Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если р — представление нильпотентной комплексной алгебры гуи М на векторном пространстве 1л, то весовые пространства представления р натягивают у'; иначе говоря, Р является прямой суммой весовых пространств: 1 = 1 а, »ал ° ° Я ~ о„, где 1'„.— весовое пространство, соответствующее вгсу а ( ° ), ! = 1, ..., й. Доказательство каждой из этих теорем осуществляется при помощи индукции по размерности и алгебры М; идеал М' не совпадает с М, и если Л' есть подпространство М размерности и — 1, содержащее М', то Лг является подалгеброй (на самом деле идеалом), причем она разрешима в случае теоремы 1 и нильпотентна в случае теоремы 2; следовательно, индуктивное предположение может быть применено к Лг.
Индукция начинается с и=1, но в этом случае с точностью до скалярного множителя имеется лишь одно линейное преобразование р(Х) и утверждения теорем сводятся к хорошо известным соответствующим фактам линейной алгебры. Алгебраическая работа для выполнения этих доказательств вполне проста, но объем ее столь велик, что может обескуражить слабого духом. Теперь введем два понятия, играющих важную роль при анализе общей алгебры Ли Л симметричная билинейная форма и подалгебра Картина. Первое понятие относится к симметричной форме (а., )»), определенной для всех Х н )» из Л посредством равенства (Х, р1=1г(Ада Ад») где 1г означает след') Эта форма может быть вещественно- или ') Эта билинейная форма иногда называется формой Кнллннга.— Орам. ларга.
Звдв. Классификация простил камплгкспык алггбр Ли 193 комплекснозначной в зависимости от того, является ли Л вещественной нли комплексной алгеброй Ли, но (г., и) не является положительно определенной, исключая специальный случай, о котором будет сказано ниже. Основная теорема, именуемая критерием Картина, гласит, что вещественная или комплексная алгебра Ли полупроста в том н только том случае, когда симметричная билинейная форма невырожденна, а это означает, что не существует отличного от нуля элемента 1,, для которого (л., )с) =0 при всех )с. Если Л вЂ” любая комплексная алгебра Ли, а М вЂ” нильпотентная подалгебра, то мы можем применить теорему 2 к присоединенному представлению подалгебры М на Л, заменяя символы р()с) н (г на Абя и Л.
Веса, весовые векторы и весовые пространства этого представления в таком случае называются соответственно корнями, корневыми векторами и корнгвыми прсктранствами подалгебры М в Л. Если сх(.) есть корень, то соответствующее корневое пространство обозначается через Л„; оно является подпространством пространства Л. Из нильпотентностн М следует, что нулевая функция, т. е.
а(л.)=0 для всех )., представляет собой один из таких корней, а соответствующее корневое пространство, обозначаемое через Л„содержит М. Если нильпотентная подалгебра М может быть выбрана так, что Л, совпадает с М, то М называется яодаягвброй Картона алгебры Л. Основная теорема гласит, что любая комплексная алгебра Ли имеет подалгебру Картава. Оказывается, что в случае комплексной полупростой алгебры Лн Л; (а) подалгебра Картана М коммутативна; (б) для каждого а~О корневое пространство Л„одномерно; (в) если а — корень, тз — а также корень; (г) если )с и г.' — ненулевые векторы в Л и в Л „, то [г., Х'1 есть ненулевой вектор в М и (л„)')ФО.
Пронумеруем ненулевые корни так: ~а„~-а„..., ~-аы выберем векторы )сс и Х с в Л„г и в Л „, нормированными так, что (Х,, ).,)=1, и введем обозначения )гс=[гсс, 'л. ], с=1, ..., /г. Можно показать, что М является линейной оболочкой векторов р,. Из пунктов (а) и (б) предыдущего абзаца следует, что в случае полупростой алгебры появляются только обычные корневые векторы (т.
е. нет обобщенных векторов). Для корневых векторов (г,„(сх ~ 0) это следует из одномерности подпространства Л„; и любой вектор ч в Л, =М есть корневой вектор, потому что Ад,р=О для всех )л в М. Подалгебра Картана не единственна, но можно показать, что если М' — любая другая подалгебра Картана в Л, то М и М' имеют одинаковую размерность и существует автоморфизм алгебры Л, который переиодит М в М'; следовательно, любая нз таких Гл.
2В. Группы Ди им подалгебр может быть использована для исследования структуры алгебры Л. Обнаружено, что конфигурация векторов )л, полностью определяет алгебру Ли. Описание этой конфигурации сильно упрощается при учете того счастливого обстоятельства, что если М, обозначает вещественное векторное пространство, состоящее из линейных комбинаций )л, с вещественными коэффициентами, то естественная билинейная форма (, ) является вещественной и положительно определенной в М,; следовательно, М, представляет собой евклидово пространство, если (, .) взять в качестве скалярного произведения.
Можно показать, что вещественная размерность пространства М„совпадает с комплексной размерностью пространства М, и мы обозначим ее через т. Тогда (комплексная) размерность алгебры Л равна т+2п. Длина вектора )л в М, есть 1)л1=(р, )л)м*, а угол между двумя такими векторами определяется равенством созл~)л, «=(Н, «)/(~~Р)1«1) Звезда в М„которая состоит из векторов )ло выходящих из начала координат, имеет довольно высокую степень симметрии и может быть описана следующим образом. 1) Для любой заданной простой алгебры Л либо все )л, имеют одинаковую длину, либо существуют две длины, причем часть векторов )ь, обладает одной длиной, остальная часть — другой. 2) Угол между любыми двумя векторами представляет собой целое кратное 30 или 45'.
3) Если угол равен 30 или 150', то один вектор длинный, а другой †коротк, причем отношение длин равно 1г'3. Если угол равен 45 или 135', то отношение длин равно )' 2. Если угол равен 50 нли 120', то оба вектора имеют одинаковую длину. 4) Вся звезда симметрична относительно отражения в каждой гиперплоскости, перпендикулярной к одному из )лр Любая минимальная звезда, удовлетворякицая этим условиям, определяетединственную простую комплекснуюалгебру Ли, и различные звезды определяют различные алгебры.
Если Л полупроста и является прямой суммой простых алгебр, т. е. Л=Л,Я... ®Л„, то М, натягивается на й взаимно ортогональных подпространств, каждое из которых содержит звезду одной из простых алгебр. Допустим теперь, что алгебра Л проста. Когда М, одномерно, звезда состоит из двух противоположных векторов одинаковой длины н алгебра Л, обозначаемая через А„имеет размерность 1= 3.
Когда М, двумерно, существуют три возможные звезды, которые изображены на рис. 25.2, где приведены также размерности ! и обозначения соответствующих алгебр, а именно А,, В„б, Когда М, трехмерно, также существуют три возможные 2змб. Классификация ярасгиых кслсллгксныл алгсбр Ли 195 звезды, соответствующие алгебрам А„В„С,. Звезда алгебры А, состоит из шести пар противоположных векторов рп и !л о причем все они имеют одинаковую длину и соединяют начало координат с серединами ребер куба, углы между векторами равны 60, 90, 120 и 180'. В звезде алгебры В, имеется шесть пар длинных векторов, расположенных, как и в А„т. е.
ведущих к ребрам куба, и три пары взаимно ортогональных коротких векторов, образующих углы 45' с ближайшими длинными векторами, причем отношение длин равно !г 2; короткие векторы соединяют начало 1 14 Зг 1 Ю Ал з Рве. 2З.2. Двумерные звезды простых комплексных алгебр Ли. координат с центрами граней куба. Звезда алгебры С, представляет собой звезду алгебры В„в которой длинные и короткие векторы поменялись местами, так что эта звезда соответствует ромбнческому додекаэдру. Размерности, соответствующие алгебрам Аы В„ Оы Аз, В, С, равны 8, 1О, !4, 15, 21, 21. Конечно, бессмысленно говорить о длинах и направлениях векторов Е;, поскольку они лежат в комплексном пространстве Л, для которого (., ) не является даже эрмнтовым скалярным произведением.
Но вполне разумно найти произведения Ли [я, !х! для достаточно многих пар !с, 1л так, чтобы определить структуру алгебры Л. Наилучшим образом это делается при помощи моделей, которые будут описаны в следующем параграфе. Для того чтобы определить возможные звезды в случае, когда М, имеет более трех измерений, используют метод, предложенный Е. Б, Дынкиным. Простым множеством векторов в звезде назовем некоторое множество П, состоящее из т векторов !л, (т всегда меньше 2я), такое, что при помощи операций сложения и вычитания начиная с векторов множества П можно получить все векторы данной звезды, причем таким путем можно получить лишь, одно множество векторов, удовлетворяющее приведенным выше условиям ! — 4, т.
е. лишь одну звезду. Можно доказать, что всегда возможно выбрать простое множество векторов. Более того, хотя множество П в общем случае не единственно, но если допустить, что П' — другое простое множество, то можно установить некоторый автоморфизм Гл. 26. Группы Ди !96 („) — ( )" *(,~ — ( ) Т ы(т+2) ~~ — ( ) "О=(ж') м(2 .!) Π— О- Он=О гл(2 а+1) Тнн лнрп ж1) Вм(мь2) с„(мъз) С» О"' ы(2т-1) (, » — "( ) ' 73,!33,248 Рм(ыъ4) Вм(тма,7 яянв) Рнс. 26.3. Диаграммы Дынкнна Лля простых комплексных нлгеер Лн.
двойной или тройной линией в зависимости от перечисленных значений угла; если угол равен 90', то соответствующие точки не соединяются. Если угол равен 135 или 150', то точка, соответствующая короткому вектору, отмечается звездочкой. Можно доказать ряд результатов, относящихся к диаграммам простых комплексных алгебр, например: диаграмма не содержит никаких петель, она связна, она содержит самое большее одну двойную или тройную линию, она может иметь не более одного ветвления н т. п. Как следствие этих правил обнаружено, что существует в точности семь типов диаграмм Дынкина, приведенных на рис. 25.3 (где т — число точек, которое равно размерности пространства М, а 1 — размерность алгебры Л).
Типы А, В, С и О представляют собой регулярные серии, а остальные пять алгебр называютоя исключительными. 2ЕЛТ. МОДЕЛИ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБР ЛИ Вышеуказанная классификация получается благодаря наложению различных условий, которым должна удовлетворять простая алгебры Л, при котором М инвариантно, а П переходит в П'; следовательно, неважно, какое простое множество используется. Возможными углами между любыми двумя венторами множества П будут 90, 120, 135 и 150'.
Диаграмма Дынкина представляет собой множество т точек (или кружков) на плоскости по одной для каждого вектора из П. Если угол между двумя векторами из П равен 120, 135 или 150', то соответствующие точки диаграммы соединяются одинарной, 197 25МТ. Мебели простых комклкскык алгебр луи комплексная алгебра Ли и которые появляются в результате весьма продолжительных алгебраических рассмотрений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
