..., Й„, где первыми идут положительные числа (и все дгчьО). Затем сделаем еще одно преобразование у"=ь'1~,~ у' (здесь соглашение о суммировании не используется), после которого матрица (дуь) примет указанную выше стандартную форму.
Такие у' единственны с точностью до ортогонального преобразования (вращения, возможно, с инверсией) в случае римановых многообразий и с точностью до преобразования Лоренца в случае псевдоримановых многообразий. Эти числа у' называются нормальными, или нормальными геодезическими, или нормальными римановыми координатами. Если риманово многообразие погрузить как и-мерную поверхность 5 в евклидова пространство Ем большей размерности, как это описано в 5 26.4, то нормальные координаты совпадают с декартовыми координатами и-мерной гиперплоскости, касательной к 5 в точке Р;, поверхность проектируется на зту гиперплоскость так, что геодезические, проходящие через Р,, переходят в касательные линии, а длины вдоль геодезических переходят в длины вдоль касательных.
(В некоторых старых книгах любые координаты, в которых первые частные производные от д~ь в точке Р, обращаются в нуль, называются геодезическими координатами в окрестности Р,,) 77ни Гволегпричэскиэ понятия. Принцип экаививвнтноптш 737 77пЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Геометрия имеет дело с точками и линиями, а также с объектами, построенными из них; в частности, она имеет дело е пространствами точек, в которых выделены определенные множества точек, называемые прямыми или геодезическими. В рассматриваемых здесь геометриях предполагается также, что такое пространство является п-мерным континуумом в том смысле, что он обладает топологическими свойствами а-мерного многообразия.
Основным геометрическим понятием является конгруэнтноста (сравнимость) '). Обычно имеется некоторая группа преобразований пространства, называемая группой конгруэнтности; преобразова ния, входящие в эту группу, сохраняют геометрические соотноше ния. В качестве примеров можно указать группу движений в сакли. дозом пространстве и группу Пуанкаре (неоднородную группу Лоренца) в пространстве Минковского. О двух фигурах (множествах точек) говорят как о конгруэнтках, если одну фигуру можно преобразовать в другую при помощи некоторого преобразования этой группы. (В «Эрлангенской программе» Феликса Клейна (1872 г.) господствует противоположная точка зрения: когда на пространстве задается группа преобразований, она служит для определения геометрии, состоящей из тех отношений, которые сохраняются при этих преобразованиях,) По аналогии о геометриями Евклида и Минковского можно предполагать, что в пространстве с метрическим тензором рта группа конгруэнтности должна состоять из тех преобразований, при которых тензор дуа сохраняет свои значения.
Однако в большинстве случаев таких преобразований вообще нет (за исключением тождественного преобразования), если только пространство не является плоским или не имеет постоянную кривизну. Следовательно, в большинстве случаев нет и обычного понятия конгруэнтности. Для очень малых фигур можно определить приближенное понятие конгруэнтности.
Рассмотрим сначала риманово многообразие. Пусть у', ..., ии — нормальные координаты в окрестности точки Р„'а ш', ..., Кв — нормальные координаты в окрестности другой точки (1,. Пусть тг — отображение окрестности Р, в окрестность (у„, задаваемое приравниванием соответствующих нормальных координат (т. е, точка Р с координатами ут, ..., уя отображается в точку 9 с координатами шт, ..., шя, если уг=пэ, 1=1, ..., и). Говорят, что малая фигура вблизи Р, приближенно конгруэнтна малой фигуре вблизи (уе, если первая фигура отображается преобразованием ф во вторую.
Так как система нормальных координат единственна с точностью до ортогональных преобразований, в результате получается прибли. К Отношение»ннннаяентностн геометрнчеснах фигур. — Прил. перев. Гл. г7. Риманоои и аффинна гаазниг многообразия женно евклидова геометрия. Геодезические, проходящие через Р,, переходят при ф в геодезические, проходящие через Я,; легко убедяться в том, что угол между двумя такими геодезическими (см. формулу ниже) при этом отображении сохраняется.
(Геодезические, ие проходящие через Р„обычно не переходят в геодезические, если пространство не является плоским.) Если в точке Р, пересекаются три или несколько гладких кривых, то звезда, образованная в Р, их касательными векторами, отображается в аналогичную звезду в Щ с сохранением всех углов. Если Р,А  — маленький треугольник с вершиной Р„т. е. если Р,А, Р,В и А — короткие геодезические, то его образ при отображении ф есть фигура ГбоСР, где 1~оС и Я,0 — геодезические с теми же длинами, что и Р,А и Р,В, а Сг) — почти геодезическая, если треугольник мал, и имеет длину, почти равную длине АВ. Если Р, и 9,— одна н та же точка, а уа и ш" — две системы нормальных координат около этой точки, то конгруэнтностн определяются вращениями н отражениями, оставляющими точку Р, на месте.
Углы определяются по формуле для углов в криволинейных координатах евклидова пространства. Если в точке с координатами х' (Х,) = х' ((г,) пересекаются две гладкие кривые х' =х' (Х) и х'=х'(и), то соответствующие нх направления в этой точке задаются касательными векторами Е' =х'(Хо), $'=хг()г„), а угол 0 между этими направлениями определяется формулой соз 0 = дтЩн(Я $ ~ () Ц), (2?.4.1) где 1$11=1йгДЯэи/ыз, Д)!=/ д?иЩ)ыз. (27.4.2) Знаки абсолютной величины в (27.4.2) здесь не являются необходнмымн и включены в запись формул лишь для последующего их использования в случае псевдоримановых многообразий. Аналогичные рассуждения применимы и к псевдоримановым многообразиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
