Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рис. 23Л2. Та же фундаментальная группа получается для области типа восьмерки, заштрихованной на рис. 23.!2. Если из плоскости удаляется и рззличиых точек, то получается фундаментальная группа, нзоморфная свободной группе с л образующими. 5. Пусть М вЂ” многообразие группы вращений 50(3). В ф 19.6 в М были введены внутренние координаты как три компоненты вектора О, который лежит в шаре К=(0: ~',9))е и) координатного пространства. Если отождествить противоположные концы каждого диаметра К (т. е.
рассматривать их как одну и ту же точку), то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками М и точками К. Чтобы получить нетривиальный элемент группы я, (М), нужно взять в качестве отмеченной точки В центр шара К, а затем рассмотреть путь щ", который проходит от В вдоль радиуса к точке А на поверхности К, «перескакивает» в диаметрально протнвоположную точку А', а затем возвращается вдоль радиуса в В, как показано на рнс. 23.13.
Этот путь щ нельзя стянуть в В при помощи непрерывной деформации, потому что а) любой путь, начинающийся и кончающинся в В нсовершающий такого рода скачки, имеет общую длину (в К) не меньше 2я; б) из соображений непрерывности интуитивно ясно, что непрерывная деформация не может уничтожать эти скачки. (Точнее это будет обосновано в следующей главе.) Рассмотрим теперь путь 5, который начинается в В н возвращается в В после конечного числа таких скачков, скажем из Ад в А„нз А, в Аз и т. д., где в каждом случае штрих обозначает диаметрально противоположную точку.
Посредством непрерывной деформации последовательные скачки могут быть уничтожены по два за раз. Рассмотрим некоторый участок 5, содержащий два последовательных скачка (см. рис. 23.14, где этот участок состоит из частей РА,, А,А, н Аз0). Сдвигая путь А,А, к поверхности К и одновременно рисуя точки А, и А~ (а также А, и Аз) как одну, участок А,А, пути можно уничтожить, а остаток будет похож на штриховую кривую, проходящую нз Р в 0 без скачка. Продолжая эту процедуру, путь 5 можно либо стянуть в отмеченную точку В, если первоначзльно было четное число скачков, либо свести к пути с единственным скачком, если первоначально было нечетное число скачков. Следовательно, группа пг (50(3)) изоморфна циклической группе порядка 2, состоящей только нз двух элементов. Если первоначально путь 5 содержал Гл. 28.
Элементарная яморая многообразий 132 бесконечное число скачков, то многие из этих скачков были бы очень близки друг к другу, так что между ними значение !В! оставалось бы близким к и, а непрерывная деформация приводила бы к пути с конечным числом скачков. Эти результаты проще н строже будут получены в следующей главе посредством накрытия Ю (3) многообразием ЭУ (2).
Рис, 23.13. Не нуль-гомотопный путь на многообразии группы ЭО(3) . Рис. 23.14. Гомотопные пути из Р в 0 на многообразии группы ЭО(3). Следует отметить, что знание фундаментальной группы еще не позволяет полностью определить глобальную топологию многообразия. Например, сфера х'+уз+а'=1 и круг ха+уз(1 являются односвязными двумерными многообразиями, но топологически они различны: если удалить одну точку, то сфера останется односвязным многообразием (в отличие от круга). По этой причине может возникнуть искушение ввести также высшие гомотопические группы (см.
Хокинг и Янг !1961, гл. 4!) или другие топологические характеристики. Однако оказывается, что первая гомотопическая группа, т. е. фундаментальная группа,— это именно то, что нужно для многих целей, скажем в теории накрытия одного многообразия другим, которая является предметом следующей главы. В гл. 27 будет показано, что фундаментальная группа многообразия группы Ли всегда абелева (коммутативна). 23.6. мехдкичесние сВязи.
ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Любую конфигурацию двойного маятника, схема которого приведена на рис. 23.15, можно определить значениями двух углов а н р, Для любых целых чисел й и ! пара чисел (а+2пд, р+2п!) представляет ту же конфигурацию, что и (а, р). Поэтому, согласно примеру 3 из предыдущего параграфа, между конфигурациями маятника и точками тора существует такое взаимно однозначное соответствие, что при колебании маятника соответствующая точка движется по тору непрерывно. 28.8. я1вланиевскив связи. Декартовы нроиммдвния Если вторая ось вращения перпендикулярна основной оси вращения, как на рис. 23.16, то конец второго маятника движется по обычному тору в пространетве.
В любом случае каждая точка маятника движется по окружности вокруг соответствующей оси вращения, а в общем движении объединяются оба этих круговых движения. В соответствии с этим тор рассматривается как декартово произведение двух окружностей. В общем случае, когда М и М' — любые два мно- Основная ось Основная ось торая сь рвя Рис, 23Д6. Двойной маятник е перпендикулярными осями. Рис. 26.16. Двойной маятник с па- раллельными осями. гообразия размерностей п и и', их декартово произведение МмМ' есть (п+и')-мерное многообразие, определенное следующим образом. (1) Каждая точка Мх М' — упорядоченная пара (Р, Р'), где Р и Р' — произвольные точки М и М' соответственно. Иначе говоря, МхМ' как множество является декартовым произведением М и М' в смысле теории множеств. (2) Если (ст, ср, У) и ф', ср', Ф') — произвольные карты на М н М' соответственно, то карта 1У", ~р", У") на Мх М' определяется так: У" — множество всех точек (Р, Р'), где РЕК Р'Е 0', а <р" ((Р, Р')) есть (п+п')-мерный вектор, компонентами которого являются компоненты векторов «р(Р) и ~р'(Р'), т.
е. ( ср,(Р), 1=1, ..., п, ( ср я(Р'), (=я+1, ..., п+и'. Очевидно, что такое определение превращает Мх М' в многообразие. Если оси вращения двойного маятника заменить идеализированными шаровыми шарнирами, то пространство конфигураций оказывается декартовым произведением двух двумерных сфер и Гл. 28. Эяеменаарноя теория мнотоброзий поэтому четырехмерным многообразием. (Мы пренебрегаем вращением звеньев вокруг собственных продольных осей.) Наконец, если маленький шарик катается внутри полой сферы, ие выходя из постоянного контакта с ней, то в качестве пространства конфигураций получается декартово произведение сферы и многообразия 50(З), т.
е. пятимерное многообразие. Ясно, что такого рода примеров можно построить сколько угодно. Глава 24 НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ Локальный гомеоморфизм; прпенцня; р-лис«нее нвнрытие; правильная окре. стнсстзк принципы поДнятия; универсальное неирывеюпь«Е мНОгоОбразие; построение математических мсделей; многообразия, нннрываемые денным многообрезием.
Предварительные сведения: гл. 23 и частично гл, !8 и 19, ?4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ (2- ))-отображение ф группы 5(7(2) на группу Ю(3), описанное в 9 !9.7, не просто групповой гомеоморфизм; оно является таким отображением многообразия Яl (2) на многообразие 50(3), которое называют накрытием. Это отображение — локальный гомеоморфизм в том смысле, что для любой точки Р многообразия 5(7(2) найдется такая ее окрестность, которая гомеоморфно отображается при помощи ф в некоторую окрестность образа точки Р в многообразии 50(3).
Более того, для произвольной точки 0 второго многообразия всегда найдутся две такие точки Р первого многообразия, что каждая нз них имеет подобную же окрестность, Отображение ф является двулистным накрытием многообразия Ю (3) многообразием Я/ (2). Отображение зр: М вЂ” Ги многообразия М в многообразие й1 (зги многообразия будут называться далее «верхним» и «нижиим» многообразиями соответственно) называется накрытием многообразия Ф многообразием М, если оно удовлетворяет двум требованиям, из которых первое утверждает, что накрывается все й(, а второе объясняет, как именно оно накрывается.
Эти требования таковы: (а) зр — отображение на й(, т. е. для любой точки 0 нижнего многообразия (й() найдется хотя бы одна точка Р верхнего многообразия (М), такая, что ф(Р)=(е; (б) любая точка 0 нижнего многообразия содержится в некоторой окрестности У, прообраз ф 1(У) которой (т. е. множество всех точек верхнего многообразия, отображаемых в точки У) состоит из одной или более непересекающихся окрестностей Г7„17„...
или компонент (по одной из каждого «листа» в М), каждая из которых гомеоморфна У, т. е. для каждого 1 отображение Р- ф(Р), ограниченное на Г7,, является взаимно однозначным бинепрерывным отображением Г7 на У. Окрестность У в нижнем многообразии, Г*. 24. Накрылаилмав многообразии обладающая такими свойствами, называется нами правильной окрестностью '). (Отображение называется бинепрерыеным, если и оно само, и обратное ему отображение непрерывны.) Если х',... , хв — координаты Р в окрестности сгг в М, а у',..., дав координаты соответствующей точки ар(Р) в окрестности Р в йг, то х' являются непрерывными функциями от уг (и наоборот) на всех соответствующих окрестностях. Очевидно, что размерности М и ая должны совпадать.
Если такое отображение тр существует, то М называется накрывающим многообразием многообразия Гт1, а ф — накрытием многообразия йг' многообразием М или проекцией М иа Ф. Если многообразия связны, то кратность накрытия (т. е. число точек М, отображаемых в одну точку в й)) постоянна всюду, потому что это число (положительное целое или +оо), очевидно, постоянно в любой окрестности и, следовательно, постоянно всюду на М и Гтг. Если кратность равна р, то отображение тр называется р-лнстным накрытием. Если М и йг' — многообразия класса Си, то требуется, чтобы х' как функции уг также были бы Сь-гладкими, т. е.
чтобы ар было отображением класса С". Замечание. Следующий одномерный пример показывает, что если просто потребовать, чтобы каждая точка Р верхнего мно- Рис. 24.1. гообразия М имела окрестность, отображаемую гомеоморфно на окрестность в нижнем многообразии М, то это не будет эквивалентно указанному в определении требованию. Пусть йг' — единичная окружность на плоскости, а М вЂ” открытый интервал длины более 2п, намотанный на эту окружность. Тогда точки а и Ь в йг', лежащие под концами М (рис. 24.1), не удовлетворяют условиям определения, хотя, поскольку М открыто, каждая еео точка имеет окрестность, гомеоморфно отображаемую в йг'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
