Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е, множество точек, находящихся севернее заданной параллели, является открытым множеством в М, но не является таковым в и'. Замечание. Любая компонента М, очевидно, сама является многообразием. 23.7. ГЛОБАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ. ГОМОТОПНЫЕ ПУТИ. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА В оставшейся части этой главы рассматриваются только связные многообразия. Два пути 6, и 6, на многообразии М, имеющие одну и ту же начальную Р, и одну и ту же конечную Р, точки, называются ао,иотопными, если один нз них можно непрерывно деформировать в другой (оставаясь в М), т.
е, если найдется такая непрерывная функция Р(1, з) (О(1,з(1), что для каждого фиксированного зЕ~О, 1) Р(1, з) проходит некоторый путь ог Р, до Р,, когда 1 пробегает все значения от О до 1, причем Гл. 2З. Эзгмгнгнарнан гонория многообразий !26 этот путь при з=О совпадает с й„а при з=! с и',. Как уже говорилось в 2 19.5, многообразие односвязно, если любые пути на нем, имеющие одни н те же начальные и конечные точки„ гомотопн ы.
Ясно, что гомотопия является отношением эквивалентности (она рефлексивна, симметрична н транзитивна), поэтому для заданных начальной и конечной точек Р, и Р, множество всех Р Р Рис. 23.5. Гомотопиые и иегомотопиые пути. путей, гомотопных заданной кривой, соединяющей Р, и Р„образует класс эквивалентности, или гоморгопический класс, в )И. На многообразии ((х, у): х'+у' > 1), образованном областью (х, у)-плоскости, внешней к единичному кругу, три пути из Р в !',1, изображенные на рис, 23,5 слева, принадлежат одному гомотопическому классу, тогда как на том же рисунке справа указаны такие три пути, что никакие два из ннх не гомотопны. Всюбще, если М обозначает некоторый путь в гИ, то !й! обозначает класс эквивалентности всех путей, гомотопных и".
Определим теперь закон композиции гомотопических классов путей. Пусть йг — путь от Р до !',!, а й,— путь от 9 до Р. Через сг,ой, обозначим путь, проходящий от Р до Р через точку !',! и идущий от Р к Я по пути йы а от чг до И вЂ” по пути й',, Аналитически это можно представить так. Если функции Р, (!) (О(((1) и Р,(!) (Ок' (~1) описывают кривые е', и й, соответственно, то функция (23.7.!) Ре(2! — 1), ",, «г и '1 описывает путь й,ой,.
Закон композиции гомотопических классов 23.7. Гоно»ионные нуа«и. Фундаментая»ноя »руана 127 определяется теперь формулой Ф»1о Ф.1 = [й» ой»1 Эта формула применима тогда, когда конечная точка путей первого класса совпадает с начальной точкой путей второго класса; в противном случае выражение [й,)о[йД не определено. Легко Рис. 23.6. дать строгое доказательство того, что результат композиции не зависит от выбора путей и» и й', из соответствующих классов. «Произведение» [8»]о[в",) содержит все пути, гомотопные пути Ф,ов„такие, как кривая и; на рис.
23.6. Данный:акоп композиции ассоциативен, однако он не превращает множество всех гомотопических классов в группу, потому что эта композиция не определена для любых пар классов » Рис. 23.7. и ничего нельзя сказать об обратных элементах. Можно, однако, получить группу следующим образом. Пусть выбрана некоторая фиксированная основная точка (отмеченная точка) В,; ограничимся рассмотрением только тех путей, которые начинаются и кончаются в В,. (В определении гомотопии не исключался случай совпадения начальной и конечной точек.) Множество гомотопических классов таких путей образует группу, называемую 4ундаментальиой группой многообразия и обозначаемую пт(»т(). Если а»вЂ” путь, который может быть стянут в отмеченную точку В„при помощи непрерывной деформации в 7И (такой путь называется нуль-зол»этапным), то Ф»о'и", можно деформировать в Ж„т.
е. Гл. Л. Элементарная лморня многообразий 128 [й,]о[ттз] .= [6,]1 ЗНаЧИт, [Вр] — ЕдИНИца ГруППЫ. ДЛя ЛвбОГО пути 6, обозначим через 6,' тот же самый путь, но проходимый в обратном направлении, т. е. если функция Р(г) (0(((1) описывает и"„то функция Р(1 — () описывает й, '. Ясно, что путь 6тов",' стягивается в отмеченную точку В„т. е. он нульгомотопен (см, рис, 23.7); позтому [вз]о[й, '] = [йр] (единица), (23.7.2) т.
е [в",] '=Ф, ']. (23.7.3) Для связного многообразия М фундаментальная группа п,(М) не зависит от выбора отмеченной точки. Пусть В, †люб дру- "и р Рис. 23.8. гая точка М, а К„,— любой фиксированный путь от Вр до В,. Если Ь' — произвольный путь, начинающийся и кончающийся в В„то брз о'бе йрр' — кривая, начинающаяся и кончающаяся в В, (см.
рнс. 23,8), Отображение [Ы] -- [б„.Ы.Ж;,~ (23.7.4) ] является нзоморфизмом фундаментальной группы с В, в качестве отмеченной точки на фундаментальную группу с отмеченной точкой В„, так как зто отображение, очевидно, является взаимно однозначным и на всю группу, а произведение [в]о[в']=[бои"] при (23.7.4) переходит иа [й о Руо В о Ыррз] [згр о б]о[а- аз- рзт] [арро(У]о([с- ] зо[ггр ])о[а обе з] ПРимеРЫ 1.
Если М вЂ” олносвязнос многообразие, то его фундаментальная группа я, (М) — тривиальная группа, состоящая только из одного елинняного але. мента, 23.7, Гомотолнмэ пути. Фундаментальнпл группо !29 В; Конечная точка в' КрЗ ,' Начальная точка -э Рис. 23.9. рована внутри полосы е сохранением начала и конца в любую другую кривую, идущую от В, до Вь, например в й'.
Следовательно, для каждой из возможных конечных точек Вь имеется в точности один гомотопический клаве путей, начинающихся н заканчивающихся в Вь на М. Число й — это «чистое» число оборотов пути из данного класса вокруг цилиндра. Композиция двух таких путей, скажем а конечными точками Вь и Вь есть кривая ч конечной точкой Вьь б следовательно, я,(АВ изоморфна аддитивной группе целых чисел, т. е. бесконечной циклической группе С„. Кольцо а < ха+уз < Ь, плоскость с выколотой точкой ха+уз > 0 и лиат Мебиуса имеют фундаментальную группу, также изоморфиую С 3.
Пусть М вЂ поверхнос тора, которая задана уравнениями э=аз!пи, х=(А+исоа а, сов(), р=(А+а сова! ми 9, где х; р, з — декартовы координаты, о и А — константы (А > а > О), а а и () — два угла, являющиеся внутренними координатами на М (ем, рис, 23э.(0). 2. Пусть М вЂ” поверхность цилиндра (коиечиого нли бесконечного, хотя и изображенного конечным на рис. 23.9). Пусть 9, х — цилиндрические координаты, и пусть их значения представляют точки полосы на плоскости, как это показано иа рис.
23.9. Каждая точка из М многократно повторяется на полосе; в частности, отмеченной точке В, иа М соответствуют точки Вь, Вх!, Вдэ и т. д. Кривая на полосе, такая, как 5, проходящая от Вьдо любого другого образа Вь, скажем до Ве, есть образ замкнутой кривой на М и обратно, любая замкнутая кривая, начинающаяся и кончающаяся вВьна М, имеет именно такой образ; более того, 5 может быть непрерывно деформи- Гл. 28.
Элементарная теория многообразий Если координатам и и () разрешено изменяться неограниченно, тонары чисел (а, !1) и (и+2пй, (1+2п4 представляют одну и ту же точку на М. Пусть отмеченная точка Ва задается равенствами х= А+а, у= г=О; она представляется любой точкой (и, (1) = (2пй, 2п)) решетки на (ее, !))-плоскости. Любой путь от (О, 0) до (2пй, 2п() на втой плоскости представляет собой замкнутую нривую на М, начинающуюся и кончающуюся в В„; он может быть непреывно деформирован в любой другой путь, идущий от (О, 0) до (2пй, 2п1). силу этого наждая пара целых чисел (й, !) онределяет элемент фундаментальной группы и, (М).
Ясно, что композицией элементов, определенных парами (й, 1) и (й', 1'), является элемент, определенный парой (Ь+й', 1+1'), т. а. фундаментальная группа тора кзоморфнв прямому произведеннюС„ХС которое является свободной абелевой группой с двумя образующими. ( а Рнс. 23.10. Двумерный тор. 4. Рассмотрим многообразие М, состоящее нз плоскости с двумя выколотыми точками а и Ь. В теории функций комплексной переменной контур интегрирования определяется записью равенства типа (а+,аэ,а-~ Х = ) !'(г) аг. Здесь выражение (а+, а+, Ь вЂ” ) указывает на то, что контур начинается в некоторой отмеченной точке В (не совпадающей с и или Ь), делает два оборота вокруг точки а в положительном направлении (против часовой стрелки), Рнс. 23.1!.
Контур на комплексной плоскости. делает один оборот вокруг точки Ь в отрицательном направлении н возвращается в В, как показано на рис. 23.1!. В теории функций принимается как геометрически очевидное, что такая процедура адекватно определяет контур, если )(г) аналитична всюду, кроме точек ветвления и и Ь, т. е. любые два контура, поторые удовлетворяют данному выше описанию, можно непрерывно 131 23.7. Гомотолныг пути.
Фумдамглтальнал группа деформировать один а другой без прохождения через ту или иную точку ветвления. Иначе говоря, выражение (а+, а+, Ь вЂ ) определяет гомотопический класс кривых в М, т. е. элемент л,(М). Мы примем именно эту тачку зрения. Простейшие нетривиальные элементы группы пг(М) суть(а+), Ь+) и их обратные (а — ) и (Ь вЂ” ); будем обозначать их а, р, а з н общем случае элемент группы выглядит так: у! уз ''уаз где каждое у; — либо а, либо (), а кзждый показатель е; — либо+1, либо — !. Таким образом, я, (М) изоморфна свободной группе с двумя образующими. В отличие от групп из первых трех примеров эта группа некоммутативна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
