Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 29
Текст из файла (страница 29)
а) ь1 ) Иначе говоря, ар называется пвкрытием, если существует покрытие многообразия ЛГ набором правильных (отиосительио ар) окрестностей (йооб пе1йььогйоодз, по терминологии автора). — Прим. перев, 24нп Определение и примери Пусть М вЂ” риманова поверхность произвольной алгебраической функции Е (г), все точки ветвления которой исключены, М— комплексная плоскость с исключенными соответствующими точками, а ф — отображение, переводящее любую точку из М в точку М, лежащую непосредственно под ней (т. е. в точку, связанную с тем же значением г); тогда ф — накрытие М многообразием еИ. Для произвольной точки РЕМ найдется некоторая окрестность У, которая односвязна и не содержит никаких точек ветвления функции г" (г). Если построить прямой цилиндр с основанием У, то этот цилиндр пересечет каждый лист рнмановой поверхности по окрестности се', которая выглядит в точности как У.
Следовательно, У вЂ правильн окрестность. Заданное многообразие М может иметь много различных накрывающих многообразий ее! и много различных накрытий заданным )И. Если М вЂ” единичная окружность (г ~= ! на г-плоскости, то М можно накрыть либо вещественной прямой Я=И при помощи отображения х— — г=е™ (можно представить себе, что М намотана бесконечное число раз на окружность М), либо окружностью М: (гв(=! на щ-плоскости и и,' и,' Рис. 24.3.
Рис. 24.2. при помощи любого отображения вида м г = гии, где п— произвольное целое число, отличное от нуля (можно представить себе, что М растянута и намотана л раз на окружность М). Рассмотрим отображение ф плоскости иа цилиндр, задаваемое равенствами г=х и 6 у, где х, у — декартовы координаты на плоскости, а г, 0 — цилиндрические координаты на цилиндре.
Зто отображение переводит много точек в одну точку, поскольку все точки (х, у), (х, у~2л), (х, у~4л) и т. д. отображаются в одну и ту же точку цилиндра. Прообраз окрестности, которая, подобно 0 на рис. 24.2, не опоясывает цилиндра, состоит из бесконечной последовательности окрестностей 0~ на плоскости, полученных смещением каждой из них по горизонтали на расстояния 4-2л, -ь4л и т. д., как на рис. 24.3. Каждая 0~ гомеоморфна 0; следовательно, ее' †правильн окрестность. С другой стороны, окрестность типа У на рис. 24.2, представляющая собой полосу, опоясывающую цилиндр, не может быть правильной, потому что ее прообраз является бесконечной полосой на Гл.
24. Накрмэоюивн мноеооброэил плоскости, отображаемой при помощи ф на У не взаимно одно- значно. УпРАжнение Рассмотрите различные возможные накрытия тора плоскостью, пплпнлром, другим тором. Если М и й( суть С»-многообразия, то отображение ф должно быть С»-гладким, т. е. если ф отображает Р на 9 ф(Р), !1— правильная окрестность 9, П вЂ” компонента ф э(К), содержащая Р, х', ..., х" †координа Р в К у', ..., у" †координа 1;! в !1, то х' являются функциями класса С» от у', и наоборот.
(Почти во всех представляющих интерес случаях М и й( — аналитические многообразия, и эти функции являются аналитическими.) Если накрытие ф оказывается взаимно однозначным соответствием, так что М н 1зг накрывают друг друга, то ф называется (С"-) гомеоморфизмом, а многообразия называются гомеоморфными; топологически они неразличимы. В случае Й= оо гомеоморфизм иногда называют диффеоморфизмом. 24.2. ПРИНЦИПЫ ПОДНЯТИЯ Если накрывакицее многообразие М связно, то и пг обязательно также связно. Обратное, конечно, неверно, однако здесь будут рассматриваться только связные многообразия.
Если М односвязно (подобно прямой или плоскости в предыдущих примерах), то, согласно следующей ниже теореме, оно оказывается наибольшим из всех связных многообразий, которые накрывают данное многообразие й(, Нам потребуются две леммы. Лемма 1 (первый принцип поднятия). Предположим, что многообразие М„накрывает многообразие М, проекцией ф. Пусть В,— произвольная отмеченная точка М,. Из всех точек Р Е М„ таких, что ф(Р)=В„выберем одну и назовем ее отмеченной точкой В; в М,. (См. рис.
24.5 в следующем параграфе, где, однако, добавлено третье многообразие в связи с теоремой, которая будет доказана ниже.) Пусть вэ — путь в М„описываемый непрерывной функцией Р,(1) (0(1(1) и начинающийся в отмеченной точке В,. Тогда имеется только один путь и';: Рэ (1) Е М, гпакой, что Р, (О) В, и ф(Р,(1))=Рэ(1). Говорят, что путь 'ьэ поднят в М из М,. Доклз»тельство. В определении накрытия отмечалось, что окрестность Б~ Лгэ нээывэетсэ лрпэильлоа, если отоарэжеппе ф оказывается гомеоморфпзмом каждой компоненты ф-э(11) нэ 11.
Длп произвольного подыптервэлэ 1 ~ [О, !1 обоэнэчпм через Ро (1) отрезок пути ~йэ: Р В) (Рэ(1): 16 1) 24.2. Принципы поднятия Разбиение [О, Ц на замкнупзе подынтервзлы (О, 1д[, [1ы 1з), ..., [1н „Ц называется лразильнмл разбиением, если каждый отрезок Рд ([11, 11+![) пути 5е лежит в какой-то правильной окрестности, Правильное разбиение сушествует потому, что каждая точка $з лежит в некоторой правильной окрестности; следовательно, наждое 1 из [О, Ц лежит в некотором открытом подынтерзале 1, таком, что отрезок пути Р, (1) находится в правильной окрестности. Эти открытые интервалы покрывают [О, Ц, а по теореме Гейне — Бореля среди них имеется конечное число интервалов, покрывающих [О, Ц.
Упора. дочим их в порядке возрастания 1, а затем выберем какое-нибудь 1, из пе- 0 г, г, Рис. 24.4. ресечения первого и второго подынтервалов, 1, из пересечения второго и третьего подынтервалов и т. д. (см. рис. 24.4). Эти точки и дают правильное разбиение. Обозначим через П1 правильную окрестность, содержащую отрезок пути Ре ([1» 12+г]). Для каждого 1=0, [, ..., д! — ! определим (индуктивно) отрезок Р, ([11, 11+э)) пути $т —— (Рз (1): Оч~г~ !) в верхнем многообразии Мп Вна1але возьмем Уз — компоненту ф-х(Пз), содержащую отмеченную точку В, из М„и определим Р,([0, 1,]) как ф х(Р, ([О, гд])), где зр — ограничение на У,; зр есть гомеоморфизм Уз на П,; следовательно, так определенное ,([О, 1,)) представляет собой отрезок пути в Мо Теперь предположим, что Р, ([11, 11е,]) уже определено; тогда Р,(12чд лежит как в Пу+г, так и в ПР В качестве У ь, можно взять ту компоненту тр-! (Пг+г), которая содержит концевую точку Р, (1 +т) ранее определенного отрезка аг! тогда отрезок Р, ([11+,, 11+э]) определяется как ф-"(Рз([11е! 12+э])), гДе тепсРь ф — огРаничение ф на У1+г.
Таким обРазом и бУдет построен весь путь Бг на М,. Он однозначно определяется кривой ®з в нижнем многообразии и выбором отмеченной точки В, в верхнем многообразии; в частности, он не зависит от выбора правильного разбиения (О, Ц, потому что любые два разбиения имеют общее измельчение, а йх, очевидно, не меняется при измельчении используемого разбиения (т. е. при добавлении дополнительных точек подразбиения [О, Ц). Каждый иэ путей $з и $'г однозначно определяет другой. Лемма 2 (второй принцип поднятия). Если выполнены условия леммы ) и если Р,(1, з) — непрерывная функция двух переменных, определенная на квадрате 0(1,з(1 и отображающая еео в М„а Р,(1„в,) для некоторых 1, и з, совпадает с отмеченной точкой В„то существует единственная непрерывная функция Р, (1, з) в Мд, такая, что ([) зР (Р, (1, з))= Р, (1, з) и (2) Р, (1„з,)— отмеченная точка В» Е М1.
Докдзлткльство аналогично доказательству леммы !. Теорема Гейне— Бореля обеспечивает существование конечного набора открытых множеств на (1, з)-плоскости, покрывающих квадрат 0~1, з~! и определяющих при этом правильные окрестнссти. Затем эти множества упорядочиваются так, чтобы каждое последующее содержало точки пересечения хотя бы с одним из предыдущих множеств. После этого следуют те же рассуждения, что и прн доказательстве леммы 1, 140 Г*.
24. Накрывающие многообразия Следствие з). Если два пути Ж, и в"; на нижнем многообразии, идущие из Вз в некоторую стачку А„гомотопны, т. е. если один из них может быть непрерывно деформирован в М, в другой с сохранением неподвижности концевых точек, пто пути, получающиеся при их поднятии в Мт, также имеют общую концевую точку А; и вомотопны в М,. гтлвносок докдзлтвльствл, пусть функция Р, (г, з) из леммы 2 такова, что для каждого з из (О, 1) Р,(1, з) описывает путь от Вз до А» при изменении Г от 0 до 1, причем для з=О этот путь совпадает с ве, а для з=1— с ве Из соображений непрерывности, связанных с правильной окрестностью точки Ае, следует показать, что конечная точка поднятого пути Р,(С з) не может при изменении з перескакивать с одного листа М, на другой. 34.3.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЕ В 4 24.5 будет доказано, что для любого многообразия М, существует односвязное многообразие, накрывающее его. Это мно. гообразие называют универсальным накрывающим многообразием многообразия М„поскольку, по доказанной ниже теореме, (1) универсальное накрывающее многообразие заданного М, единственно (с точностью до гомеоморфизма) и (2) оио накрывает любое другое многообразие, накрывающее М,. Доказательство существования откладывается до 9 24.5, так как оно несколько труднее для понимания, нежели доказательство следующей теоремы. Теорема.
Если Мх и М,— связные накрывающие многообразия для М, и М, односвязно, то М, накрывает М,. Если и Мх односвязно, то М, и М, гомеоморфны, т. е. топологически неразличимы. Доказательство. Пусть»р»» и»рзз — проекции Мт и Мз соответственно на М,. Построим проеккию фю многообразия М, на М» так, что»р»»ф»»=фз. Выберем некоторые отмеченные точки Вю В„В, в этих многообразиях тзк, чтобы тузе (В») =фи (В») =Во (см. рис. 24.5). Чтобы описать фзы нужно для каждой точки О»ЕМ» указать точку фз»(О») в М,, что будет сделано следующим образом.
Пусть $» — путь Рз(() в Мз, идущий из В, в О» (т. е. Р,(О) =Вз, Р, (!)=17»). тогда проекцией и» на мз служит йуть Р,(г) = =»Рве(Р»(1)) нз Ва в чз (замечание. Ре может иметь самопересечения, даже если их не имеет Вз. Например, на рис. 24.6 Вз — путь на плоскости, а Ве получается при наматывании плоскости на цилиндр.) Отображение »рте', вообще говоря, многозначно, но в силу первого принципа поднятия существует единственный путь Р»: Р=Р,(Г) в М,, начинающийся в отмеченной точке В, и такой, что»ры (и",)= из.
Теперь утверждается, что конец ()»=Р, (1) пути в, однозначно определяется концом Оз пути и» на верхнем многообразии М,, Чтобы доказать это, возьмем какой-нибудь другой путь в, в М„идущий из т) утверждение такого рода носит название »теорема о накрывающей гомотопии» (см., например, Рохлин, Фукс (1977), а также Борисович и лр. (1980)). — )7рам. перез.
)42 Гл. 24, йакрыаоюаиие многообразия Ва в ага. посколькУ ма односвЯзно, ва и 0а гомотопны и могУт быть дефоР- мированы непрерывно один в другой. Позтому н их образы бо я $'„в Мо также гомотопны, и, по следствию леммы 2, пути в, и в'„получающиеся поднятием ва и во в Мы имеют общий конец фы который и есть по определению фад (ааа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
