Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В теории электрона Дирака законы преобразований четырех компонент волновой функции электрона дают двузначное представление группы е'р (см. книгу Дирака !1968!). Легко видеть, что двузначное неприводимое представление невозможно сделать однозначным, выбирая каким-либо способом одну из двух матриц (7 и — (7, которые представляют каждый данный элемент д из 50(3) (или .9'р); в самом деле, если (7„— матрица, представляющая вращение на угол и в двузначном неприводимом представлении, то можно показать, что (7г= — l, но (7е' представляет единицу группы 50(3), а потому должна быть равна +7 в любом однозначном представлении.
??.Т. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Ю(2) И Уе'. (2, С) (а 6) (х,) (сгх, +бхе) (22.7.1) Обсуждение носит гипотетический характер до тех пор, пока не показано, что действительно существуют представления группы 5(7(2), которые дают двузначные представления группы 50(3). Само собой разумеется, что единичное представление 5(7(2) таково, но существуют и многие другие. Несколько следующих параграфов посвящено неприводимым представлениям группы 5(l (2).
Все они конечномерны в силу компактности 5(7 (2), гогда как группы 57.(2, 0) и .Ур, которые не являются компактными, имеют также и бесконечномерные неприводимые представления, по поводу которых читатель отсылается к книгам Виленкина (19661, Наймарка !!976! и Сугиуры (1975!. Оказывается, что некоторые конечиомерные представления группы 57.(2, С) остаются непрнводимыми, когда сужаются до 5(7(2); они ведут к обычным и спиновым представлениям группы Лоренца и группы вращений. Элемент группы 5(. (2, С) есть уиимодулярное преобразование пространства Се на себя, задаваемое в виде Гл. 22.
Представления груня и кванксавая механика !04 где яб — у(! 1. Матрица обратного преобразования имеет вид ° =(,' !) Далее, действие группы на Р эффективно (любое преобразование и Фе перемещает хотя бы одну точку в Ов) и траизитивно (для двух заданных произвольных точек х и у всегда найдется такой элемент и группы, что у=их), т.
е. Вв является однородным пространством для Зг'. (2, С). Поэтому допустим, что Х" — пространство всех целых аналитических функций / (хм х,) двух комплексных переменных. Тогда, согласно (20,6,1), бесконечномерное представление группы о/.(2, С) получается путем установления соответствия между элементом и и преобразованием р (и) в Х" при помощи равенства (р (и) /) (х„х,) =/ (Ьх, — !)хв, — ух, +ах,).
(22.72) сов си/2 — / з1п га/2 1 — ! з!и са/2 созга/2 /' -' =( (соз са/2 — з! п гэ/2 1 4,з!пса/2 спаса/2/' ..=(;"" '„„„), (22.7.3) потому что непосредственные вычисления с использованием формул 619.7 показывают, что, согласно (19.6.1), соответствующие пре- образования от х, у, г к х', у', г' задаются матрицами 0 0 0 4гнн в е= ΠΠ— са Оса 0 0 0 са дк„,- ООО, — са 0 0 и,,„= 4а ОО (22.7.4) Рассмотрим теперь некоторые элементы подгруппы 5(/(2).
Пусть в„м„мв — внутренние координаты в 50 (3), определенные в 9 19.6, и„н „„,— соответствующая матрица вращения (элемент Ю (3)), а -!- и „, „„— элементы Я/(2), которые отображаются надин.э при помощи гомоморфизма, описанного в 4 19,7. В частности, можно принять 22.7. Предстаеггния груягг 50(2) и Бг.(2, С) юз Иифинитезимальиые элементы группы 5У(2) получаются следую- щим образом: д Т вЂ” и ди в д 7 = — иа дса (22.7.5) д ио а,м Соответствующие дифференциальные суть д ~о д Р(иаь а,о)( д 1 ! д оа= о операторы представления р (22,7.6) (То ТД Тм [(.и (.т)=(.о (1)а=123, 231, 312).
(22.7.7) Отметим попутно, что матрицы в (22.7.5) можно рассматривать также как инфинитезимальные элементы большей (охватывающей) группы 51. (2, С) по следующей причине: прежде всего, легко проверить, что матрицы (22.7.3) выражаются через матрицы Ть а имен- но и„„= ехр (мТ,), иа а, ехр(е7оп и„„, =ехр(сзТа). Методы, изложенные в гл. 25 (экспоценциальиое отображение), по- казывают, что в общем случае и „,,„. ехр(аиТ, +т,Т,+агоТ,).
(22.7.8) Из (22.7,5) видно, что правая часть последнего выражения имеет вид ехр((А), где А — общая эрмитова матрица размера 2х2 с нулевым следом. Если геперь допустить, что ео„еоа', соо принимают комплексные значения, то правая часть (22.7.8) имеет вид ехр В, где  — совершенно общая матрица размера 2х2 с нулевым следом, ио тогда ехр В есть общая матрица размера 2х 2 с детермииантом, равным 1, т. е. общий элемент группы 5). (2, С), Инфинитезимальиые элементы и операторы удовлетворяют соотно- шениям коммутации 100 Ге.
22. Предгмагеенан грулл и наантоеан меганана 22.8. Иеприводимые пРедстдвления ГРуппы ю0(2) Для каждого значения О, ')„1, г)„2, ... индекса 1 подпространство Х"" пространства Х" определяется как пространство всех однородных многочленов степени 21 от х, и хм Из (22.7.2) следует, что каждый оператор р(п) преобразует любой однородный миогочлен в другой однородный многочлен той же степени; следовательно, каждое подпростраиство Х"+' инвариантно относительно р(й) не только для всех и из Яу(2), но и для всех и из Я.(2, С). Далее будет показано, что представление группы Я/(2), заданное в (22.7,2), неприводимо на каждом подпространстве Х"" (такое представление обозначим через 0'); следовательно, представление группы Я.
(2, 6) на Х"+' тем более иеприводимо. Будет показано, что любое подпространство в Хм" (отличное от подпространства, состоящего лишь из одного нулевого вектора), которое инвариантно относительно Я) (2), совпадает со всем пространством Х"". Это делается при помощи уже знакомого нам метода, использующего операторы поднятия и опускания: любое такое подпространство инвариантно относительно операторов й„ Ь„ Ьг из (22.7.6); а значит, и относительно операторов ~, ~- г), Одночлеиы (х,, х,) =х,' "хг'"'и (гл — 1, — 1+1..., 1) (22.8.1) образуют базис в Хгг~', Г есть собственная функция оператора Ь„соответствующая собственному значению гт. Заметим, что в качестве значений гп допускаются целые числа и половины нечетных целых чисел в зависимости от того, является 1 целым или полуцелым. Любая функция д из Хм" может быть выражена в виде ~с Г . С помощью рассуждений, подобных проведенным в 2 2О.5, устанавливается, что если инвариантное подпространство в Х"+' содержит такую функцию Р, то оно содержит в отдельности и все одночлены Гн, пРи котоРых с„~ О.
В самом деле, если данное подпространство включает фуйкцию е, то оно включает и функцию 7.гд (потому что это подпространство инвариантно относительно 7.,), а также функцию Р(1.г)д, где Р— любой многочлен, но Р можно выбрать так, чтобы исключить из суммы ~с Г все члены, кроме одного (в качестве Р Ф можно взять интерполяционный многочлен Лагранжа, который обращается в нуль для всех собственных значений ггп оператора г.„, кроме одного). Таким образом, инвариантное подпространство содержит хотя бы одну из функций 7 . Но 7.,+(г.г есть оператор опускания, т.
е. он преобразует 7"„в функцию, кратную )н,, за исключением 7" г, котоРаЯ пРеобРазУетсЯ в нУль; опеРатоР (.,— 17,, есть оператор поднятия, т, е. он преобразует 7' в функцию, 22.2. Характеры аредетаееекий груааы 517(2) Ю7 кратную! +„за исключением 7„которая преобразуется в нуль. Следовательно, инвариантное подпространство совпадает со всем Хы+', что и требовалось доказать В следующем параграфе будет показано, что 0'(1 =О, 'Гы 1, ...1 являются единственными неприводимыми представлениями группы 5У(2).
Двузначные представления группы 50(3) возникают следующим образом. Если и Е 50 (2), то посредством гомоморфизма 5У(2) на 50(3) (см. $19.7) оба элемента и и — и отображаются на элемент д группы 50(3). Если 0' — одно из найденных выше представлений группы 5У(2), то отображение д — 0е(+- и) есть однозначное представление 50(3) на Хее+' в случае, когда 0'( — и)=0'(и), и является двузначным представлением, когда 0' ( — и) ~ 0' (и). Необходимо лишь исследовать случай, когда и=1„тогда 0'(и) =)„е,. (Здесь под 1„понимается единичная матрица размера 7гх7г.) При отображении, определяемом матрицей — Г„координаты х, и к, переходят в — х, и — хе; если 21 четно, одночлен 7" переходит сам в себя; отсюда 0'( — 1,)=)ее„н отображение д 0'(~ и) является обычным представлением нечетной размерности 21+1, которое описано в 3 29.9 Если же 21 нечетно, то Г„пеРеходит в — Г; отсюда 0'( — е'е)= — 1„+, и отображсние д — 0е (+. и) =* у- 0'(и) становится двузначным, или спиновым, представлением четной размерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
