Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Алгебра Ли, полученная нз группы, является вещественной. Алгебра Ли в общем случае не только некоммутативна, но н неассоциативна; иначе говоря, в общем случае [А, [)4, о]] ~ [[1., 14], о]; она не имеет единичного элемента, потому что [А, Ц= О для любою А в силу антисимметрни произведения [5., 14]. Можно полностью описать и-мерную алгебру Ли, выбрав в ней базис е„., е„(множество и линейно независимых векторов), а затем задав и' структурных постоянных С,'4 (разумеется, не все они являются независимыми), определяемых как [е1, еи]=С',вео (25А.
!) 35.5. АЛГЕБРЫ ЛИ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП как зто делалось в 9 25.3 для функции й (1) в многообразии абстрактной группы. После выполнения умножений линейные члены взаимно уничтожаются. Квадратичные члены в К(1) получаются из непостоянных членов не более чем в двух множителях, в то время как в остальных множителях берется 1.
Все квадратичные члены, получающиеся от А (1)А (1) ' и от В(1)В(1) ', взаимно уничтожаются, так что в выражении остаются лишь те квадратичные члены, которые появились в результате умножения линейного члена от А (1) Пусть 6 — группа матриц 1., М, ... размера (тхт), т. е, подгруппа группы 6Е(т, к) или группы 61,(т, 6). Тогда ее алгебра Ли может быть реализована в виде алгебры Ли матриц размера тхт. Выходящая нз 1 кривая имеет вид А(1)=1+1Е-)-...; матрицы Е, получаемые таким образом, образуют векторное пространство Л размерности, не превышающей 2т'. Чтобы найти произведение Ли в Л, положим, что В(1)=14-1М+...— другая выходящая из 1 кривая, и определим К (1) = А (1) В (1)А (1) ' В (1) ' = =(1+1Е4- ° )(1+ 1М+...)(1 — 1Е+...)(1 — 1М+...), (25.5.!) Гз. 25. Груипы ди 160 илн А (/) ' на линейный член от В(/) или В(1) '. Поэтому /((/)=7+0(УМ вЂ” МЕ)+....
(25.5.2) Тогда, согласно определению произведения Ли [см. (25.3.2) и (25;3.4)1, 11,, М)=1,М вЂ” Мг,. (25.5.3) Этот результат иллюстрирует общее правило, заключающееся в том, что любую ассоциативную алгебру можно сделать алгеброй Ли, если положить 1Х, р~= Хр — /гХ, где через Хр и )гХ обозначены произведения в исходной ассоциативной алгебре.
Матрицы, подобные описанным выше В и М, в гл. 20 были названы инфинитезимальными элементами группы; они имели вид й=г/А(/фЖ),=, и т. д., и было показано, что для трехмерной группы 50(3) в качестве инфинитезимальных элементов можно принять матрицы е, ° 00 — 1, е,= 000, е, 1 00 причем эти матрицы удовлетворяют соотношениям ~ео е Д = еь (1 / /г = ! 2 3, 2 3 1, 3 1 2), В гл. 22 было показано, что для группы Я/(2), которая также трехмерна, в качестве инфинитезимальных элементов можно взять матрицы ! /' 0 — 1') ! /гΠ— 1'1 ! г — 1 0'~ 2~ — 1 О/' Ч' 2~1 О/' Ч' 2( 0 1//' и эти матрицы удовлетворяют тем же соотношениям, что и е,, а именно '!' Ч/]=Чь (! /'й=! 23, 231, 312).
Согласно (25.4.1), эти соотношения полностью определяют структуру соответствующей алгебры Лн. Поэтому если через Л, и Л, обозначить алгебры Ли соответственно групп 30(3) и 5(/(2), то линейное отображение Л, на Л„индуцируемое посредством е,— м~, (/=1, 2, 3), является изоморфязмом. Если трактовать Л, и Л, как абстрактные алгебры Ли, то онн тождественны, тогда как соответствующие им группы не являются таковыми. Как будет видно позднее, нзо. морфизм алгебр индуцирует взаимно однозначное отображение групп только в окрестности единицы. В таком локальном смысле это отображение является изоморфизмом, но, будучи расширено глобально, оно становится (2- !)-гомоморфизмом группы 5(/(2) иа группу 50(3), который был рассмотрен в $19.7. 26.6. Экспоненциалоное отображение. Логарифмические коордпнати 161 Заметим, что Л, и Л, являются вещественными алгебрами Ли.
Хотя матрицы т(„Ч„Т1, и комплексны, Л, состоит из линейных комбинаций этих матриц с вещественными коэффициентами. тз.а. экспОненциальнОБ ОтОБРАжение. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Мы ищем кривую д(1) в группе б, такую, что к (1 + ) = к (1) к (з)' (25.6.1) точки этой кривой образуют одномерную абелеву подгруппу; у(0) есть 1 группы О. Соответствующая кривая х(1)=~р(д(1)) проходит через начало координат координатного пространства кп и удовлетворяет уравнению хс (Г + в) = те (к (1), х (в)). (25.6.2) Взяв от этого уравнения с(Гг(в и положив затем в=О, получим х'(1)=у1(х(г), 0))г, (25.6.3) где д,'(, .) определяется как у)(х, у) =дт'(х, у)/ду/ (25.6.4) и принадлежит классу С', а гд (1=1, ..., п) — компоненты касательного вектора г. к х(г) в Г=О.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (25.6.3) при начальном условии х(О) =0 имеет для данного А единственное решение х (г) в некоторой окрестности 1=0, Из вида (25.6.3) ясно, что решение зависит от 1. и 1 только через комбинацию Гг.; поэтому мы можем записать решение как х (Г, 1.) = Х (ге,).
Соответствующая кривая д (Г) в 6 обозначается через ехр (ГЛ) нли е'" в силу уравнения (25.6.1), которое теперь принимает вид е"'" ' = е'"е'"; следовательно, Х(гг) =гр(ег~). Это обобщает определение экспоненциальной функции абстрактным образом до отображения алгебры Ли Л на группу Ли 6, но, в случае когда элементами О и Л являются матрицы, зто определение согласуется с обычным.
Функция Х( ] принадлежит классу С'. До сих пор уравнение (25.6.1) использовалось только для таких з, которые принадлежат малой окрестности нуля, но теперь будет показано, что это функциональное уравнение или, что тоже самое, уравнение (25.6.2) справедливо для всех 1 и всех э. Теорема. Решение х(Г) уравнения (25.6.3) удовлетворяет уравнению (25.6.2) для всех Г и в, таких, что х(1), х(в) и х(1+6) определены. Замечание 1. Зто утверждение ие следует очевидным образом из одного только вида уравнений (25.6.2) и (25.6.3), потому что, !62 Гл.
25. Груням Ли как будет видно, в доказательстве придется использовать ассоциативный закон группового умножения. Замечание 2. Коль скоро функциональное уравнение д((+з)ич я(!)д(з) было установлено для (, з и )+з в интервале ( — Т, Т), само уравнение затем можно использовать для определения д()) при ! из интервала ( — 2Т, 2Т), затем при ! из ( — 4Т, 4Т) и т. д. Вследствие этого й (!) однозначно определено для всех ! и удовлетворяет функциональному уравнению для всех ! и з — детали предоставляем читателю. Замечание 3.
Если 6 — группа матриц, так что элементы Х алгебры Л являются также матрицами, то соответствующее уравнение ах нем=ах'аю (25.6.5) обычно устанавливается следующим образом. Матрица )з (з) =- (ем) ' е" "+ ", рассматриваемая как функция от з, удовлетворяет тому же самому дифференциальному уравнению и тому же начальному условию, что и функция ех', а именно г!)ь (з)7г(з = )з (з) 2„)т (0) = !'; поскольку решение этой задачи с начальными данными единственно, отсюда следует, что (ем) 'еьп+н е'", что эквивалентно (25.6.5). Это рассуждение приведено в качестве модели помещенного ниже доказательства для абстрактного случая. Доклзлтяльство творимы.
Будет показано, что функция у(з)=ш(1(х(!)), х(г+з)), (25.6.6) являющаяся координатой элемента группы д (0 тл((+з), удовлетворяет тому же самому дифференциальному уравнению (25.6.3) и тому же начальному условию, что и функция х(з), которая является координатой элемента группы я (з); поскольку решение этой задачи с начальными данными единственно, отсюда последует, что д(з)=л(!)-тл(г+з);поэтому я(г+и) =л(!) л(з), что и требовалась доказать. То, что функция у(з) удовлетворяе~ начальному условию у(0)=0, следует нэ равенства д(!)-тл(!)=ц Дифференцирование (25.6.6) по з и подстановка выражения, подобного (25,6.3), для х7(!+з) дают рт (3) О! (! (х (!)), х (г+ з)) Оь (х (!+3), 0) Хз.
(25.6.7) Теперь буде~ показано, что полный коэффициент при ьз в правой части этого уравнения равен аз!(у(з), О), так что у(з) удовлетворяет тому же уравнению (25,6.3), что и х(з). Для этого воспользуемся законом ассоциативности группового умножения в сведующей форме: гл! (у (з) а) =л!! 0п (! (х (0), х (!+а)) и) = = лю! (1 (х (!)), гп (х (! + з), х)); (25,6,6) 25.7.
Лемма о внутренних автомарфпэмах. Отображение Абн [63 это эквивалентно равенству [е(!)"те(!+э)[д=е(!) т[я(!+э)д). Диффереипироваиие по аа дает Ч' (у (4, а) = д,'. (! (х (!)), т (х (т+ з), х)) у~ (х (т+ э), х), поэтому да~ (у (3), 0) =у1 (! (х (0), х (!+ э)) ч 1 (х (!+ 5), О), так что у(з) и х(э) удовлетворяют одному и тому же уравнению, и теорема доказана.
Для 1=1 мы имеем Х (Х) = ~р (ех), Кроме того, при Х=О якобиан с1е1 (дХт)д).У) = т[е1 (е)( (Х, О)) отличен от нуля, так как ф(0, О) б,'. Поэтому функция Х(Х) имеет обратную функцию в некоторой окрестности начала координат, и компоненты вектора Х можно взять в качестве новых координат, называемых логарифмическими пли нормальными координатами элемента д=е" группы в некоторой окрестности единицы в 6. Можно также писать ).=1пп.
Отображение (в общем случае переводящее много элементов в один) Х вЂ” ех алгебры Ли Л в группу Лн б называется экспоненэ[иальным отображением. Компоненты данного вектора Х зависят, разумеется, от выбора координатной системы (К !р, Л'), но преобразуются как компоненты вектора, так что каждый элемент алгебры Л (вектор) отображается в единственный элемент группы. Дэ.У. ЛЕММА О ВНУТРЕННИХ АВТОМОРФИЭМАХ. ОТОБРАЖЕНИИ Аби Доказываемая ниже лемма нужна в качестве части аналитического аппарата для доказательства теоремы Кэмпбелла — Бейкера— Хаусдорфа, но представляет также и самостоятельный интерес.
Как и в гл. 21, гомоморфизм группы 6 (абстрактной или нет) на группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства к' называется предтителенигм группы б на у'. Если этот гомоморфизм является взаимно однозначным (т. е, изоморфнзмом), то представление называется точным. Если бы каждая группа Ли имела точное представление на коиечномерном пространстве, то вся теория свелась бы к операциям над матрицами. Хотя это и не так, но любая односвязная группа имеет частное представление (вообще говоря, не являющееся точным) — это так называемое присоединенное представление, которое будет описано в конце данного параграфа.
Замечание. У читателя может возникнуть желание пропустить доказательства в этом и в следующих трех параграфах. Однако Гл. 25. Группы Лп приведенные определения и формулировки лемм и теорем необхо- димы для дальнейшего. Если е" — фиксированный элемент группы, то отображение а — енде " есть внутренний автоморфизм группы б (см. 2 18.10); он индуцирует линейное отображение алгебры Л в себя, которое мы и обсудим. Прежде всего, если )з — фиксированный элемент алгебры Л, то линейное преобразование Л в себя, определяемое посредством Л- [)з, Ц, обозначается через Аг(н. Относительно базиса в Л это преобразование представляется некоторой матрицей размера п х и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
