Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Поэтому рассмотрим близкий к в элемент а =еа, так что е близок к 1 (насколько близок, сейчас будет ясно). Тогда а' = аа,е = ЬН,е. Пссйз- -~ р кольку Иà — открытое множество, ат и й! являютси внутренними точками. В силу непрерывной зависи. Рис. 25.!. мости координат элементов е, = риз и 6|=йте от координат элемента а существует такая окрестность Ите единицы, что лля еЕ Игз и, и й, принадлежат И' (см. рис.

2Ь!). Множества атрее=(иге: аЕ Ие) и 6, Иге — — (й е: е~ Иге) представляют собой окрестности в ИГ соответственно элементов Ги н й,, т. е. алпгрьаные множества, содержащие соответственно йт и йт, так как, согласно приведенному выше пояснению, левые зрансляции на е, и й, являются гомеоморфизмами в И', Следовательно, поскольку е=ае,= Ьй,, ауте является открытым множеством в топологни каждой карты и содержится в обеих картах. Таким образом, первое из условий согласованности карт удоилетворено.

Далее нужно доказать, что координаты,ф (а) = !пат и згр(а) = !ай, анзлнтически зависят друг от друга для всех элементов а, которые можно .представить как в виде айм так и в виде Ьй,, где дт и й, принадлежат Гт. Из того что Ь-'а=йтй, ~, а 6т и ег принадлежат И', следует, что Ь-'а находится в )г (даже если сами а и Ь не находятся в окрестности !г, где определены логарифмические координаты), Следовательно, (п йы равный 1п((Ь 'а) а,), зависит аналитически от !па, согласно формуле КБХ. Аналогично !п ат зависит аналитически от !и й;. Наконец, аналогичными рассуждениями можно показать согласованность двух правотранслироваиных нарт,.

а также согласованность карт, одна из которых являетсн правотранслированной, а другая — левотранслнрованной, Теорема 2. Если группа 9 покрывается транслированными картами, как описано выше, то справедлива аксиома отделимости Хаусдоргра. гб.!1, Трансляции карт. Соглпгоеонлгкть 1УЗ Доклзлтельство Пусть и и Ь вЂ” две произвольные точки группы; предположим, что онн неотделимы в том смысле, что любая окрестность точки и и любая окрестность точки Ь имеют иепустое пересечение.

Следует доказать, что з таком случае п=Ь. Обозначим через и норму в алгебре Л, например еаилидову норму относительно некоторого базиса ег, ..., е„в Л. Пусть для любого Ь > О (га — окрестность единицы, содержащая те элементы е и Рг', для которых !!1пв!! < б. Тогда п(ть и ЬПь являются окрестностями элементов п и Ь; возьмем в качестве л элемент из а(таПЫта, так что л=ае=ьч, где а н ч принадлежат (гь.

Тогда Ь-'а=не-'. Поскольку !иле-' определяется при помощи формулы КБХ через !пи и (пе-'= — 1пе, причем последние можно сделать сколь угодно малыми при подходящем выборе б, то видно, что (п Че-' равен нулю; но это значит, что и 1и Ь-'а равен нулю, откуда Ь-'и= 1, что и требовалось доказать. Таким образом, группа 6, для которой существует покрытие транслироаанными картами (а в дальнейшем мы будем это допускать), является вещественным аналитическим многообразием. Как и в гл.

23, мы предполагаем, что группа 6 может быть покрыта счетной совокупностью таких карт. Лемма. Левая или правая трансляция есть аналитическое отображение во всей группе 6. доказательство Левая трансляция я — ь пу отображает карту (Ь Иг, ь~р, 1У) (Ь произвольна) на карту (аь)У, Ыр, Л!); соответствующее координатное отображение тождественно, ибо еслй Е=ЬЬ, то ь р (у) = ььт (пь) = 1п Ь Аналитичность подобного отображения в правотрансзированных картах следует из согласованности карт. Теорема 3.

Произведение элементов и обратный к элементу аналитична во всей группе 6. Докззлтельство для произведения пусть о и Ь- произвольные элементы О. Обозначим через ~р, Ыр, Ыр координаты в картах, полученных иэ базисной карты при помощи левых трансляций на и, Ь и Ьа.

Будет показано, что для в и ь, близких к 1, координата ь<р элемента (ад) (ьй) зависит аналитически от координаты ~р элемента пг и от координаты ьц элемента ЬЬ. Тогда в силу аналитической согласовнннссти всех траислнрованных карт такое же заключение следует для любых трех карт, в которых соответ.

ственно расположены и, Ь и аЬ. Далее, ,ыр(пйьь)=„ьм(пЬЬ 'яьь) =1п (Ь 'пЬЬ); поэтому нужно показать аналитическую зависимость последнего члена данного равенства от 1и л и 1п Ь. Элемент Ь 'еь получается из элемента Е при помощи левой трансляции на Ь ', которая осуществляется после (или до) правой трансляции на Ь, причем Ь"ггь= 1 для е= 1; следовательно, для г вблизи ! !и (Ь 'йь) существует и аналитически зависит от 1п д согласно доказанной выше лемме. По формуле КБХ (п (Ь гдЬЬ) зависит аналитически от 1п (Ь-'ЕЬ) и 1п Ь, откуда следует учверждение теоремы относительно произведения. Доказательство аналитичности обратного элемента остается читателю в качестве упражнения.

Теорема 4. Главная компонента лгногообразия 6, т. е. колтонента, ссдержаи(ая единицу, порождается любой окрестностью Гл. 2б. Группоо Лн 174 Юо единицы. Иначе говоря, лгобой элемент ~' в этой компоненте можно представить в виде конечного произведения й=дхйо где каждый дг принадлежит оа',. (Определение компоненты многообразия см. в й 23.8.) Доклзлтвльство. Пусть 6,— подгруппа О, порожденная множеством ИгоП [о'о ', где иго' — множество, состоящее из элементов, обратных к элементам множества В'о. Множество Игоо= ИгоП 'ооо з открыто и содержит !. Ясно, что О„связна, поскольку каждый из множителей еы до, ... в конечвом произведении е=взуо...

можно по очереди перевести глалким образом в 1, а затем удалить из этого произведения, так чта как следствие элемент д будет связан с !. Теперь будет показано, что множество 6о является открытым и замкнутым одновременно. Поэтому, в согласии с г 23.6, это множество представляет собой целую компоненту многообразия 6. [Поскольку Игыг:Ито, можно также говорить, чта 6, порождено множеством Иго.[ Если =д,яо. Ез — любой элемент Оо, то открытое множества д!йоо, содержащее е, состоит из элементов вида яхео ...

язяа+х, причем гао, также принадлежит !ооо; поэтомУ д!Уоо садеРжитсЯ в Оо и множество В', откРыто. С другой стороны, если д' — любая предельная точка Оо, та множество Е'Игоо-— =я'Итоо =(Е'й-'. йц- зуоо) является окрестностью элемента е' и, значит, содержит элемент вида ет ... Ея! поэтому ет ... Уз=у'й х для некоторого йЕ В'„; следовательно, Е' =Е! .., язй содержится в Оо, т. е. 6, — замкнутое мнежество, что и требовалась доказать. Замечания. Левая трансляция есть гомеоморфизм во всем многообразии 6. (Это отображение взаимно однозначно по теоретико- групповым соображениям и непрерывно, даже аналитична, по приведенной выше лемме.) Поэтому каждый левый смежный класс а6, подгруппы 6, группы 6 есть компонента многообразия 6, и наоборот. Рассматривая правыетрансляции, мы приходим к выводу, что каждая компонента является также и правым смежным классом; поэтому 6, представляет собой нормальную подгруппу.

Количество компонент счетно, поскольку мы допустили, что многообразие может быть покрыто счетной совокупностью карт. Рассматриваемая теория не устанавливает никаких ограничений на природу факторгруппы, потому что если 6, — связная группа Лн, а К вЂ” любая абстрактная счетная группа, то прямое произведение О,х К можно рассматривать в качестве группы Ли 6, имеющей по одной компоненте на каждый элемент из К, и тогда Ы6, К. По этой причине факторгруппа 6/Оо не представляет интереса, и многие авторы при определении группы Ли включают требование связности.

Мы предпочитаем не исключать из рассмотрения группы, подобные О (3). 2ЗЛ2. ГОМОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ ЛИ Теория гомоморфизмов алгебр Ли и групп Ли, изложенная в этом н в двух следующих параграфах, весьма сходна с теорией гомоморфизмов для групп, изложенной в $ 18.5 — 18.8. 2ЗЛ2. Гомоморфизам алгебри Ли 175 Грубо говоря, гомоморфизм есть отображение (в общем случае переводящее много элементов в один) некоторой математической структуры на менее сложную структуру того же вида, такое, что любое соотношение, справедливое для элементов первой структуры, также справедливо и для образов этих элементов во второй структуре. Некоторые из этих соотношений, вообще говоря, становятся тривиальными вовторой структуре (например, 1о1=1 или 0+0=0), в то время как остающиеся соотношения можно рассматривать как проявление некоторых основных свойств первой структуры без учета тонких деталей.

Точно так же, как для групп, такое отображение существует в том и только том случае, когда первая структура содержит некоторый особый вид подструктуры (например, нормальную подгруппу), которая может служить ядром этого отображения; теория показывает, как при заданной подструктуре воссоздать рассматриваемое отображение, сначала образовав так называемое частное или факторструктуру (иапример, факторгруппу), затем построив так называемый естественный гомоморфизм первой структуры на факторструктуру и, наконец, установив эквивалентность этого гомоморфизма первоначальному гомоморфизму. Эта программа действий применима непосредственно и к алгебрам Ли. Любая идея, имеющая отношение к группам Ли, находит параллель в соответствующих алгебрах Ли, и эта взаимосвязь между группами и их алгебрами обеспечивает мощные методы исследования этих групп.

Если Л н Л вЂ” вещественные алгебры Ли, то гомоморфизмом Л вЂ” Л является отображение ф алгебры Л в алгебру Л, которое сохраняет все операции алгебры Ли; иначе говоря, если Х и )х принадлежат Л, а або и ЬЕ Р, то ф(аХ-(-Ь)х)=а~~(Х)+Ьф()х) и ф([7, )х)) =[ф(Х), ф()г)1. Это определение (с заменой Р на С) имеет место и в случае комплексной алгебры Ли. Пояснение.

На самом деле нет необходимости заранее допускать, что Л представляет собой алгебру Ли; обязательно лишь, чтобы Л была структурой, в которой определены операции Х+)х, аХ и [3~, )х1. Однако та часть структуры Л, на которую отображается Л при помощи указанного гомоморфизма, т. е. образ ф(Л), с необходимостью должна быть алгеброй Ли. Если отображение ф взаимно однозначно и является отображением на всю Л, то оно есть изоморй(азм (символически Л ~Л); если к тому же оно является отображением Л на себя (т. е.

Характеристики

Список файлов книги