Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ПРИМЕР Если х'=О и хт=ф — сферические координаты на единичной сфере, где О < О < и, — и < ф < и, а Х, 1«, Š— декартовы координаты в Еа, то Х=а1п к'соаха, '«' а1п «'а1п к', с=свах« л11 1, ита лат=о, д„=ып'хт. Это обычно ааписывают в аиде иа«йза+а1павйфа; то же самое можно получить иа выражения для линейного алемента иа(=й«~+«аева+«аагпавйфа в сферической системе координат в Еа, положив «= 1, й«=О. Заметим (доказательство см.
в книге Эйзенхарта 119261), что и-мерное риманово многообразие можно всегда погрузить в Е'», где Лг=«/ап(п+1), хотя для того, чтобы погрузить многообразие как гиперповерхность без самопересечения (т. е. вложить), Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии 2!6 требуется пространство большей размерности (см. обсуждение бутылки Клейна в 2 23.!)'), Псевдориманово многообразие также можно погрузить в плоеное пространство (обобщенное пространство Минковского) подходящей размерности и сигнатуры. Однако это утверждение имеет ограниченное обращение: гладкая поверхность в такого рода плоском пространстве является псевдоримановым многообразием только в том случае, когда она нигде не параллельна световому конусу. Упражнения 1.
Пусть вг — риыаново многообразие с одной координатной системой хв= $, хв Ч и с метрическим тензором, задаваемым матрицей 1 Г'1+Чв — $Ч~, ч"'=етвьвт( — ь н+еР координаты $ и Ч могут изменяться на всей ($, Ч)-плоскости. Покажите, что еув может быть погружено в Ев как полусфера. 2. Аналогично найдите погружение в Е' многообразия с метрическим тензором (кув) =! в, 1 ! йв) /1+ч* $ч 26.5. ПОДНЯТИЕ Ы ОПУСКАНИЕ ИНДЕКСОВ Если рд — любой контравариантный вектор на римановом или псевдоримановом многообразии, то ковариантный вектор о, = д о", полученный как внутреннее произведение иу на метрический тензор, рассматривается как просто другое представление от; говорят, что оу получено из пу опусканием индекса, и когда один и тот же символ используется для контравариантного и ковариантного векторов, предполагают, что они связаны именно таким образом.
Аналогично, если ю — произвольный ковариантный вектор, говорят, что контравариантный вектор гиу=дуаги получен поднял!нем индекса. Если индекс сначала поднимается, а затем опускается (или наоборот), получается исходный вектор, потому что (д,ь) и (дтз) — взаимно обРатные матРицы, так что Е ада'гиг=ги,. Точно так же можно опустить нли поднять любой индекс любого тензора, например 3гз Еам5 г — йт 5!ам н т д ° заметим, что горизонтальное упорядочивание индексов должно сохраняться, если тензор не является симметрическим. Ясно, что Усв — это пРосто РезУльтат поднЯтиЯ обоих индексов дув; смешан- ') Отображение ф многообразкя М в Ен называется иогрузсеннем (аммерсией), если его матрица Якоби в любой точке невырождена; оно называется елозеением, если явлнется взаимно однозначным отображением многообразия М на его образ в Етг.— Правь нерее. 217 эб.б. Геодезиаеекие на риманоеогг многообразии ная форма метрического тензора имеет вид йе = й' йм = '(О при 1' ~ /г ~ в этом частном случае привычно писать индексы без горизонтального разделения (д~~ вместо г77 или да7), что допустимо вследствие симметрии.
Зб.б ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ 1 = ) ':реей„хахг г(пг = ) е(8 (26.6.1) называется длиной кривой в. (Если )И погружено в евклидово пространство Ел более высокой размерности, как это описано в й 26.4, то (.— в точности длина Ж, как кривой в Егг.) Подкоренное выражение в (26.6.1) положительно, потому что метрический тензор в римановом пространстве положительно определен (о псевдоримановых пространствах см. 2 26.7). Это подкорениое выражение следует рассматривать как функцию от пг: ое1 бег (х' (пг), ..., ха (ги)) (г(х" (пг)!г(ги) (е(хг (ги)(е(га) == ое1 =гг (х', ..., ка, х', ..., х"), (26.6.2) где точка обозначает Фе(ш, а каждый аргумент функции ей(...) понимается как соответствующая функция от пг.
Заметим, между прочим, что если кривая й' лежит на пересечении двух карт, то в любой из них длина 1. оказывается одним и тем же числом, поскольку выражение (26.6,2) является скаляром и для любого пг значение Ф не зависит от выбора системы координат; следовательно, значение (., полученное из (26.6.1), оказывается инвариантом.
Если в — кусочно гладкая кривая, то под ее длиной понимается сумма длин ее гладких кусков. Оставшаяся часть главы, за исключением последнего параграфа, посвящена геодезическим. Однако это еще не совсем геометрия, потому что мы будем иметь дело в основном с аналитическими методами и связями. Геометрические свойства появятся в следующей главе с введением таких понятий, как параллельный перенос вдоль кривой. Пусть Ж вЂ” гладкая кривая на римановом многообразии М с началом Р, и концом Р,.
Предположим сначала, что б лежит на одной координатной карте и в этой карте описывается функциями х/(га), а ~ ев Ь, которые принадлежат классу С'. Преобразования одной карты в другую будут рассмотрены позднее. Величина з ь Гл. гб. д1еприко и ееодеэоческие но мкоеооброэио Если можно найти такую гладкую кривую в, от Р, до Р„ определяемую функциями у»: $*„: х»=у»(пэ) (а(ш<Ь), (26.6. За) что интеграл (.
для в„оказывается меньше, чем для любых других кривых, соединяющих Р, и Р„то очевидно, что и", является самой короткой среди таких кривых. Чтобы сравнить и', с соседними кривыми, рассмотрим кривые й вида 6: х»=у»(ш)+вг»(ш), где е — малый параметр, а 㻠— произвольные Сэ-функции, такие, что г»(а) =г»(Ь) =О (Ь= 1, ..., п); тогда 1.=(.„-)- — ед» Ф м' ~ — »г»+ —.г»)~йо+0(аэ), (26.6.4) ! Г l дФ д!Р о где (.,— длина ео. У функции Ф и ее производных аргументы х» и х» следует рассматривать как функции на и"„, т. е. как у»(ш) и у" (ш). Чтобы значение (. было минимумом, интеграл в (26.6.4) должен обращаться в нуль при любом выборе функций г»(ш), а зто условие приводит к дифференциальным уравнениям относительно функций у»(ш), описывающих кривую 6,. Если этот интеграл обращается в нуль при всех г", т.
е, если у» удовлетворяют этим дифференциальным уравнениям, то кривая 6, называется геодезической (или геодезической кривой) на М; кривая О„может быть наикратчайшим путем от Р, до Р„а может и не быть им (см. примеры ниже), однаио в любом случае значение (. стационарно на а,. В частности, если й4 — евклидово н-мериое пространство и х', ..., х" — криволинейные координаты, так что»".етрический тензор задается формулой (26,3,1), то кривая в, представляет собой отрезок прямой, описанный в криволинейных координатах. Для упрощения последующих вычислений удобно выбрать параметр ш на кривой Ж„таким образом, чтобы Ф оказалось константой на бо (но не обязательно на соседних кривых М', в самом деле, во нельзя выбрать таким, чтобы Ф было одной и той же константой на Ж„и на соседних кривых, потому что для этих кривых ш=а и й=Ь в Р, и Р, соответственно; значит, если ш можно было бы выбрать указанным образом, то все эти кривые имели бы одну и ту же длину).
Это можно сделать введением на и"„нового параметра ) =) (ш) равенством Х(ы~,) =~ )Г рыу»у' йш, а~(ш,(Ь (26,6,5) о 2б.б. Геод«»и«евно«на романовом многообразии 219 (),— длина дуги вдоль й,); используя )» в качестве переменной интегрирования вместо»в, получим вместо (26.6.6) »1 й, - ~ )~ а»,у»у« д); о поэтому после дифференцирования по Х, получаем т««« -уо 1 «..
Множитель Ф-ы» можно теперь вынести за знак интеграла (26.6.4). Иначе говоря, если в качестве параметра )» взята длина дуги 0„ то вариационные задачи ь ь б~)ГФйХ=О и 6~Фей=О а « (26.6.6) Слова «на Ж,» означают, что в качестве функций х" ()), входящих в Ф (см. $ 26.6.2), нужно брать функции у»(Х), которые описывают кривую д». Уравнения (26.6.7) являются вариаиионными уравнениями Эйлера задачи 6 1Фдй=О. (26.6.8) а Из определения (26.6.2) функции Ф ясно, что уравнения Эйлера выглядят, в частности, так (в (26.6.7) й заменяется на т|: — хх»х' — -(д х'+д х')=О ад»ь дк'" вх (два члена в скобках, конечно, равны друг другу), или ( — "-" — "-"-' — '." — — — — — ) х»х' — 2у«нх' = О; (26,6.9) дк' имеют одно и то же решение.
Хотя Ф=! на е„частные производные Ф в (26.6.4) не обращаются в нуль, потому что они включают дифференцирования по другим направлениям, а не только вдоль 6». Интегрирование по частям второго слагаемого в (26.6.4) после удаления Ф-'1' (проинтегрированные члены обращаются в нуль, поскольку г"=О в Р, и Р,) и приравнивание интеграла нулю дают ь ~ (~к„—,— ', ~ ~ ®дЛ=О.
а В силу произвольности г»()) отсюда следует, что — — — =О на Ь*„(й=!, ..., а). (26.6,7) аФ о дФ а» бХд»= 220 Гл. 2б. Лвгырико и ггобеозочгског но многообразии именно этим уравнениям (т 1...,, и) должны удовлетворять функции хз(гр) =уз(гс) для того, чтобы кривая Во была геодезической. Эти уравнения удобно записать с использованием трехиндексных символов Кристоффеля первого и второго рода, имекицих вид соответственно ~И, т|= — 1 — ~~'+ йм'+ ца" 11 (26.6,10) (ь'г) =де (И, гп| (просуммировано по т). (26.6.11) Тогда после умножения (26.6.9) на дг и суммирования по т получаются уравнения (для геодезической) х'+ (,'г) хах'=О (г=1, ..., п) (26,6.12) (здесь, как и везде, используется соглашение о суммировании), Символ 1а'~) ЯвлЯетсЯ фУнкцией от х', ..., х", пРичем считаетсЯ, что взяты х'(Х), ..., х" (Х).
Любая кривая и: ха=х" (Х), удовлетворяющая (26.6.12), называется геодезической; параметр )с называется натуральным параметрам (или аффинным, или предпочтительным, или естественным) на б'. Очевидно, что уравнения (26,6.12) не изменяются при подстановке )ч — а)с+Ь, где а~О и Ь вЂ” константы; следовательно, натуральный параметр определен с точностью до таких линейных преобразований. На римановом многообразии Х можно взять как длину дуги.
Рнс. 26.2, Геодезические. 1 — сфера; 2 — геодезнческан нз А в В минимальной длины; 3 — геодезическая из А з В максимальной длины; 4 — цилиндр; б — две геодезические нз А в В минимальной длины. Достигает ли на в интеграл Ь действительно минимума (а не максимума или даже просто стационарного значения) и является лн этот минимум единственным, невозможно выяснить без дополнительных исследований (см. примеры на рис.
26.2; заметьте 26.7. Геооеви«еское на псевдоуимаиовом мисмооориэии 22! также, что на сфере имеется бесконечно много геодезических между данной точкой и диаметрально ей противоположной, причем все эти геодезические имеют одну и ту же длину). Однако ниже мы убедимся в том, что для любой заданной точки А многообразия найдется такая ее окрестность М„, что для любой точки В Е Мл имеется только одно решение 6ь уравнений (26.6.12), идущее из А в В и лежащее в Мл, причем на этой кривой в', интеграл ) достигает минимума. Замечания. Величины (й(, т| не являютсн компонентами какоголнбо тензора ранга 3, равно как и величины (»'„,), поскольку для них не выполняются соответствующие законы преобразования; например, в евклидовом пространстве все этн величины тождественно равны нулю в декартовых координатах, но не в криволинейных координатах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
