Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Как следствие этой теоремы получаем, что если ф: Л вЂ” Л является изоморфизмом алгебры Ли, то Ч' есть локальный нзо. морфизм группы Ли; если, кроме того, 6=6 и Л=Л, то Ч'— локальный автоморфизм группы 6 Следующая теорема сформулирует условия, при которых ло- кальный гомоморфизм может быть расширен до глобального. Этот вопрос возник в ~ 21.1, где было показано, что в квантовой ме- ханике могут появиться локальные представления групп, подоб- ных 50(З) и Яр. Следует напомнить, что группы Ю(З) и ЯУ(2) только локально, но не глобально изоморфны и что группы .У и Я.(2, С) тоже изоморфны лишь локально. В качестве второго примера примем за группу 6 двумерную группу тора, рассматри- ваемую как группа матриц вида Соответствующая ей алгебра Ли Л представляет собой коммута- тивную алгебру Ли матриц вида (о е)~.б(~ (), 5еа.
Любое линейное преобразование а аа+ ()(), р — са -1- йб, где а, о, с, й вещественны и ай — осФО, является автоморфизмом алгебры Ли Л. Соответствующий локальный автоморфизм б есть это справедливо только для достаточно малых а и (), поскольку, например, элемент О 1 обладает тем свойством, что да равен единице группы б, а это свойство не сохраняется при Ч', кроме случаев специально по- добранных чисел а и о.
Теорема 3. Пусть Чт — локальный гомоморфизм группы Ди б в группу Ли 6, определенный в некоторой окрестности У едини- цы в 6. Тогда: (а) если существует расширение тР отображения Ч' до отобра- екения всей группы 6, которое является гомоморфизмом в смысле 2Р.18. Гомоморфпэмы (репин Лп 181 элементарной теории групп, то Чг непрерывно и поэтому аналитична во всей 6, т.
е. является гомоморфизмом группы Ли; (б) если сг — связная группа, то существует не более одного гомоморфизма группы Ли Ч', который является расширением Чг; (в) если б односвязна, то существует в точности одно такое расширение Чг. ,(ЛОКЛЗЛтвЛЬСтВО ЧЛСтИ 1о1. ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО фИКСИРОВаННОГО Д, положим я= лой, где Ь принадлежит онрестнссти от, так что отображение Ь Ч'(Ь) аналитично. Тогда Чу(д)=Ф(до) Ч'(й), но произведения и обратные элементы аналнтнчны всюду в обеих группах (Ч 25.11); поэтому й аналитичен в д и образ Ф(е) авалитичен в е.
).(оклзлтнльство части ю1. любой элемент е из с можно представить в виде д|ео...ва, где все множители принадлежат У; следовательно, если Ф вЂ” любое расширение гомоморфиэма Ч', то Ф !Е) = Ч'(кт) ° Ф (ва) =Ч'(Ыд " ...Чг (дь), т. Е. Обраэ Ч' (д) ПОЛНОСТЬЮ Онредспястея Прн ПОМОщв Ч'! ЗиаЧНт, любые два таких расширения должны быть согласованы для каждого д. ,ь(оклзлтвльство члсти 1о1. Как это иногда делалось и ранее, до.
пустим, что у — подокрестность окрестности (Г, содержащая единицу и такая, что если д в й принадлежат (г, то е-т н й" т также принадлежат (г, а лй и йе содержатся в С. Будем строить отображение Ч'. Пусть й и й — элементы группы С, соединенные гладкой ириной й. Разобьем кривую й на малые сегменты при помощи точек (элементов группы) яо, уг, ..., яг так, чтоуо —— й и дг=й, а — 1 ((1 ег+, всегда содержатся в (Г.
Рассмотрим элемент группы С й= Чг (80 Е11 Чг (01 Ео) ., Чг (аг-ъао); если бы гомоморфиэм Ч' был глобальным, то у был бы равен Чг(й-тй). Из определения элемента д видно, что он не нзменяетси при измельчении данного разбиения кривой й; поэтому, так как два любых разбиения при измельчении стремятся к одному и тому же, й зависит только от Ь, й и от кривой й, й(ы покажем сейчас, что е ие зависит от кривой й прн заданных Ь и й.
В самом деле, пусть $' — другая кривая, связывающая й с й, близкая к й н подвергнутая разбиению точками Ео (= Ео=й) Ег ° °,кг(=йг=й) при чеч такими, что ег близка к ег для каждого К Рассмотрим элемент к =Чг(ко ут) Ч'(Ео уо) ° ° Чг (Е!-1 яг). Этот элвчент д может быть получен нэ в путем введения подходящих множителей и последующей свертки с другими множителями, составляющими е; например, вводя взаимно сонращающиеся множители Ч'(81 ЙЧ' (Е 'Ет) и Ч'(Е 'уо) Ч'(Е 'уо) соотвеоственно между первым и вторым множителями, а также между вторым и третьим множителями в я, мы обнаруживаем, что Ч'(у Вт! Ч'(уо йо) Ч'(у 'а.)=Р(8 ао). Таким образом видно, что я=я, т. е. что я не изменяется прн непрерывной деформации кривой й, если удерживать фиксированными концевые точки Гл.
?В. Гр лпыЛп !82 И и И. Наконец, в случае однссвязной группы б две любые кривые, связы. злющие И с И, гомотопны; следовательно, у зависит только от И и И, так что можно записать й=г рц И). Кроме того, й(ги,ги)=у(и, и) для любого ЕЕО, поснольку зто верно для каждого нз множителей Ч'(и дт+,), Отсюда следует, что отображение ф группы 6 в 6, задаваемое посредством ч' (и) = д (), е), является искомым расширением локального гомоморфизма Ч, так как при сложении привык в о получается, что ч' (Егйт) = г (!, Ед е (Ет, гтга) = Е (1, Ед е (1, аз).
?5.14. ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМАХ ДЛЯ ГРУПП ЛИ Теорема о гомоморфизмах для групп Ли отличается от соответствующей теоремы для абстрактных групп дополнительными топологическнмн аспектами. Подгруппа группы Ли 6 называется замкнутой, если ее элементы образуют замкнутое точечное множество в многообразии группы 6. Теорема 1. Ядро гомоморфизма Ч' группы Ли 6 на группу 6, гп, е, множество 6,=(дуб: Ч'(д)=1 (единица группы 6)), является замкнутой нормальной подгруппой 6, Согласно элементарной теории групп, ядро гомоморфизма представляет собой нормальную подгруппу, которая замкнута в силу непрерывности отображения ту: если (у!) — последовательность элементов в б„сходящаяся к й, то Ч" (д,) сходятся к Чг(Ь), но Ч'(д!)=1 для каждого з, откуда Чг(Й)=1, и, значит, й принадлежит 6,.
Две следующие теоремы показывают, что если б,— замкнутая подгруппа 6 (которая может как быть, так и не быть нормальной), то в 6 можно так выбрать логарифмические координаты, что они, будучи определены в б„будут логарифмическими координатамн в б„и тем самым 6, станет группой Ли со всеми присущими ей свойствами, а ее алгебра Ли будет подалгеброй алгебры Ли группы 6. Если й! д(!) (Он-.(~е) — любая гладкая кривая, выходящая из единицы (д(0) = !) и лежащая в подгруппе б„то касательный вектор к а в 1 называется касательным вектором к б, в 1.
Теорема 2. Пусть б,— замкнупигя подгруппа 6. Тогда множество Ле всех касательных векторов к 6, в 1 есть подалгебра алгебры Ли группы 6. Если 6, является нормальной подгруппой, то Ле — идеал. 2В.14. Теорема о еомоморфиамол длл срули «уп )вз Доклздтнльство. допустим, что ьЕЛ«. Тогда существует гладная нривая Е(!), лежащая в 6«и такая, что !и (е (г)) = х !+..., где многоточие означает членм порядка !' и выше.
Для любого патожитель- ного целого ш д (!1ш)и принадлежит 6« и, согласно формуле КБХ, !п (й (!1гл) и) = и !+..., где теперь многоточие означает члены порядка Р(ш и выше. Полагая гл ю, мы видим, что в силу аамннутссти множества 6« "и! является ноордннатой некоторой точки в 6«! позтому для Л~Л« е» принадлежит 6«. Пусть ь«~Лч н ь»~Л«; тогда по формуле КБХ зентор !и (е ' а»' ) =- ! (Х«+ )ьз) + «1«Р ()««, 3 «1+ ° ° ° является координатой некоторой точки в 6,.
Используя рассуждения, аналогичные проведенным выше, и рассматривая линейные члены разложения, мы устанавливаем, что и«+ь«~Л«н (в более общем виде) !Л«+зь«для веществеаных ! и з принадлежит Ла, таи что Л«является подпространством. Аналогичным образом при учете квадратичных членов устанавливается, что (ь«, ь«]~Л» и, значит, Л,— подалгабра. Наконец, в случае когда 6,— нормальная подгруппа, лишь один из элементов ь„'ьз должен принадлежать Л«, и мы видим, что Лз — идеал. Теперь ясно, как надо определить координаты в 6,.
Пусть а„ ..., е„ вЂ баз векторного пространства Л, такой, что е„ ..., е (я < и) является базисом Л,. Любой элемент ) представляется в виде Х 1««е, + ... +Хне„, и в таком случае Л«, ..., )ь» можно принять в качестве координат в б„ в подходящей окрестности единицы. Для того чтобы найти эту окрестность, допустим, что й( †окрестнос нуля в алгебре Ли Л группы б, в которой могут быть использованы логарифмические координаты.
Тогда пересечение Лг П Л, представляет собой открытое множество в Л, и, следовательно, содержит окрестность Ж, (гвязное открытое множество) нуля в Л,. Множество Т1, в группе б„задаваемое как 6«=(йс ба: 1пдс Л'«) и отображение «р,(л) =(Х«, ..., )ь») множества У, в «т» определяют некоторую карту (бч, «р„Л«е) в 6,. Она и другие карты, полученные при помощи трансляций в б„как это описано в й 25.11, называются унаследованными (от 6). Таким образом, мы приходим к следующей теореме. Теорема 3.
Если б,— замкнутая подгруппа 6, а Л и Л, имеют описанный выше смысл, та 6, со своими унаследованными картами представляет собой группу Ли, а Л,— ее алгебру Ли. В следующих двух теоремах устанавливается, что если б,— замкнутая нормальная подгруппа, то факторгруппа 616« может быть снабжена такой структурой многообразия, которая делает ее группой Ли; алгебра Ли этой группы изоморфна Л)Л,; естественный Гл. 25. Группа Ли гомоморфизм 6 на 6/6ч аналитичен по отношению к указанной структуре многообразия. Последняя из теорем данного параграфа представляет собой собственно теорему о гомоморфизмах.
Нетрудно видеть, что последние и — я компонент кл+, ..., к" вектора ) относительно базиса г„..., з„, описанного выше, можно принять в качестве координат в 6~6„ибо они постоянны в каждом смежном классе (группы 6„в 6) нли, точнее, в пересечении смежного класса и подходящей окрестности У единицы в 6, в которой могут быть использованы логарифмические координаты. В самом деле, если е"'=г'еч, где )лЕЛ„так что еь' и е~ находятся в одном смежном классе, то, согласно формуле КБХ, ),'=к+ и+'),()., м]+...; все члены правой части начиная с )с принадлежат Л„поскольку Л, является идеалом; поэтому ).' и л. имеют одни и те же последние и — и компонент.
Ясно также, что эти последние компоненты различны (по крайней мере одна из них) для различных смежных классов. В этих координатах функции умножения и обращения, ш(, ) н 1( ), в 6)6, непрерывны (фактически аналитичны). Для любого произведения в~ем=ем в 6 все п компонент вектора )." непрерывно зависят от всех компонент векторов 3. и ).', следовательно, в частности, это верно и для последних п — й компонент, которые являются координатами соответствующих смежных классов. Естественный гомоморфизм 6 на 6!6„ при котором элемент группы е" отображается на смежный класс, представителем которого он является, непрерывно зависит от этих координат, ибо данное отображение заключается просто в игнорировании первых А компонент вектора ).. Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 4. л(опустим, юпо 6, 6„ Л, Л„ е„ ..., е„, )',..., Х" таковы, как описано выше. Тогда Хл+',..., )" можно взять в качестве координат ~р(й) (д обозначает смежный класс) в подмножестве Е7 группы 6/6, (состояи(ем из смежных классов, которые пересекаются с окрестностью У в 6), таким образом определив карту, благодаря чему 6!6, становится (и — и)-мерной группой Ди, называемой факторгруппой Ли (она также обозначается через 6/6,) группы 6 по отношению к 6,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
